Κεφάλαιο 2.9 – Ανάκλαση και Διάθλαση (σελ. 74-84) – Λύσεις

Κεφάλαιο 2.9 - Ανάκλαση και Διάθλαση (σελ. 74-84) — Λύσεις - Απαντήσεις

Άσκηση Δ.1 (σελ. 74)

Πειραματική δραστηριότητα «Ανάκλαση του ήχου»: Με δύο χάρτινους σωλήνες και ένα βιβλίο ως ανακλαστική επιφάνεια, τοποθετήστε πηγή ήχου (ρολόι) στο άκρο του ενός σωλήνα (Α) και το αυτί σας στο άκρο του άλλου (Β), με τα άλλα άκρα να απέχουν λίγα εκατοστά από το βιβλίο. Μεταβάλλοντας τις γωνίες που σχηματίζουν οι σωλήνες με την ανακλαστική επιφάνεια, επιβεβαιώστε πειραματικά τον νόμο της ανάκλασης για τον ήχο.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Πρόκειται για πειραματική/εργαστηριακή δραστηριότητα επίδειξης — δεν έχει μοναδική αριθμητική «λύση», αλλά αναμενόμενο ποιοτικό αποτέλεσμα σύμφωνα με τον νόμο της ανάκλασης.

Λύση:

1. Ο ήχος, όπως κάθε κύμα, υπακούει στον νόμο της ανάκλασης: η γωνία πρόσπτωσης ισούται με τη γωνία ανάκλασης.
2. Η ένταση του ήχου που ακούγεται στο άκρο Β γίνεται μέγιστη όταν οι δύο σωλήνες σχηματίζουν ΙΣΕΣ γωνίες με την κάθετη στην ανακλαστική επιφάνεια (το βιβλίο) — αυτή είναι η πειραματική επιβεβαίωση του νόμου της ανάκλασης για μηχανικό (ηχητικό) κύμα.

Απάντηση: Ο ήχος ακούγεται πιο δυνατά και καθαρά ακριβώς όταν οι δύο σωλήνες σχηματίζουν ίσες γωνίες με την κάθετη στην ανακλαστική επιφάνεια — επιβεβαιώνοντας πειραματικά ότι θ_ανάκλασης=θ_πρόσπτωσης, δηλαδή ότι το φαινόμενο της ανάκλασης δεν περιορίζεται στο φως αλλά ισχύει και για τα ηχητικά (μηχανικά) κύματα.

Άσκηση 2.21 (σελ. 79)

Είναι δυνατό μια φωτεινή ακτίνα να μη διαδίδεται ευθύγραμμα; Αναφέρατε τέτοιες περιπτώσεις.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η ευθύγραμμη διάδοση του φωτός ισχύει μόνο μέσα σε ομογενές μέσο. Σε ασυνέχειες μέσου (διαφορετικός δείκτης διάθλασης) η πορεία αλλάζει απότομα, ενώ σε ανομοιογενές μέσο μπορεί να είναι και συνεχώς καμπύλη.

Λύση:

1. Στην ανάκλαση, η ακτίνα αλλάζει απότομα κατεύθυνση στη διαχωριστική επιφάνεια δύο μέσων.
2. Στη διάθλαση, η ακτίνα αλλάζει επίσης απότομα κατεύθυνση περνώντας από ένα διαφανές μέσο σε άλλο με διαφορετικό δείκτη διάθλασης.
3. Σε ανομοιογενές μέσο, όπου ο δείκτης διάθλασης μεταβάλλεται συνεχώς με τη θέση (π.χ. στρώματα αέρα διαφορετικής θερμοκρασίας/πυκνότητας πάνω από θερμό δρόμο), η ακτίνα ακολουθεί συνεχώς καμπύλη πορεία (φαινόμενο αντικατοπτρισμού/mirage).

Απάντηση: Ναι, είναι δυνατό: κατά την ανάκλαση και τη διάθλαση σε διαχωριστικές επιφάνειες μέσων, καθώς και κατά τη διάδοση σε οπτικά ανομοιογενές μέσο (π.χ. αντικατοπτρισμός λόγω στρωμάτων αέρα διαφορετικής θερμοκρασίας).

Άσκηση 2.22 (σελ. 79)

Στο σχήμα 2.48 φαίνονται διαδοχικές ανακλάσεις μιας φωτεινής ακτίνας στις επιφάνειες Α (κατακόρυφη, αριστερά), Β (οριζόντια, κάτω) και Γ (οριζόντια, πάνω δεξιά, παράλληλη στη Β). Αν η γωνία πρόσπτωσης στο Α είναι 30°, πόσες μοίρες είναι οι γωνίες ανάκλασης στις Β και Γ; (Θεωρήστε τις επιφάνειες Α, Β κάθετες μεταξύ τους.)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Σε κάθε επιφάνεια εφαρμόζεται ανεξάρτητα ο νόμος της ανάκλασης (θ_ανάκλασης=θ_πρόσπτωσης), αλλά η γωνία πρόσπτωσης σε κάθε επόμενη επιφάνεια εξαρτάται από τη σχετική διεύθυνση της ακτίνας ως προς την κάθετο ΕΚΕΙΝΗΣ της επιφάνειας. Επειδή η Α (κατακόρυφη) και η Β (οριζόντια) είναι κάθετες μεταξύ τους, οι κάθετοί τους διαφέρουν κατά 90°, οπότε η γωνία πρόσπτωσης στη Β είναι η συμπληρωματική της γωνίας ανάκλασης στην Α. Η Γ είναι παράλληλη στη Β, άρα διατηρεί την ίδια γωνία πρόσπτωσης με αυτή της ανάκλασης από τη Β.

Λύση:

1. Στην επιφάνεια Α: γωνία πρόσπτωσης 30° ⟹ γωνία ανάκλασης επίσης 30° (νόμος ανάκλασης).
2. Επειδή οι επιφάνειες Α και Β είναι κάθετες μεταξύ τους, η ανακλώμενη ακτίνα από την Α προσπίπτει στη Β με γωνία πρόσπτωσης 90°-30°=60° (συμπληρωματική, λόγω της ορθής γωνίας μεταξύ των δύο καθέτων).
3. Στην επιφάνεια Β: γωνία πρόσπτωσης 60° ⟹ γωνία ανάκλασης 60°.
4. Επειδή η Γ είναι παράλληλη στη Β, η ακτίνα προσπίπτει σε αυτήν με την ίδια γωνία ως προς την (παράλληλη) κάθετο, δηλαδή 60° ⟹ γωνία ανάκλασης στη Γ επίσης 60°.

Απάντηση: Γωνία ανάκλασης στη Β: 60°. Γωνία ανάκλασης στη Γ: 60°.

Πρόσεξε:

• Η λύση υποθέτει ότι οι επιφάνειες Α και Β είναι κάθετες μεταξύ τους και ότι η Γ είναι παράλληλη στη Β, όπως περιγράφεται ποιοτικά η εικόνα· η ακριβής γεωμετρία (ακριβείς σχετικές κλίσεις των τριών επιφανειών) δεν επιβεβαιώνεται αριθμητικά από το κείμενο, άρα χρειάζεται έλεγχος με το πρωτότυπο σχήμα του βιβλίου.

Κατάσταση QA: χρειάζεται_επιβεβαίωση

Άσκηση 2.23 (σελ. 79)

Σε τέσσερα σχήματα (α,β,γ,δ) με οριζόντια διαχωριστική επιφάνεια δύο μέσων, ποιο έχει σχεδιαστεί σωστά η διαθλώμενη ακτίνα; (α) πάνω n=1,6, κάτω n=1,4, ακτίνα από κάτω προς πάνω, διάθλαση πλησιάζει την κάθετο. (β) πάνω n=1,5, κάτω n=1,8, ακτίνα από πάνω προς κάτω, διάθλαση απομακρύνεται έντονα από την κάθετο. (γ) πάνω n=1,5, κάτω n=1,4, ακτίνα από κάτω προς πάνω, διάθλαση πλησιάζει την κάθετο. (δ) πάνω n=1,6, κάτω n=1,3, ακτίνα από πάνω προς κάτω, διάθλαση πλησιάζει την κάθετο.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Κανόνας από τον νόμο Snell: όταν το φως περνά σε μέσο με ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟ δείκτη διάθλασης, η διαθλώμενη ακτίνα πλησιάζει την κάθετο· όταν περνά σε μέσο με ΜΙΚΡΟΤΕΡΟ δείκτη διάθλασης, απομακρύνεται από την κάθετο. Ελέγχουμε κάθε περίπτωση με αυτόν τον κανόνα.

Λύση:

1. (α): από n=1,4 (κάτω) σε n=1,6 (πάνω) — μεγαλύτερος δείκτης, άρα η ακτίνα ΠΡΕΠΕΙ να πλησιάσει την κάθετο. Το σχήμα δείχνει ακριβώς αυτό — σωστό.
2. (β): από n=1,5 (πάνω) σε n=1,8 (κάτω) — μεγαλύτερος δείκτης, άρα η ακτίνα ΠΡΕΠΕΙ να πλησιάσει την κάθετο, όχι να απομακρυνθεί έντονα όπως δείχνει το σχήμα — λάθος.
3. (γ): από n=1,4 (κάτω) σε n=1,5 (πάνω) — μεγαλύτερος δείκτης, άρα σωστά πλησιάζει την κάθετο — σωστό ποιοτικά, αλλά πρέπει να ελεγχθεί αν το σχήμα δείχνει υπερβολική μεταβολή γωνίας.
4. (δ): από n=1,6 (πάνω) σε n=1,3 (κάτω) — ΜΙΚΡΟΤΕΡΟΣ δείκτης, άρα η ακτίνα ΠΡΕΠΕΙ να απομακρυνθεί από την κάθετο, όχι να πλησιάσει όπως δείχνει το σχήμα — λάθος.
5. Άρα μόνο οι περιπτώσεις όπου η ακτίνα περνά σε ΠΥΚΝΟΤΕΡΟ (μεγαλύτερο n) μέσο ΚΑΙ πλησιάζει την κάθετο είναι ποιοτικά σωστές: (α) και (γ). Η μοναδική με σαφώς σωστή αντιστοιχία μέσου/σχεδίασης όπως περιγράφεται είναι η (α).

Απάντηση: Σωστά σχεδιασμένη είναι η περίπτωση (α): η ακτίνα περνά σε μέσο μεγαλύτερου δείκτη διάθλασης (1,4→1,6) και ορθά πλησιάζει την κάθετο.

Άσκηση 2.24 (σελ. 79)

Μονοχρωματικό φως μεταβαίνει από τον αέρα στο γυαλί. Να συγκρίνετε το μήκος κύματος, τη συχνότητα και την ταχύτητα διάδοσης στα δύο μέσα.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Κατά τη διάθλαση, η συχνότητα καθορίζεται από την πηγή και παραμένει σταθερή· η ταχύτητα μικραίνει σε μέσο με μεγαλύτερο δείκτη διάθλασης (γυαλί, n>1 σε σχέση με τον αέρα)· το μήκος κύματος μικραίνει αναλόγως, αφού λ=υ/f.

Λύση:

1. Η συχνότητα f παραμένει ΙΔΙΑ στα δύο μέσα (καθορίζεται αποκλειστικά από την πηγή, όχι από το μέσο διάδοσης).
2. Η ταχύτητα στο γυαλί είναι ΜΙΚΡΟΤΕΡΗ από ό,τι στον αέρα, αφού υ_γυαλί=c/n_γυαλί<c≈υ_αέρα (n_γυαλί>1).
3. Το μήκος κύματος στο γυαλί είναι επίσης ΜΙΚΡΟΤΕΡΟ, αφού λ_γυαλί=λ_αέρα/n_γυαλί (από τη σχέση λ=υ/f με σταθερό f και μικρότερο υ).

Απάντηση: Η συχνότητα παραμένει ίδια στα δύο μέσα. Η ταχύτητα και το μήκος κύματος είναι μικρότερα στο γυαλί απ' ό,τι στον αέρα.

Άσκηση 2.25 (σελ. 79)

Στο σχήμα 2.50 φαίνεται η πορεία ακτίνας μονοχρωματικού φωτός που διέρχεται διαδοχικά από τρία διαφανή υλικά (α), (β), (γ). Σε ποιο υλικό το φως διαδίδεται με μικρότερη ταχύτητα;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Όσο μεγαλύτερος ο δείκτης διάθλασης ενός υλικού, τόσο περισσότερο «κάμπτεται» (πλησιάζει την κάθετο) η ακτίνα όταν εισέρχεται σε αυτό, και τόσο μικρότερη είναι η ταχύτητα διάδοσης (υ=c/n). Από την περιγραφή της γεωμετρίας της ακτίνας (η κλίση της προς την κάθετο σε κάθε διαδοχική διάθλαση) μπορούμε να συγκρίνουμε ποιοτικά τους δείκτες διάθλασης.

Λύση:

1. Σε κάθε διαχωριστική επιφάνεια, η ακτίνα διαθλάται πλησιάζοντας την κάθετο όσο μεγαλύτερος είναι ο δείκτης διάθλασης του υλικού στο οποίο εισέρχεται.
2. Το υλικό στο οποίο η ακτίνα εμφανίζει τη μεγαλύτερη κλίση προς την κάθετο (δηλαδή τη μεγαλύτερη καμπύλωση κατά την είσοδό της) έχει τον μεγαλύτερο δείκτη διάθλασης.
3. Μεγαλύτερος δείκτης διάθλασης σημαίνει, από τη σχέση υ=c/n, μικρότερη ταχύτητα διάδοσης — άρα το φως διαδίδεται με τη μικρότερη ταχύτητα στο υλικό με τον μεγαλύτερο δείκτη διάθλασης (αυτό στο οποίο η ακτίνα «κάμπτεται» περισσότερο προς την κάθετο).

Απάντηση: Το φως διαδίδεται με τη μικρότερη ταχύτητα στο υλικό με τον μεγαλύτερο δείκτη διάθλασης — αυτό στο οποίο η ακτίνα, κατά τη διάθλασή της, πλησιάζει περισσότερο την κάθετο (σύμφωνα με τη γεωμετρία του σχήματος 2.50, το υλικό (γ)).

Πρόσεξε:

• Η ταυτοποίηση του συγκεκριμένου υλικού (γ) ως αυτού με τη μικρότερη ταχύτητα βασίζεται στην περιγραφή της γεωμετρίας του σχήματος (μεγαλύτερη κλίση προς την κάθετο στη δεύτερη διάθλαση)· χρειάζεται οπτική επιβεβαίωση με το πρωτότυπο σχήμα 2.50.

Κατάσταση QA: χρειάζεται_επιβεβαίωση

Άσκηση 2.28 (σελ. 79)

Δύο ακτίνες μονοχρωματικού φωτός με το ίδιο μήκος κύματος στο κενό διέρχονται από δύο πλακίδια Α και Β, ίσου πάχους d, με διαφορετικό δείκτη διάθλασης. Το πάχος d αντιστοιχεί σε 3×10⁴ μήκη κύματος της ακτινοβολίας στο υλικό Α, ή σε 2,2×10⁴ μήκη κύματος της ακτινοβολίας στο υλικό Β. α) Ποιο υλικό έχει μεγαλύτερο δείκτη διάθλασης; β) Σε ποιο υλικό το φως χρειάζεται περισσότερο χρόνο για να διανύσει την απόσταση d;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Αν d=Ν_Α·λ_Α=Ν_Β·λ_Β, τότε λ_Α/λ_Β=Ν_Β/Ν_Α. Μικρότερο μήκος κύματος μέσα στο υλικό σημαίνει μεγαλύτερο δείκτη διάθλασης (αφού λ=λ0/n). Ο χρόνος διέλευσης t=d/υ=dn/c είναι μεγαλύτερος όπου ο δείκτης διάθλασης είναι μεγαλύτερος.

Λύση:

1. Από d=N_Α λ_Α=N_Β λ_Β, με N_Α=3×10⁴ και N_Β=2,2×10⁴: λ_Α/λ_Β=N_Β/N_Α=2,2/3≈0,733, άρα λ_Α<λ_Β.
2. Αφού λ=λ0/n (με κοινό λ0, το ίδιο μήκος κύματος στο κενό για τις δύο ακτίνες), μικρότερο λ_Α σημαίνει μεγαλύτερο n_Α. Άρα n_Α>n_Β — το υλικό Α έχει μεγαλύτερο δείκτη διάθλασης.
3. Ο χρόνος διέλευσης της απόστασης d είναι t=d/υ=d·n/c. Μεγαλύτερο n σημαίνει μεγαλύτερο χρόνο διέλευσης, άρα το φως χρειάζεται περισσότερο χρόνο στο υλικό Α.

Απάντηση: α) Το υλικό Α έχει μεγαλύτερο δείκτη διάθλασης. β) Το φως χρειάζεται περισσότερο χρόνο να διανύσει την απόσταση d στο υλικό Α.

Άσκηση 2.38 (σελ. 82)

Με ποια ταχύτητα διαδίδεται μονοχρωματικό φως σε γυαλί με δείκτη διάθλασης n=1,5; Δίνεται c=3×10⁸ m/s.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Άμεση εφαρμογή του ορισμού n=c/υ.

Λύση:

1. υ=c/n=3×10⁸/1,5=2×10⁸ m/s.

Απάντηση: υ=2×10⁸ m/s.

Άσκηση 2.39 (σελ. 82)

Στον πυθμένα δοχείου με νερό τοποθετούμε γυάλινη πλάκα. Δέσμη παράλληλων ακτίνων μονοχρωματικού φωτός προσπίπτει από το νερό στην πλάκα με γωνία πρόσπτωσης 30°. Βρείτε τις διευθύνσεις των ανακλώμενων και διαθλώμενων ακτίνων. Δίνονται n_νερού=1,33, n_γυαλιού=1,52.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η γωνία ανάκλασης ισούται πάντα με τη γωνία πρόσπτωσης (νόμος ανάκλασης), ανεξάρτητα από τους δείκτες διάθλασης. Η γωνία διάθλασης υπολογίζεται από τον νόμο Snell.

Λύση:

1. Γωνία ανάκλασης: θ_r=θ_πρόσπτωσης=30° (νόμος ανάκλασης, ισχύει πάντα).
2. Νόμος Snell: n_νερού·ημ30°=n_γυαλιού·ημθ2 ⟹ ημθ2=(1,33×0,5)/1,52=0,665/1,52=0,4375.

Απάντηση: Η ανακλώμενη ακτίνα σχηματίζει γωνία 30° με την κάθετο (=γωνία πρόσπτωσης). Η διαθλώμενη ακτίνα έχει ημθ2=0,4375 (θ2≈25,9°).

Άσκηση 2.41 (σελ. 82)

Ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία συχνότητας f=5,1×10¹⁴Hz έχει, στο νερό, μήκος κύματος λ=4,4×10⁻⁷m. Να βρείτε τον δείκτη διάθλασης του νερού. Δίνεται c=3×10⁸m/s.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Πρώτα βρίσκουμε το μήκος κύματος στο κενό από λ0=c/f, μετά τον δείκτη διάθλασης από n=λ0/λ.

Λύση:

1. λ0=c/f=3×10⁸/(5,1×10¹⁴)=5,882×10⁻⁷m.
2. n=λ0/λ=5,882×10⁻⁷/4,4×10⁻⁷≈1,337≈1,33.

Απάντηση: n≈1,33.

Άσκηση 2.42 (σελ. 83)

Το μήκος κύματος μονοχρωματικής ακτινοβολίας στον αέρα είναι 650nm. α) Ποια η συχνότητά της; β) Ποιο το μήκος κύματος όταν διέρχεται από γυαλί με n=1,4; γ) Ποια η ταχύτητά της στο γυαλί; Δίνεται c=3×10⁸m/s.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Χρησιμοποιούμε διαδοχικά c=λ0f, λ=λ0/n, υ=c/n.

Λύση:

1. α) f=c/λ0=3×10⁸/(650×10⁻⁹)=4,615×10¹⁴Hz≈4,6×10¹⁴Hz.
2. β) λ_γυαλί=λ0/n=650/1,4=464,3nm≈464nm.
3. γ) υ=c/n=3×10⁸/1,4=2,143×10⁸m/s≈2,14×10⁸m/s.

Απάντηση: α) f≈4,6×10¹⁴Hz. β) λ_γυαλί≈464nm. γ) υ≈2,14×10⁸m/s.

Άσκηση 2.43 (σελ. 83)

Το κίτρινο φως λάμπας νατρίου διαδίδεται σε κάποιο υγρό με ταχύτητα 1,92×10⁸m/s. Ποιος ο δείκτης διάθλασης του υγρού; Δίνεται c=3×10⁸m/s.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Άμεση εφαρμογή n=c/υ.

Λύση:

1. n=c/υ=3×10⁸/1,92×10⁸=1,5625≈1,56.

Απάντηση: n≈1,56.

Άσκηση 2.49 (σελ. 84)

Μονοχρωματική ακτίνα πέφτει σε γυάλινη πλάκα πάχους d, με γωνία πρόσπτωσης φ και δείκτη διάθλασης του γυαλιού n. α) Δείξτε ότι η εξερχόμενη ακτίνα είναι παράλληλη στην αρχική. β) Υπολογίστε την παράλληλη μετατόπιση που υφίσταται η ακτίνα.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Οι δύο επιφάνειες της πλάκας είναι παράλληλες μεταξύ τους. Στην είσοδο η ακτίνα διαθλάται από αέρα σε γυαλί (ημφ=n ημθ2), στην έξοδο διαθλάται από γυαλί σε αέρα με ίδια γεωμετρία λόγω παραλληλίας των επιφανειών, άρα με τον αντίστροφο νόμο επιστρέφει στην αρχική γωνία φ — η ακτίνα εξόδου είναι παράλληλη στην αρχική, μετατοπισμένη πλευρικά κατά ένα μήκος l που υπολογίζεται από τη γεωμετρία της διαδρομής μέσα στην πλάκα.

Λύση:

1. Στην είσοδο: ημφ=n·ημθ2 (νόμος Snell, αέρας→γυαλί).
2. Στην έξοδο (γυαλί→αέρα, παράλληλη επιφάνεια, ίδια γωνία πρόσπτωσης θ2 εσωτερικά): n·ημθ2=ημφ_έξοδος ⟹ φ_έξοδος=φ — η εξερχόμενη ακτίνα είναι παράλληλη στην αρχική, αφού οι δύο επιφάνειες της πλάκας είναι παράλληλες μεταξύ τους.
3. Η οριζόντια διαδρομή μέσα στην πλάκα σε βάθος d δίνει πλευρική απόκλιση ανάμεσα στην ευθεία προέκταση της αρχικής ακτίνας και στο σημείο εξόδου, ίση με l=d·ημ(φ-θ2)/συνθ2. Χρησιμοποιώντας ημθ2=ημφ/n και συνθ2=√(1-ημ²φ/n²)=√(n²-ημ²φ)/n, και αναπτύσσοντας ημ(φ-θ2)=ημφ·συνθ2-συνφ·ημθ2, προκύπτει μετά από πράξεις η συμπαγής μορφή: l=d·ημφ·(1-συνφ/√(n²-ημ²φ)).

Απάντηση: α) Η εξερχόμενη ακτίνα είναι παράλληλη στην αρχική, λόγω παραλληλίας των δύο επιφανειών της πλάκας. β) l=d·ημφ·(1-συνφ/√(n²-ημ²φ)).

Άσκηση 2.50 (σελ. 84)

Κυλινδρικό δοχείο έχει διάμετρο βάσης 8√2 cm και άγνωστο ύψος. Παρατηρητής βρίσκεται έτσι ώστε, με το δοχείο κενό, μόλις να βλέπει την απέναντι εσωτερική άκρη του πυθμένα. Με το δοχείο γεμάτο νερό, χωρίς να αλλάξει θέση, ο παρατηρητής βλέπει το κέντρο του πυθμένα. Βρείτε το ύψος του δοχείου. Δίνεται n_νερού=√2.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Όταν το δοχείο είναι κενό, η γραμμή όρασης είναι ευθεία από το μάτι, πάνω από το κοντινό χείλος, μέχρι την απέναντι κάτω γωνία — μια ευθεία με tanθ1=D/h (D=διάμετρος, h=ύψος). Με νερό, η ακτίνα από το κέντρο του πυθμένα διαθλάται στην επιφάνεια πριν φτάσει στο ίδιο σημείο του χείλους — η εσωτερική γωνία της διαδρομής έχει tanθ2=(D/2)/h, και ισχύει ο νόμος Snell ημθ1=n·ημθ2 στο σημείο εξόδου από το νερό.

Λύση:

1. Κενό δοχείο: tanθ1=D/h=8√2/h.
2. Γεμάτο δοχείο, ακτίνα από το κέντρο του πυθμένα μέχρι το ίδιο σημείο του χείλους: tanθ2=(D/2)/h=4√2/h.
3. Νόμος Snell στην επιφάνεια εξόδου (νερό→αέρα): ημθ1=n·ημθ2, με n=√2.
4. Δοκιμάζοντας h=8cm: tanθ1=8√2/8=√2 ⟹ ημθ1=√2/√3. tanθ2=4√2/8=√2/2 ⟹ ημθ2=(√2/2)/√(1+1/2)=(√2/2)/√1,5=1/√3.
5. Έλεγχος: n·ημθ2=√2×(1/√3)=√2/√3=ημθ1 ✓ — η τιμή h=8cm επαληθεύει ακριβώς τον νόμο Snell.

Απάντηση: Το ύψος του δοχείου είναι h=8cm.