Κεφάλαιο 5.3 – Κεντρική Ελαστική Κρούση Δύο Σφαιρών (σελ. 156-182) – Λύσεις

Κεφάλαιο 5.3 - Κεντρική Ελαστική Κρούση Δύο Σφαιρών (σελ. 156-182) — Λύσεις - Απαντήσεις

Άσκηση 5.6 (σελ. 175)

Δύο σφαίρες ίσων μαζών κινούνται στην ίδια ευθεία και φορά με ταχύτητες u₁=10 m/s και u₂=20 m/s. Αν μετά την κρούση η σφαίρα 1 έχει ταχύτητα u'₁=16 m/s, τι συμπέρασμα βγάζεται για την κρούση; Είναι ελαστική ή όχι;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Σε κεντρική ελαστική κρούση ίσων μαζών, οι σφαίρες ΑΝΤΑΛΛΑΣΣΟΥΝ ταχύτητες (u'₁=u₂, u'₂=u₁). Ελέγχουμε αν αυτό ισχύει με τα δεδομένα.

Λύση:

1. Αν η κρούση ήταν ελαστική με ίσες μάζες, θα περιμέναμε u'₁=u₂=20 m/s (ανταλλαγή ταχυτήτων).
2. Το δεδομένο u'₁=16 m/s είναι διαφορετικό από 20 m/s, άρα δεν επαληθεύεται η προϋπόθεση της ελαστικής κρούσης για ίσες μάζες.

Απάντηση: Η κρούση ΔΕΝ είναι ελαστική, αφού σε κεντρική ελαστική κρούση ίσων μαζών οι σφαίρες θα αντάλλασσαν ταχύτητες (u'₁ θα έπρεπε να είναι 20 m/s, όχι 16 m/s).

Άσκηση 5.7 (σελ. 175)

Σφαίρα Α συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα Β ίσης μάζας. Η ταχύτητα της Α μετά την κρούση: α) θα είναι ίση με αυτήν πριν, β) θα είναι αντίθετη αυτής πριν, γ) θα είναι ίση με την ταχύτητα που θα αποκτήσει η Β, δ) θα μηδενιστεί. Επιλέξτε τη σωστή πρόταση.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Εφαρμόζουμε τις σχέσεις (5.8),(5.9) για ίσες μάζες με τη Β αρχικά ακίνητη.

Λύση:

1. Για m₁=m₂ και υ₂=0: u'₁=(m₁-m₂)/(m₁+m₂)·υ₁=0 και u'₂=2m₁/(m₁+m₂)·υ₁=υ₁.
2. Άρα η Α σταματά (u'₁=0) και η Β αποκτά την αρχική ταχύτητα της Α.

Απάντηση: δ) Η ταχύτητα της Α θα μηδενιστεί (η Α σταματά, η Β αποκτά ολόκληρη την αρχική ταχύτητα της Α).

Άσκηση 5.8 (σελ. 175)

Ποιες προτάσεις είναι σωστές; α) Στις μετωπικές κρούσεις οι ταχύτητες πριν/μετά έχουν την ίδια διεύθυνση. β) Στην ελαστική κρούση η μηχανική ενέργεια διατηρείται. γ) Στην πλαστική κρούση η ενέργεια μεταβάλλεται. δ) Αν η μετωπική κρούση δύο ίσων μαζών είναι ελαστική, οι σφαίρες ανταλλάσσουν ταχύτητες.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ελέγχουμε κάθε πρόταση με βάση τους ορισμούς και τις σχέσεις του §5.2-§5.3.

Λύση:

1. α) Σωστή — ορισμός κεντρικής/μετωπικής κρούσης.
2. β) Σωστή — ορισμός ελαστικής κρούσης.
3. γ) Σωστή — στην πλαστική κρούση η κινητική ενέργεια μειώνεται (μετατρέπεται σε θερμότητα).
4. δ) Σωστή — αποδεικνύεται από τις σχέσεις (5.6),(5.7) με m₁=m₂.

Απάντηση: Όλες οι προτάσεις (α, β, γ, δ) είναι σωστές.

Άσκηση 5.23 (σελ. 177)

Σώμα μάζας m που κινείται με ταχύτητα υ=12 m/s συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα τριπλάσιας μάζας. Να υπολογιστούν οι ταχύτητες των σωμάτων μετά την κρούση.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Εφαρμόζουμε τις σχέσεις (5.8),(5.9) με m₂=3m₁ και υ₂=0.

Λύση:

1. υ'₁=(m₁-m₂)/(m₁+m₂)·υ₁=(m-3m)/(4m)·12=(-2/4)·12=-6 m/s.
2. υ'₂=2m₁/(m₁+m₂)·υ₁=(2m/4m)·12=6 m/s.

Απάντηση: Το πρώτο σώμα ανακλάται με ταχύτητα 6 m/s (αντίθετη φορά), το δεύτερο κινείται με 6 m/s (αρχική φορά).

Άσκηση 5.25 (σελ. 177)

Σφαίρα (1) μάζας m₁=1 kg προσπίπτει με ταχύτητα υ₁ σε ακίνητη σφαίρα (2) και συγκρούεται ελαστικά και κεντρικά με αυτή. Μετά την κρούση η (1) κινείται με ταχύτητα μέτρου υ'₁=υ₁/3. Ποια πρέπει να είναι η m₂ ώστε: α) η υ'₁ να είναι ομόρροπη της υ₁, β) η υ'₁ να είναι αντίρροπη.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Χρησιμοποιούμε τη σχέση (5.8) με πρόσημο +υ₁/3 (ομόρροπη) ή -υ₁/3 (αντίρροπη) και λύνουμε ως προς m₂.

Λύση:

1. Σχέση (5.8): υ'₁=(m₁-m₂)/(m₁+m₂)·υ₁.
2. α) Ομόρροπη: (m₁-m₂)/(m₁+m₂)=1/3 ⇒ 3(1-m₂)=1+m₂ ⇒ 3-3m₂=1+m₂ ⇒ m₂=0,5 kg.
3. β) Αντίρροπη: (m₁-m₂)/(m₁+m₂)=-1/3 ⇒ 3(1-m₂)=-(1+m₂) ⇒ 3-3m₂=-1-m₂ ⇒ m₂=2 kg.

Απάντηση: α) m₂=0,5 kg (ομόρροπη υ'₁), β) m₂=2 kg (αντίρροπη υ'₁).

Άσκηση 5.26 (σελ. 177)

Σφαίρα μάζας m₁=2 kg με ταχύτητα υ₁=4 m/s συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με σφαίρα m₂=4 kg που κινείται αντίθετα με υ₂=5 m/s. Να υπολογίσετε τις ταχύτητες μετά την κρούση.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Εφαρμόζουμε τις γενικές σχέσεις (5.6),(5.7) θεωρώντας θετική τη φορά της υ₁, άρα υ₂=-5 m/s.

Λύση:

1. υ'₁=(m₁-m₂)/(m₁+m₂)·υ₁+2m₂/(m₁+m₂)·υ₂=(2-4)/6×4+(2×4)/6×(-5)=-4/3-40/6=-1,33-6,67=-8 m/s.
2. υ'₂=2m₁/(m₁+m₂)·υ₁+(m₂-m₁)/(m₁+m₂)·υ₂=(4/6)×4+(2/6)×(-5)=2,67-1,67=1 m/s.

Απάντηση: Η m₁ αποκτά ταχύτητα 8 m/s με αντίθετη φορά από την αρχική της, η m₂ αποκτά ταχύτητα 1 m/s (φορά της αρχικής υ₁).

Άσκηση 5.27 (σελ. 177)

Σφαίρα m₁ πέφτει με ταχύτητα υ₁ σε ακίνητη σφαίρα m₂ και συγκρούεται ελαστικά και κεντρικά. Ποια πρέπει να είναι η σχέση m₁,m₂ ώστε μετά την κρούση η m₂ να έχει τη μέγιστη δυνατή κινητική ενέργεια;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Εκφράζουμε την κινητική ενέργεια της m₂ μετά την κρούση συναρτήσει του m₂ (με m₁,υ₁ σταθερά) και βρίσκουμε πού μεγιστοποιείται (παράγωγος μηδέν).

Λύση:

1. Από (5.9): υ'₂=2m₁υ₁/(m₁+m₂). Άρα K₂=½m₂υ'₂²=2m₁²m₂υ₁²/(m₁+m₂)².
2. Παραγωγίζοντας ως προς m₂ και μηδενίζοντας: d/dm₂[m₂/(m₁+m₂)²]=[(m₁+m₂)-2m₂]/(m₁+m₂)³=(m₁-m₂)/(m₁+m₂)³=0.
3. Άρα η μέγιστη τιμή επιτυγχάνεται όταν m₁=m₂.

Απάντηση: Η κινητική ενέργεια της m₂ μεγιστοποιείται όταν m₁=m₂ (ίσες μάζες) — τότε όλη η κινητική ενέργεια μεταφέρεται στην αρχικά ακίνητη σφαίρα.

Άσκηση 5.28 (σελ. 177)

Όταν κινούμενο νετρόνιο συγκρουστεί ελαστικά με ακίνητο πυρήνα χάνει μέρος της κινητικής του ενέργειας. Τι ποσοστό χάνει αν συγκρουστεί: α) με πυρήνα πρωτίου (¹₁H), β) με πυρήνα δευτερίου (²₁H), γ) με πυρήνα ηλίου (⁴₂He);

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το κλάσμα της κινητικής ενέργειας που μεταφέρεται από m₁ (νετρόνιο) στην αρχικά ακίνητη m₂ σε κεντρική ελαστική κρούση είναι 4m₁m₂/(m₁+m₂)². Θέτουμε m₂=k·m₁ για κάθε πυρήνα (k=μάζα πυρήνα σε μονάδες μάζας νετρονίου, περίπου ίσο με τον μαζικό αριθμό).

Λύση:

1. Γενικός τύπος ποσοστού μεταφοράς ενέργειας: f=4m₁m₂/(m₁+m₂)².
2. α) Πρώτιο, m₂≈m₁ (k=1): f=4×1×1/(1+1)²=4/4=1=100%.
3. β) Δευτέριο, m₂≈2m₁ (k=2): f=4×1×2/(1+2)²=8/9≈88,9%.
4. γ) Ήλιο, m₂≈4m₁ (k=4): f=4×1×4/(1+4)²=16/25=64%.

Απάντηση: α) 100% (πλήρης μεταφορά — ίσες μάζες), β) 88,9%, γ) 64%.

Πρόσεξε:

• Όσο μεγαλύτερη η μάζα-στόχος σε σχέση με το νετρόνιο, τόσο μικρότερο το ποσοστό ενέργειας που μεταφέρεται — γι' αυτό οι πυρηνικοί αντιδραστήρες χρησιμοποιούν ελαφριά υλικά (π.χ. νερό, γραφίτη) ως επιβραδυντές.

Άσκηση 5.41 (σελ. 180)

Μια σφαίρα συγκρούεται ελαστικά με άλλη όμοια σφαίρα που αρχικά ηρεμεί. Δείξτε ότι αν η κρούση δεν είναι κεντρική, μετά την κρούση οι σφαίρες θα κινούνται σε διευθύνσεις κάθετες μεταξύ τους.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Συνδυάζουμε τη διανυσματική διατήρηση ορμής με τη (μονόμετρη) διατήρηση κινητικής ενέργειας, για ίσες μάζες, και δείχνουμε ότι το εσωτερικό γινόμενο των τελικών ταχυτήτων είναι μηδέν.

Λύση:

1. Διατήρηση ορμής (m ίδια και για τα δύο σώματα): m·v⃗₁=m·v⃗'₁+m·v⃗'₂ ⇒ v⃗₁=v⃗'₁+v⃗'₂.
2. Διατήρηση κινητικής ενέργειας: ½mv₁²=½mv'₁²+½mv'₂² ⇒ v₁²=v'₁²+v'₂².
3. Υψώνουμε στο τετράγωνο (εσωτερικό γινόμενο με τον εαυτό του) τη σχέση της ορμής: v₁²=|v⃗'₁+v⃗'₂|²=v'₁²+v'₂²+2v⃗'₁·v⃗'₂.
4. Συγκρίνοντας με τη σχέση της ενέργειας (v₁²=v'₁²+v'₂²): προκύπτει 2v⃗'₁·v⃗'₂=0 ⇒ v⃗'₁·v⃗'₂=0.
5. Αφού οι ταχύτητες μετά την κρούση δεν είναι μηδενικές (μη κεντρική κρούση), το μηδενικό εσωτερικό γινόμενο σημαίνει ότι v⃗'₁⊥v⃗'₂.

Απάντηση: Αποδείχθηκε: v⃗'₁·v⃗'₂=0, άρα οι δύο σφαίρες κινούνται σε κάθετες διευθύνσεις μετά την (μη κεντρική) ελαστική κρούση, εφόσον οι μάζες είναι ίσες.

Άσκηση 5.47 (σελ. 181)

Σώμα m₁ με ταχύτητα υ₀ προσκρούει σε ακίνητο σώμα m₂=2m₁ σε απόσταση x=1 m. Μετά την ελαστική κρούση το πρώτο σώμα επιστρέφει και σταματά στην αρχική του θέση. Ο συντελεστής τριβής των δύο σωμάτων με το δάπεδο είναι μ=0,5. Να υπολογίσετε: α) την υ₀, β) το διάστημα που θα διανύσει το δεύτερο σώμα μέχρι να σταματήσει. Δίνεται g=10 m/s².

Σκέψη / Μεθοδολογία: Χωρίζουμε σε φάσεις: το m₁ διανύει x με τριβή φτάνοντας στο m₂ με ταχύτητα υ_c, γίνεται ελαστική κρούση (m₂=2m₁), το m₁ επιστρέφει με τριβή διανύοντας ξανά x και σταματά εκεί ακριβώς (v=0). Χρησιμοποιούμε ΘΜΚΕ σε κάθε φάση ολίσθησης με τριβή.

Λύση:

1. Πριν την κρούση (με τριβή, απόσταση x): υ_c²=υ₀²-2μgx.
2. Ελαστική κρούση m₁ με m₂=2m₁ ακίνητο: υ'₁=(m₁-2m₁)/(3m₁)·υ_c=-υ_c/3 (ανακλάται), υ'₂=2m₁/(3m₁)·υ_c=2υ_c/3.
3. Το m₁ επιστρέφει με ταχύτητα υ_c/3 και διανύει ξανά x με τριβή, σταματώντας ακριβώς εκεί (v=0): 0=(υ_c/3)²-2μgx ⇒ υ_c²=18μgx.
4. Συνδυάζοντας: υ₀²=υ_c²+2μgx=18μgx+2μgx=20μgx=20×0,5×10×1=100 ⇒ υ₀=10 m/s.
5. υ_c²=18×0,5×10×1=90 ⇒ υ_c=√90 m/s. Άρα υ'₂=2υ_c/3=2√90/3≈6,32 m/s.
6. Απόσταση m₂ μέχρι να σταματήσει (με τριβή): s₂=υ'₂²/(2μg)=(4×90/9)/(10)=40/10=4 m.

Απάντηση: α) υ₀=10 m/s, β) το δεύτερο σώμα διανύει s₂=4 m μέχρι να σταματήσει.

Άσκηση 5.48 (σελ. 182)

Ελατήριο σταθεράς K=200 N/m βρίσκεται πάνω σε λείο πλάγιο επίπεδο, με κλίση φ=30° (σχ. 5.34). Στο πάνω άκρο του ελατηρίου ισορροπεί σώμα με μάζα m₂=1 kg, ενώ το κάτω άκρο του είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Από ένα σημείο Α, σε δεδομένη απόσταση από το m₂, αφήνεται να ολισθήσει σώμα μάζας m₁=m₂/3. Το m₁ κατεβαίνοντας συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με το m₂. Να υπολογιστεί σε πόση απόσταση από το σημείο της σύγκρουσης οι ταχύτητες των m₁ και m₂ στιγμιαία θα μηδενιστούν. Δίνεται g=10 m/s².

Σκέψη / Μεθοδολογία: ΣΗΜΕΙΩΣΗ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΠΗΓΗΣ: το εξαγόμενο κείμενο της εκφώνησης για την απόσταση του σημείου Α από τη θέση του m₂ είναι κατεστραμμένο/επαναλαμβανόμενο στην πηγή ('Από το σημείο Α που απέχει από το m2 από το σημείο Α από το m2 απέχει...'), οπότε η αριθμητική τιμή αυτής της απόστασης δεν είναι ανακτήσιμη με βεβαιότητα. Δοκιμαστική λύση με υπόθεση απόστασης l=1 m δεν αναπαρήγαγε επακριβώς τη δοσμένη απάντηση του βιβλίου. Παρουσιάζεται η μέθοδος επίλυσης, χωρίς πλήρη αριθμητική επιβεβαίωση.

Λύση:

1. Πριν την κρούση, το m₁ ολισθαίνει χωρίς τριβή στο κεκλιμένο επίπεδο από το σημείο Α μέχρι τη θέση του m₂, αποκτώντας ταχύτητα υ₁ από ΘΜΚΕ: υ₁²=2g·ημφ·l (όπου l η —μη ανακτήσιμη με βεβαιότητα— απόσταση ΑΜ2).
2. Κεντρική ελαστική κρούση με m₂=3m₁: υ'₁=(m₁-3m₁)/(4m₁)·υ₁=-υ₁/2, υ'₂=2m₁/(4m₁)·υ₁=υ₁/2.
3. Μετά την κρούση, το m₁ ανακλάται προς τα πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο (χωρίς τριβή, μόνο βαρύτητα) και σταματάει στιγμιαία σε απόσταση s₁=υ'₁²/(2g·ημφ) από το σημείο της κρούσης.
4. Το m₂ συμπιέζει περαιτέρω το ελατήριο· η απόστασή του μέχρι στιγμιαία μηδενισμού ταχύτητας βρίσκεται από ΘΜΚΕ με το ελατήριο: ½m₂υ'₂²+m₂g·ημφ·s₂=½K(x₀+s₂)²-½Kx₀² (όπου x₀ η αρχική συσπείρωση ισορροπίας m₂g·ημφ/K), απαιτεί την τιμή του l για πλήρη αριθμητικό υπολογισμό.

Απάντηση: Η μέθοδος επίλυσης δίνεται (κρούση + ΘΜΚΕ ξεχωριστά για κάθε σώμα), αλλά η ακριβής αριθμητική απάντηση (δίνεται από το βιβλίο ως 1 m για το m₁ και √(5×10⁻²) m για το m₂) δεν επιβεβαιώθηκε πλήρως λόγω κατεστραμμένου κειμένου πηγής για την απόσταση l.

Πρόσεξε:

• Η εκφώνηση της πηγής (JSON εξαγωγής) περιέχει εμφανώς κατεστραμμένο/επαναλαμβανόμενο κείμενο στο σημείο που δίνεται η απόσταση του σημείου Α. Χρειάζεται έλεγχος στο πρωτότυπο βιβλίο (σελ. 183, σχήμα 5.34) για την ακριβή τιμή πριν οριστικοποιηθεί η αριθμητική λύση.