Εκφώνηση: Η γωνιακή επιτάχυνση ενός στερεού που στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα είναι: α) ανάλογη με τη ροπή αδράνειας, β) ανάλογη με τη μάζα, γ) ανάλογη με τη δύναμη, δ) ανάλογη με τη ροπή που ασκείται.

Λύση:

Από τον θεμελιώδη νόμο Στ=Iα_γων προκύπτει α_γων=Στ/I — η γωνιακή επιτάχυνση είναι ανάλογη της συνολικής ροπής (για σταθερό I), όχι της ροπής αδράνειας (με την οποία είναι αντιστρόφως ανάλογη).

Απάντηση: Ανάλογη με τη ροπή που ασκείται στο σώμα (επιλογή δ).

Άσκηση 4.18

Εκφώνηση: Πόρτα με δύο υλικά ίδιου όγκου (υλικό 1 πυκνότερο, υλικό 2 λιγότερο πυκνό). Από ποια μεριά πρέπει να τοποθετηθούν οι μεντεσέδες ώστε η πόρτα να ανοίγει/κλείνει πιο εύκολα;

Λύση:

Η ροπή αδράνειας εξαρτάται από την κατανομή της μάζας ως προς τον άξονα περιστροφής — μάζα πιο μακριά από τον άξονα συνεισφέρει περισσότερο (I∝r²).
Για να ελαχιστοποιηθεί η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα των μεντεσέδων, το πυκνότερο (βαρύτερο) υλικό 1 πρέπει να βρίσκεται όσο το δυνατόν πιο κοντά στον άξονα.

Απάντηση: Οι μεντεσέδες πρέπει να τοποθετηθούν στη μεριά του πυκνότερου υλικού 1, ώστε η μεγαλύτερη μάζα να βρίσκεται κοντά στον άξονα περιστροφής και η ροπή αδράνειας της πόρτας να είναι μικρότερη.

Άσκηση 4.19

Εκφώνηση: Οριζόντιος δίσκος στρέφεται με δύναμη F εφαπτομενική. Το διάγραμμα ω(t) είναι ευθεία με σταθερή θετική κλίση, ξεκινώντας από αρνητική τιμή στο t=0, μηδενίζεται στο t₁, και συνεχίζει θετικά. Ποιες προτάσεις είναι σωστές: α) η γωνιακή επιτάχυνση είναι σταθερή, β) στο t₁ η F είναι μηδέν, γ) η ροπή της F αυξάνεται με το χρόνο, δ) η F έχει σταθερό μέτρο.

Λύση:

Σταθερή κλίση στο ω(t) σημαίνει σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α_γων, άρα σταθερή ροπή Στ=Iα_γων (πρόταση α σωστή).
Στο t₁, ω=0 αλλά η κλίση (άρα η α_γων και η F) παραμένει η ίδια μη μηδενική τιμή — η F ΔΕΝ μηδενίζεται εκεί (πρόταση β λάθος).
Σταθερή ροπή σημαίνει ότι δεν αυξάνεται με τον χρόνο (πρόταση γ λάθος).
Σταθερή ροπή με σταθερό μοχλοβραχίονα (ακτίνα δίσκου) σημαίνει σταθερό μέτρο δύναμης F (πρόταση δ σωστή).

Απάντηση: Σωστές είναι οι προτάσεις (α) και (δ)· η γωνιακή επιτάχυνση είναι σταθερή και η δύναμη F έχει σταθερό μέτρο.

Άσκηση 4.20

Εκφώνηση: Σφαίρα κυλίεται χωρίς ολίσθηση σε πλάγιο επίπεδο, αποκτώντας γωνιακή και γραμμική επιτάχυνση. Ποιες δυνάμεις είναι υπεύθυνες: α) για το ότι δεν ολισθαίνει, β) για τη γωνιακή επιτάχυνση, γ) για τη μεταφορική επιτάχυνση;

Λύση:

α) Η στατική τριβή Τ είναι υπεύθυνη ώστε η σφαίρα να μην ολισθαίνει (εξασφαλίζει την κινηματική σχέση υ_cm=ωR).
β) Η ίδια στατική τριβή Τ, έχοντας μη μηδενική ροπή ως προς το κέντρο μάζας, είναι υπεύθυνη για τη γωνιακή επιτάχυνση (Στ=Iα_γων).
γ) Η συνιστώσα του βάρους κατά μήκος του επιπέδου, mg·ημθ (μαζί με την αντίθετη τριβή Τ), καθορίζει τη μεταφορική επιτάχυνση του κέντρου μάζας.

Απάντηση: α) Η στατική τριβή. β) Η στατική τριβή (μέσω της ροπής της ως προς το κέντρο μάζας). γ) Η συνιστώσα του βάρους κατά μήκος του επιπέδου (mgημθ), μειωμένη κατά την τριβή.

Άσκηση 4.45

Εκφώνηση: Σε τροχό μάζας M=2 kg και ακτίνας R=0,5 m, που στρέφεται με ω=100 rad/s, ασκείται σταθερή εφαπτομενική δύναμη F. Ο τροχός σταματάει μετά από 5 s. Δίνεται I=½MR². Υπολογίστε: α) τη γωνιακή επιβράδυνση, β) το μέτρο της F.

Λύση:

α_γων=(0−100)/5=−20 rad/s² ⇒ μέτρο επιβράδυνσης 20 rad/s².
I=½·2·0,5²=0,25 kg·m².
τ=I·α_γων=0,25·20=5 N·m ⇒ F=τ/R=5/0,5=10 N.

Απάντηση: α) 20 rad/s² (επιβράδυνση). β) F=10 N.

Άσκηση 4.46

Εκφώνηση: Οριζόντια ομογενής ράβδος μήκους L=1 m στρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από ένα άκρο της. Ποια είναι η γωνιακή επιτάχυνση τη στιγμή που, από οριζόντια θέση, αφήνεται ελεύθερη; Δίνεται I=ML²/3, g=10 m/s².

Λύση:

τ=Mg·(L/2)=M·10·0,5=5M N·m.
I=ML²/3=M·1/3=M/3 kg·m².
α_γων=τ/I=5M/(M/3)=15 rad/s².

Απάντηση: α_γων = 15 rad/s².

Άσκηση 4.54

Εκφώνηση: Ράβδος μήκους L=2 m και μάζα M=3 kg, οριζόντια, στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα στο άκρο της Ο. Στο άλλο άκρο Α ασκείται σταθερή οριζόντια δύναμη F=10 N, διαρκώς κάθετη στη ράβδο. Η ράβδος ξεκινά από την ηρεμία. Δίνεται I=ML²/3. Υπολογίστε: α) το έργο της F σε μία περιστροφή, β) τη γωνιακή ταχύτητα μετά από μία περιστροφή, γ) την ισχύ της F τη στιγμή αυτή.

Λύση:

τ=F·L=10·2=20 N·m.
α) W=τ·θ=20·2π=40π J≈125,7 J.
I=ML²/3=3·4/3=4 kg·m².
β) W=½Iω² ⇒ ω=√(2W/I)=√(2·40π/4)=√(20π)≈7,9 rad/s.
γ) P=τ·ω=20·7,9≈158 W.

Απάντηση: α) W=40π J≈125,7 J. β) ω≈7,9 rad/s. γ) P≈158 W.

Άσκηση 4.59

Εκφώνηση: Ο πίσω τροχός ποδηλάτου έχει ακτίνα R=0,30 m και μάζα 1 kg (μάζα συγκεντρωμένη στην περιφέρεια). Στρέφεται με συχνότητα 100 στροφές/λεπτό χωρίς επαφή με το έδαφος. Με φρένο (μονόπλευρη επαφή, συντελεστής τριβής ολίσθησης π/5) τον ακινητοποιούμε σε 5 s. Υπολογίστε την κάθετη δύναμη που ασκεί το φρένο στον τροχό.

Λύση:

f=100/60 Hz ⇒ ω₀=2πf=2π·100/60=10π/3 rad/s.
α_γων=ω₀/t=(10π/3)/5=2π/3 rad/s².
I=mR²=1·0,3²=0,09 kg·m².
τ=I·α_γων=0,09·2π/3=0,06π N·m.
Η τριβή του φρένου ασκεί ροπή τ=μΝ·R ⇒ N=τ/(μR)=0,06π/((π/5)·0,3)=0,06π/(0,06π)=1 N.

Απάντηση: N = 1 N.

Άσκηση 4.62

Εκφώνηση: Συμπαγής σφαίρα κατεβαίνει χωρίς ολίσθηση σε πλάγιο επίπεδο κλίσης 30°. Δίνεται I=(2/5)mR², g=10 m/s². Υπολογίστε την επιτάχυνση του κέντρου της.

Λύση:

Μεταφορικά: mgημφ−T=ma. Περιστροφικά (ως προς κέντρο): T·R=Iα_γων=(2/5)mR²·(a/R) ⇒ T=(2/5)ma.
Αντικαθιστώντας: mgημφ−(2/5)ma=ma ⇒ gημφ=(7/5)a ⇒ a=(5/7)gημφ.
a=(5/7)·10·0,5=25/7≈3,57 m/s².

Απάντηση: a = 25/7 m/s² ≈ 3,57 m/s².

Άσκηση 4.63

Εκφώνηση: Ομογενής τροχαλία μάζας m=2 kg και ακτίνας R (I=½mR²), με σώματα Σ₁ (m₁=3 kg) και Σ₂ (m₂=1 kg) κρεμασμένα εκατέρωθεν χωρίς ολίσθηση σκοινιού. Υπολογίστε την επιτάχυνση των σωμάτων αν αφεθούν ελεύθερα. Δίνεται g=10 m/s².

Λύση:

Για Σ₁: m₁g−T₁=m₁a. Για Σ₂: T₂−m₂g=m₂a. Για την τροχαλία: (T₁−T₂)R=Iα_γων=½mR²(a/R) ⇒ T₁−T₂=½ma.
Προσθέτοντας τις τρεις εξισώσεις (m₁g−m₂g)=（m₁+m₂+m/2)a ⇒ a=(m₁−m₂)g/(m₁+m₂+m/2).
a=(3−1)·10/(3+1+1)=20/5=4 m/s².

Απάντηση: a = 4 m/s².

Άσκηση 4.67

Εκφώνηση: Τροχός αφήνεται να κινηθεί σε πλάγιο επίπεδο γωνίας φ. Για ποιες τιμές του συντελεστή οριακής στατικής τριβής η κίνηση γίνεται χωρίς ολίσθηση; Δίνεται I=½mR².

Λύση:

Μεταφορικά: mgημφ−f=ma. Περιστροφικά: fR=Iα_γων=½mR²(a/R) ⇒ f=½ma.
mgημφ−½ma=ma ⇒ a=(2/3)gημφ ⇒ f=½m·(2/3)gημφ=(1/3)mgημφ.
Κάθετη αντίδραση N=mgσυνφ. Συνθήκη μη ολίσθησης: f≤μΝ ⇒ (1/3)mgημφ≤μmgσυνφ ⇒ μ≥(1/3)εφφ.

Απάντηση: μ > εφφ/3.

Προηγούμενο Στοιχείο

Επιστροφή στην Ενότητα

Επόμενο Στοιχείο