Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις που αφορούν τη μηχανή Carnot είναι σωστές; α) Η μηχανή που επινόησε και συναρμολόγησε ο Carnot φέρει σήμερα το όνομά του. β) Ο κύκλος του Carnot αποτελείται από δύο ισόθερμες και δύο ισόχωρες μεταβολές. γ) Η μηχανή Carnot έχει τη μεγαλύτερη απόδοση, γιατί μετατρέπει εξ ολοκλήρου τη θερμότητα σε ωφέλιμο έργο. δ) Η απόδοση της μηχανής Carnot εξαρτάται μόνο από τις θερμοκρασίες των δεξαμενών υψηλής και χαμηλής θερμοκρασίας. ε) Όταν μικραίνει ο λόγος της θερμοκρασίας της ψυχρής δεξαμενής προς τη θερμοκρασία της θερμής, σε μια μηχανή Carnot, ο συντελεστής απόδοσής της μεγαλώνει.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η μηχανή Carnot είναι θεωρητική/ιδεατή κατασκευή, όχι κάτι που κατασκευάστηκε φυσικά· ο κύκλος της αποτελείται από 2 ισόθερμες + 2 αδιαβατικές (όχι ισόχωρες)· δεν έχει απόδοση 100%· η απόδοσή της \(e=1-T_c/T_h\) εξαρτάται μόνο από τις δύο θερμοκρασίες και αυξάνεται όσο μικραίνει ο λόγος \(T_c/T_h\).

Λύση:

α) Λάθος: ο Carnot περιέγραψε θεωρητικά τον κύκλο· δεν κατασκεύασε ο ίδιος πραγματική μηχανή.
β) Λάθος: ο κύκλος Carnot αποτελείται από δύο ισόθερμες ΚΑΙ δύο αδιαβατικές, όχι ισόχωρες.
γ) Λάθος: ούτε η μηχανή Carnot έχει απόδοση 100% — έχει απλώς τη ΜΕΓΙΣΤΗ δυνατή απόδοση ανάμεσα σε δύο δεδομένες θερμοκρασίες, πάντα μικρότερη της μονάδας.
δ) Σωστό: \(e_{\text{Carnot}}=1-T_c/T_h\) εξαρτάται αποκλειστικά από τις δύο θερμοκρασίες.
ε) Σωστό: αφού \(e=1-T_c/T_h\), μικρότερος λόγος \(T_c/T_h\) σημαίνει μεγαλύτερο \(e\).

Απάντηση: Σωστές είναι οι προτάσεις (δ) και (ε).

Πρόσεξε:

Ο κύκλος Carnot: 2 ισόθερμες + 2 αδιαβατικές — μην τον συγχέετε με άλλους τετραμερείς κύκλους (π.χ. Otto: 2 ισόχωρες + 2 αδιαβατικές).

Άσκηση 2.32 (σελ. 71)

Η απόδοση μιας θερμικής μηχανής δεν μπορεί να είναι .............. από την απόδοση μιας μηχανής Carnot που λειτουργεί ανάμεσα στις ίδιες θερμοκρασίες. Ο συντελεστής απόδοσης μιας μηχανής Carnot είναι .............. (Συμπληρώστε τα κενά).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Άμεση εφαρμογή του θεωρήματος Carnot και του τύπου \(e_{\text{Carnot}}=1-T_c/T_h\).

Λύση:

Το θεώρημα Carnot θέτει την απόδοση Carnot ως ανώτατο όριο για όλες τις μηχανές που λειτουργούν ανάμεσα στις ίδιες δύο θερμοκρασίες.
Ο τύπος της απόδοσης Carnot είναι \(e_{\text{Carnot}}=1-\dfrac{T_c}{T_h}\).

Απάντηση: ...δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από την απόδοση μιας μηχανής Carnot... Ο συντελεστής απόδοσης μιας μηχανής Carnot είναι \(e_{\text{Carnot}}=1-\dfrac{T_c}{T_h}\).

Άσκηση 2.54 (σελ. 74)

Μια μηχανή Carnot υποβάλλει σε κυκλική μεταβολή 5 mol ιδανικού αερίου. Η θερμοκρασία της θερμής δεξαμενής είναι 500 K και της ψυχρής 300 K. Κατά την ισόθερμη εκτόνωση ο όγκος του αερίου από \(V_A=3\times10^{-2}\ \text{m}^3\) γίνεται \(V_B=6\times10^{-2}\ \text{m}^3\). Υπολογίστε: α) Το συντελεστή απόδοσης της μηχανής. β) Το έργο που παράγει η μηχανή σε κάθε κύκλο. Δίνονται \(R=8{,}314\ \text{J}/(\text{mol}\cdot\text{K})\), \(\ln2=0{,}693\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η απόδοση Carnot εξαρτάται μόνο από \(T_h\),\(T_c\). Το \(Q_h\) ισούται με το έργο της ισόθερμης εκτόνωσης στη θερμή δεξαμενή (η μόνη φάση που απορροφά θερμότητα στον κύκλο Carnot). Το συνολικό έργο του κύκλου είναι \(W=e\cdot Q_h\).

Λύση:

\(e_{\text{Carnot}}=1-\dfrac{T_c}{T_h}=1-\dfrac{300}{500}=0{,}4\).
\(Q_h=W_{AB}=nRT_h\ln(V_B/V_A)=5\times8{,}314\times500\times\ln2=5\times8{,}314\times500\times0{,}693\approx14403{,}8\ \text{J}\).
\(W_{\text{ολ}}=e\cdot Q_h=0{,}4\times14403{,}8\approx5761{,}5\ \text{J}\).

Απάντηση: α) \(e=0{,}4\) (40%). β) \(W_{\text{ολ}}\approx5762\ \text{J}\).

Πρόσεξε:

Στην μηχανή Carnot, όλο το \(Q_h\) απορροφάται κατά τη διάρκεια της ισόθερμης εκτόνωσης στη θερμή θερμοκρασία — οι αδιαβατικές φάσεις δεν ανταλλάσσουν καθόλου θερμότητα.

Άσκηση 2.62 (σελ. 76)

Η θερμοκρασία της θερμής δεξαμενής σε μια μηχανή Carnot είναι \(\theta_1=127\ ^\circ\text{C}\) και της ψυχρής \(\theta_2=27\ ^\circ\text{C}\). α) Να υπολογιστεί ο συντελεστής απόδοσης της μηχανής. β) Αν η μηχανή αποδίδει ισχύ \(P=10\ \text{HP}\) να υπολογιστεί το ποσό της θερμότητας που απορροφά από τη δεξαμενή υψηλής θερμοκρασίας σε χρόνο \(t=1\ \text{h}\). Δίνεται \(1\ \text{HP}=745{,}7\ \text{W}\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Πρώτα η απόδοση Carnot, μετά το ωφέλιμο έργο \(W=Pt\), και τέλος \(Q_h=W/e\).

Λύση:

\(T_h=127+273=400\ \text{K}\), \(T_c=27+273=300\ \text{K}\).
\(e=1-\dfrac{T_c}{T_h}=1-\dfrac{300}{400}=0{,}25\).
\(P=10\times745{,}7=7457\ \text{W}\), \(t=3600\ \text{s}\), \(W=Pt=7457\times3600=26.845.200\ \text{J}\approx26845{,}2\ \text{kJ}\).
\(Q_h=\dfrac{W}{e}=\dfrac{26845{,}2}{0{,}25}\approx107380{,}8\ \text{kJ}\).
Σε kWh: \(Q_h=\dfrac{107380{,}8\ \text{kJ}}{3600\ \text{s/h}}\approx29{,}828\ \text{kWh}\).

Απάντηση: α) \(e=0{,}25\) (25%). β) \(Q_h\approx29{,}828\ \text{kWh}\) (\(\approx1{,}074\times10^8\ \text{J}\)).

Πρόσεξε:

Προσέξτε τις μονάδες: το kWh είναι μονάδα ενέργειας (\(1\ \text{kWh}=3600\ \text{kJ}\)), όχι ισχύος.

Άσκηση 2.71 (σελ. 78)

Η κυκλική μεταβολή του ιδανικού αερίου μιας θερμικής μηχανής αποτελείται από μια ισόχωρη ψύξη ΑΒ, μια ισοβαρή ψύξη ΒΓ και τέλος τη μεταβολή ΓΑ, κατά τη διάρκεια της οποίας η πίεση και ο όγκος συνδέονται με τη σχέση \(p=600+400V\) (SI). Όλες οι μεταβολές θεωρούνται αντιστρεπτές. Αν στις καταστάσεις Α και Γ το αέριο έχει όγκο \(V_A=2\ \text{m}^3\) και \(V_\Gamma=1\ \text{m}^3\), αντίστοιχα, α) Να υπολογιστεί το έργο που παράγεται σε έναν κύκλο. β) Να υπολογιστεί ο συντελεστής απόδοσης της μηχανής. γ) Να καθοριστεί αν αυξάνεται ή ελαττώνεται η εντροπία του αερίου για καθεμιά από τις επιμέρους μεταβολές. Δίνεται \(C_v=\frac{3}{2}R\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Από τη γραμμική σχέση \(p=600+400V\) βρίσκουμε \(p_\Gamma\) (στο \(V=1\)) και, αφού η ΒΓ είναι ισοβαρής με \(p_B=p_\Gamma\), και η ΑΒ ισόχωρη με \(V_A=V_B\), προσδιορίζουμε όλα τα σημεία. Υπολογίζουμε το έργο κάθε τμήματος (με ολοκλήρωση για το ΓΑ), και χρησιμοποιώντας \(pV\propto T\) υπολογίζουμε τα \(\Delta U\), \(Q\) κάθε τμήματος για την απόδοση και το πρόσημο του \(\Delta S\).

Λύση:

Από την ευθεία: \(p_\Gamma=600+400\times1=1000\ \text{Pa}\) (στο \(V=1\)), \(p_A=600+400\times2=1400\ \text{Pa}\) (στο \(V=2\), αφού η Α βρίσκεται πάνω στην ίδια ευθεία ΓΑ). Επειδή η ΒΓ είναι ισοβαρής, \(p_B=p_\Gamma=1000\ \text{Pa}\)· επειδή η ΑΒ είναι ισόχωρη, \(V_B=V_A=2\ \text{m}^3\).
\(W_{AB}=0\) (ισόχωρη). \(W_{B\Gamma}=p_B(V_\Gamma-V_B)=1000\times(1-2)=-1000\ \text{J}\).
\(W_{\Gamma A}=\displaystyle\int_1^2(600+400V)\,dV=\left[600V+200V^2\right]_1^2=(1200+800)-(600+200)=1200\ \text{J}\).
\(W_{\text{ολ}}=0-1000+1200=200\ \text{J}\).
Χρησιμοποιώντας \(pV\propto T\) (άρα \(\Delta U\propto\Delta(pV)\) με συντελεστή \(\frac{3}{2}\)): \(\Delta U_{AB}=\frac{3}{2}[(pV)_B-(pV)_A]=\frac{3}{2}(2000-2800)=-1200\ \text{J}\Rightarrow Q_{AB}=-1200\ \text{J}\) (αποβάλλεται).
\(\Delta U_{B\Gamma}=\frac{3}{2}[(pV)_\Gamma-(pV)_B]=\frac{3}{2}(1000-2000)=-1500\ \text{J}\Rightarrow Q_{B\Gamma}=-1500-1000=-2500\ \text{J}\) (αποβάλλεται).
\(\Delta U_{\Gamma A}=\frac{3}{2}[(pV)_A-(pV)_\Gamma]=\frac{3}{2}(2800-1000)=2700\ \text{J}\Rightarrow Q_{\Gamma A}=2700+1200=3900\ \text{J}\) (απορροφάται) — έλεγχος: \(-1200-2500+3900=200\ \text{J}=W_{\text{ολ}}\) ✓.
\(Q_h=Q_{\Gamma A}=3900\ \text{J}\) (η μόνη φάση με θετική θερμότητα), \(e=W_{\text{ολ}}/Q_h=200/3900\approx0{,}051\).
Εντροπία: αφού το πρόσημο της εντροπίας κάθε φάσης ακολουθεί το πρόσημο της θερμότητας που ανταλλάσσεται σε αυτήν (όλη η φάση σε θετική απόλυτη θερμοκρασία), η ΑΒ και η ΒΓ (αποβάλλουν θερμότητα) έχουν \(\Delta S<0\), ενώ η ΓΑ (απορροφά θερμότητα) έχει \(\Delta S>0\).

Απάντηση: α) \(W_{\text{ολ}}=200\ \text{J}\). β) \(e\approx0{,}051\) (5,1%). γ) Η εντροπία ελαττώνεται στις ΑΒ και ΒΓ (αποβάλλεται θερμότητα) και αυξάνεται στη ΓΑ (απορροφάται θερμότητα).

Πρόσεξε:

Το \(Q_h\) είναι μόνο η θερμότητα που απορροφάται (θετικό \(Q\)) — όχι το άθροισμα όλων των \(|Q|\) του κύκλου.

Προηγούμενο Στοιχείο

Επιστροφή στην Ενότητα

Επόμενο Στοιχείο