Κεφάλαιο 4.5 – Ροπή Αδράνειας – Λύσεις (σελ. 136-141)

Κεφάλαιο 4.5 - Ροπή Αδράνειας (σελ. 136-141)

Άσκηση 4.12

Εκφώνηση: Αβαρής ράβδος με δύο ίσες μάζες m εκατέρωθεν του άξονα περιστροφής, σε ίσες αποστάσεις. Αν η απόσταση των μαζών από τον άξονα διπλασιαστεί, η ροπή αδράνειας του συστήματος: α) παραμένει ίδια, β) διπλασιάζεται, γ) τριπλασιάζεται, δ) τετραπλασιάζεται.

Λύση:

• Αρχικά I₀=2mr². Διπλασιάζοντας την απόσταση σε 2r: I=2m(2r)²=8mr²=4·(2mr²)=4I₀.

Απάντηση: Τετραπλασιάζεται (επιλογή δ) — αφού I∝r².

Άσκηση 4.13

Εκφώνηση: Ένας τροχός αυτοκινήτου και ένας τροχός ποδηλάτου περιστρέφονται, χωρίς τριβές, γύρω από τον άξονά τους με την ίδια γωνιακή ταχύτητα. Ποιος από τους δύο ακινητοποιείται πιο εύκολα; Αιτιολογήστε.

Λύση:

• Ο τροχός αυτοκινήτου έχει πολύ μεγαλύτερη μάζα (και συνήθως ακτίνα) από τον τροχό ποδηλάτου, άρα πολύ μεγαλύτερη ροπή αδράνειας I.
• Για ίδια ω, ο τροχός αυτοκινήτου έχει μεγαλύτερη στροφορμή L=Iω και μεγαλύτερη κινητική ενέργεια K=½Iω² — απαιτείται μεγαλύτερη ροπή (ή περισσότερο έργο/χρόνος) για να ακινητοποιηθεί.

Απάντηση: Ο τροχός ποδηλάτου ακινητοποιείται πιο εύκολα, γιατί έχει πολύ μικρότερη ροπή αδράνειας (μικρότερη μάζα) από τον τροχό αυτοκινήτου, άρα μικρότερη στροφορμή και κινητική ενέργεια για την ίδια ω.

Άσκηση 4.14

Εκφώνηση: Τρία υλικά σημεία περιστρέφονται γύρω από τον άξονα z′z: το πρώτο έχει μάζα 32 g και απέχει 1 m, το δεύτερο 8 g σε απόσταση 2 m, το τρίτο 2 g σε απόσταση 4 m. Να συγκριθούν οι ροπές αδράνειάς τους ως προς τον άξονα.

Λύση:

• I₁=0,032·1²=0,032 kg·m².
• I₂=0,008·2²=0,032 kg·m².
• I₃=0,002·4²=0,032 kg·m².

Απάντηση: Και τα τρία υλικά σημεία έχουν την ίδια ροπή αδράνειας: I₁=I₂=I₃=0,032 kg·m².

Άσκηση 4.15

Εκφώνηση: Η ροπή αδράνειας ενός στερεού ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του είναι μικρότερη από τη ροπή αδράνειάς του ως προς οποιονδήποτε άλλο παράλληλο άξονα. Πώς προκύπτει αυτό;

Λύση:

• Το θεώρημα Steiner δίνει I_p=I_cm+Md², όπου d η απόσταση του άξονα p από τον παράλληλο άξονα που περνά από το κέντρο μάζας.
• Αφού M>0 και d²≥0, ο όρος Md² είναι πάντα μη αρνητικός, άρα I_p≥I_cm, με ισότητα μόνο όταν d=0 (δηλαδή όταν ο άξονας p ταυτίζεται με τον άξονα του κέντρου μάζας).

Απάντηση: Προκύπτει απευθείας από το θεώρημα Steiner (I_p=I_cm+Md²): αφού Md²≥0 πάντα, η ροπή αδράνειας ως προς οποιονδήποτε παράλληλο άξονα είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση από εκείνη ως προς τον άξονα του κέντρου μάζας.

Άσκηση 4.16

Εκφώνηση: Γράψτε με αύξουσα σειρά τις ροπές αδράνειας I₁, I₂, I₃ και I₄ ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου ως προς τους παράλληλους άξονες 1, 2, 3 και 4 (σχ. 4.47), όπου ο άξονας 3 διέρχεται κοντά από το κέντρο μάζας, ο 2 είναι μετατοπισμένος δεξιά, ο 4 αριστερά, και ο 1 βρίσκεται ακόμη πιο δεξιά, κοντά στο άκρο.

Λύση:

• Ο άξονας 3, πλησιέστερος στο κέντρο μάζας, έχει τη μικρότερη ροπή αδράνειας.
• Οι άξονες 2 και 4 βρίσκονται σε ενδιάμεσες αποστάσεις (εκατέρωθεν του κέντρου).
• Ο άξονας 1, ο πιο απομακρυσμένος (κοντά στο άκρο), έχει τη μεγαλύτερη ροπή αδράνειας.

Απάντηση: I₃ < I₄ ≈ I₂ < I₁ (αύξουσα σειρά κατά αύξουσα απόσταση κάθε άξονα από το κέντρο μάζας) — η ακριβής σχέση ανάμεσα σε I₂ και I₄ εξαρτάται από τις ακριβείς αποστάσεις τους στο σχήμα 4.47.

Προσοχή:

• Το σχήμα 4.47 δίνει τις ακριβείς αποστάσεις των αξόνων· χωρίς αυτό δεν μπορεί να προσδιοριστεί με βεβαιότητα η σχετική σειρά ανάμεσα σε I₂ και I₄.

Άσκηση 4.44

Εκφώνηση: Κάθενα από τα τέσσερα πτερύγια του έλικα ενός ελικοπτέρου μπορεί να θεωρηθεί ομογενής ράβδος. Το μήκος κάθε πτερυγίου είναι 6 m και η μάζα του 100 kg. Υπολογίστε τη ροπή αδράνειας των τεσσάρων πτερυγίων ως προς τον άξονα περιστροφής τους. Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας ομογενούς ράβδου μήκους L, ως προς άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της και είναι κάθετος σ' αυτή, είναι I=ML²/3.

Λύση:

• Ροπή αδράνειας ενός πτερυγίου: I₁=ML²/3=100·6²/3=100·36/3=1200 kg·m².
• Τα τέσσερα πτερύγια έχουν την ίδια απόσταση κατανομής από τον άξονα, άρα η συνολική ροπή αδράνειας είναι το άθροισμα: I=4·I₁=4·1200=4800 kg·m².

Απάντηση: I = 4800 kg·m².