Κεφάλαιο 7.4 – Φαινόμενο Compton – Λύσεις (σελ. 248-252)

§7.4 Φαινόμενο Compton — Λύσεις (σελ. 248-252)

Άσκηση 7.8

Εκφώνηση: Συμπληρώστε τα κενά: Το μήκος κύματος της σκεδαζόμενης ακτινοβολίας Χ κατά το φαινόμενο Compton είναι .......... από αυτό της προσπίπτουσας. Αυτό σημαίνει ότι τα σκεδαζόμενα .......... είναι .......... ενέργειας από τα προσπίπτοντα. Η διαφορά της ενέργειας των .......... ισούται με την ενέργεια του ..........

Λύση:

• Θυμόμαστε τη σχέση Compton λ'-λ=(h/mc)(1-συνφ)>0, άρα λ'>λ.
• Μεγαλύτερο λ → μικρότερη ενέργεια φωτονίου (E=hc/λ).
• Η διαφορά ενέργειας μεταφέρεται στο ανακρουόμενο ηλεκτρόνιο (διατήρηση ενέργειας).

Απάντηση: ...μεγαλύτερο... φωτόνια... μικρότερης... φωτονίων... ανακρουόμενου ηλεκτρονίου.

Άσκηση 7.9

Εκφώνηση: Δύο δέσμες ακτίνων Χ με μήκη κύματος λ₁ και λ₂ (με λ₁>λ₂) σκεδάζονται σε ηλεκτρόνια. Για την ίδια γωνία σκέδασης σε ποια από τις δυο περιπτώσεις αντιστοιχεί α) μεγαλύτερο μήκος κύματος της σκεδαζόμενης ακτινοβολίας, β) μεγαλύτερη τιμή της ενέργειας του ανακρουόμενου ηλεκτρονίου;

Λύση:

• Παρατηρούμε ότι Δλ εξαρτάται μόνο από φ, όχι από λ — ίδιο Δλ και στις δύο περιπτώσεις.
• Άρα λ'=λ+Δλ είναι μεγαλύτερο όπου το αρχικό λ είναι μεγαλύτερο (λ₁).
• Για την ενέργεια ηλεκτρονίου, μικρότερο αρχικό λ (λ₂) → μεγαλύτερη αρχική ενέργεια φωτονίου → μεγαλύτερη K_e.

Απάντηση: α) Και στις δύο περιπτώσεις η μεταβολή Δλ=λ'-λ=(h/mc)(1-συνφ) είναι η ΙΔΙΑ (εξαρτάται μόνο από τη γωνία φ, όχι από το αρχικό λ), άρα το μεγαλύτερο λ' της σκεδαζόμενης δέσμης προκύπτει στην περίπτωση με το μεγαλύτερο αρχικό λ₁. β) Η ενέργεια του ηλεκτρονίου K_e=hc/λ-hc/λ' είναι μεγαλύτερη όταν η ΑΡΧΙΚΗ ενέργεια hc/λ είναι μεγαλύτερη, δηλαδή για το μικρότερο λ₂ (μεγαλύτερη αρχική ενέργεια φωτονίου).

Πρόσεξε: Μην συγχέεις: το Δλ είναι ανεξάρτητο του αρχικού λ, αλλά η ενέργεια του ηλεκτρονίου εξαρτάται έμμεσα μέσω του αρχικού λ.

Άσκηση 7.10

Εκφώνηση: Η διαφορά μεταξύ των μηκών κύματος της προσπίπτουσας ακτινοβολίας Χ και της σκεδαζόμενης γίνεται μέγιστη όταν η γωνία μεταξύ της σκεδαζόμενης και της προσπίπτουσας δέσμης είναι α) 0°, β) 45°, γ) 90°. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

Λύση:

• Δλ=(h/mc)(1-συνφ) μεγιστοποιείται όταν συνφ ελαχιστοποιείται, δηλαδή φ=180°→συνφ=-1→(1-συνφ)=2.
• Μεταξύ 0°,45°,90°: συν0°=1(Δλ=0), συν45°≈0,71(Δλ ενδιάμεσο), συν90°=0(Δλ=h/mc, μέγιστο μεταξύ των τριών).

Απάντηση: Καμία από τις δοσμένες — η μέγιστη τιμή επιτυγχάνεται στις 180° (οπισθοσκέδαση), όπου 1-συνφ=2 (μέγιστο). Από τις δοσμένες επιλογές, η γωνία 90° (όπου 1-συνφ=1) δίνει τη μεγαλύτερη διαφορά.

Σημείωση διόρθωσης πηγής: Οι δοσμένες επιλογές δεν περιλαμβάνουν τη γωνία 180° όπου η διαφορά είναι πράγματι μέγιστη· ανάμεσα στις τρεις δοσμένες, η ορθή επιλογή είναι η γ) 90°.

Άσκηση 7.27

Εκφώνηση: Φωτόνια μήκους κύματος 2,4 pm προσπίπτουν σε ελεύθερα ηλεκτρόνια. Να βρείτε το μήκος κύματος ενός φωτονίου που σκεδάζεται α) κατά 30° και β) κατά 60°. Δίνονται h=6,626×10⁻³⁴ J·s, c=3×10⁸ m/s, m_e=9,1×10⁻³¹ kg.

Λύση:

• h/(m_ec)≈2,43pm (σταθερά Compton).
• α) λ'=λ+2,43pm×(1-συν30°)≈2,4+0,33≈2,7pm.
• β) λ'=λ+2,43pm×(1-συν60°)≈2,4+1,2≈3,6pm.

Απάντηση: α) 2,7 pm, β) 3,6 pm

Άσκηση 7.28

Εκφώνηση: Φωτόνιο ακτίνων Χ μήκους κύματος 10⁻¹¹ m προσκρούει σε ηλεκτρόνιο και σκεδάζεται κατά 180°. Υπολογίστε πόσο μεταβλήθηκε η ενέργεια του φωτονίου. Δίνονται h=6,626×10⁻³⁴ J·s, c=3×10⁸ m/s, m_e=9,1×10⁻³¹ kg, 1eV=1,6×10⁻¹⁹ J.

Λύση:

• Δλ=(h/m_ec)(1-συν180°)=2×2,43pm≈4,86pm → λ'≈10+4,86=14,86pm.
• E=hc/λ≈124keV, E'=hc/λ'≈83,5keV.
• ΔΕ=E-E'≈41,4keV (μείωση).

Απάντηση: Μειώθηκε κατά 41,4 keV

Άσκηση 7.29

Εκφώνηση: Μια δέσμη φωτονίων ενέργειας 0,2 MeV σκεδάζεται από τα ηλεκτρόνια ενός στόχου από άνθρακα. α) Ποιο είναι το μήκος κύματος πριν τη σκέδαση; β) Ποιο το μήκος κύματος των φωτονίων που σκεδάζονται κατά 90°; γ) Ποια η ενέργεια φωτονίου σκεδασμένου κατά 60°; Δίνονται c=3×10⁸ m/s, h=6,63×10⁻³⁴ Js, 1eV=1,6×10⁻¹⁹ J, m_e=9,1×10⁻³¹ kg.

Λύση:

• α) λ=hc/E=6,63×10⁻³⁴×3×10⁸/(0,2×10⁶×1,6×10⁻¹⁹)≈6,2×10⁻¹²m.
• β) λ'=λ+2,43pm×(1-συν90°)=6,2+2,43≈8,6pm.
• γ) λ''=λ+2,43pm×(1-συν60°)=6,2+1,22≈7,4pm → E''=hc/λ''≈0,168MeV.

Απάντηση: α) 6,2×10⁻¹² m, β) 8,6×10⁻¹² m, γ) 0,168 MeV