Κεφάλαιο 5.3 – Κεντρική Ελαστική Κρούση Δύο Σφαιρών (σελ. 156-182) – Λύσεις

Κεφάλαιο 5.3 - Κεντρική Ελαστική Κρούση Δύο Σφαιρών (σελ. 156-182) — Λύσεις - Απαντήσεις

Άσκηση 5.6 (σελ. 175)

Δύο σφαίρες ίσων μαζών κινούνται στην ίδια ευθεία και φορά με ταχύτητες u₁=10 m/s και u₂=20 m/s. Αν μετά την κρούση η σφαίρα 1 έχει ταχύτητα u'₁=16 m/s, τι συμπέρασμα βγάζεται για την κρούση; Είναι ελαστική ή όχι;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Σε κεντρική ελαστική κρούση ίσων μαζών, οι σφαίρες ΑΝΤΑΛΛΑΣΣΟΥΝ ταχύτητες (u'₁=u₂, u'₂=u₁). Ελέγχουμε αν αυτό ισχύει με τα δεδομένα.

Λύση:

1. Αν η κρούση ήταν ελαστική με ίσες μάζες, θα περιμέναμε u'₁=u₂=20 m/s (ανταλλαγή ταχυτήτων).
2. Το δεδομένο u'₁=16 m/s είναι διαφορετικό από 20 m/s, άρα δεν επαληθεύεται η προϋπόθεση της ελαστικής κρούσης για ίσες μάζες.

Απάντηση: Η κρούση ΔΕΝ είναι ελαστική, αφού σε κεντρική ελαστική κρούση ίσων μαζών οι σφαίρες θα αντάλλασσαν ταχύτητες (u'₁ θα έπρεπε να είναι 20 m/s, όχι 16 m/s).

Άσκηση 5.7 (σελ. 175)

Σφαίρα Α συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα Β ίσης μάζας. Η ταχύτητα της Α μετά την κρούση: α) θα είναι ίση με αυτήν πριν, β) θα είναι αντίθετη αυτής πριν, γ) θα είναι ίση με την ταχύτητα που θα αποκτήσει η Β, δ) θα μηδενιστεί. Επιλέξτε τη σωστή πρόταση.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Εφαρμόζουμε τις σχέσεις (5.8),(5.9) για ίσες μάζες με τη Β αρχικά ακίνητη.

Λύση:

1. Για m₁=m₂ και υ₂=0: u'₁=(m₁-m₂)/(m₁+m₂)·υ₁=0 και u'₂=2m₁/(m₁+m₂)·υ₁=υ₁.
2. Άρα η Α σταματά (u'₁=0) και η Β αποκτά την αρχική ταχύτητα της Α.

Απάντηση: δ) Η ταχύτητα της Α θα μηδενιστεί (η Α σταματά, η Β αποκτά ολόκληρη την αρχική ταχύτητα της Α).

Άσκηση 5.8 (σελ. 175)

Ποιες προτάσεις είναι σωστές; α) Στις μετωπικές κρούσεις οι ταχύτητες πριν/μετά έχουν την ίδια διεύθυνση. β) Στην ελαστική κρούση η μηχανική ενέργεια διατηρείται. γ) Στην πλαστική κρούση η ενέργεια μεταβάλλεται. δ) Αν η μετωπική κρούση δύο ίσων μαζών είναι ελαστική, οι σφαίρες ανταλλάσσουν ταχύτητες.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ελέγχουμε κάθε πρόταση με βάση τους ορισμούς και τις σχέσεις του §5.2-§5.3.

Λύση:

1. α) Σωστή — ορισμός κεντρικής/μετωπικής κρούσης.
2. β) Σωστή — ορισμός ελαστικής κρούσης.
3. γ) Σωστή με την έννοια της μηχανικής (κινητικής) ενέργειας, που μειώνεται· η ολική ενέργεια διατηρείται, αφού η απώλεια μετατρέπεται σε θερμότητα και ενέργεια παραμόρφωσης.
4. δ) Σωστή — αποδεικνύεται από τις σχέσεις (5.6),(5.7) με m₁=m₂.

Απάντηση: Όλες οι προτάσεις (α, β, γ, δ) είναι σωστές.

Άσκηση 5.23 (σελ. 178)

Σώμα μάζας m που κινείται με ταχύτητα υ=12 m/s συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα τριπλάσιας μάζας. Να υπολογιστούν οι ταχύτητες των σωμάτων μετά την κρούση.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Εφαρμόζουμε τις σχέσεις (5.8),(5.9) με m₂=3m₁ και υ₂=0.

Λύση:

1. υ'₁=(m₁-m₂)/(m₁+m₂)·υ₁=(m-3m)/(4m)·12=(-2/4)·12=-6 m/s.
2. υ'₂=2m₁/(m₁+m₂)·υ₁=(2m/4m)·12=6 m/s.

Απάντηση: Το πρώτο σώμα ανακλάται με ταχύτητα 6 m/s (αντίθετη φορά), το δεύτερο κινείται με 6 m/s (αρχική φορά).

Άσκηση 5.25 (σελ. 178)

Σφαίρα (1) μάζας m₁=1 kg προσπίπτει με ταχύτητα υ₁ σε ακίνητη σφαίρα (2) και συγκρούεται ελαστικά και κεντρικά με αυτή. Μετά την κρούση η (1) κινείται με ταχύτητα μέτρου υ'₁=υ₁/3. Ποια πρέπει να είναι η m₂ ώστε: α) η υ'₁ να είναι ομόρροπη της υ₁, β) η υ'₁ να είναι αντίρροπη.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Χρησιμοποιούμε τη σχέση (5.8) με πρόσημο +υ₁/3 (ομόρροπη) ή -υ₁/3 (αντίρροπη) και λύνουμε ως προς m₂.

Λύση:

1. Σχέση (5.8): υ'₁=(m₁-m₂)/(m₁+m₂)·υ₁.
2. α) Ομόρροπη: (m₁-m₂)/(m₁+m₂)=1/3 ⇒ 3(1-m₂)=1+m₂ ⇒ 3-3m₂=1+m₂ ⇒ m₂=0,5 kg.
3. β) Αντίρροπη: (m₁-m₂)/(m₁+m₂)=-1/3 ⇒ 3(1-m₂)=-(1+m₂) ⇒ 3-3m₂=-1-m₂ ⇒ m₂=2 kg.

Απάντηση: α) m₂=0,5 kg (ομόρροπη υ'₁), β) m₂=2 kg (αντίρροπη υ'₁).

Άσκηση 5.26 (σελ. 178)

Σφαίρα μάζας m₁=2 kg με ταχύτητα υ₁=4 m/s συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με σφαίρα m₂=4 kg που κινείται αντίθετα με υ₂=5 m/s. Να υπολογίσετε τις ταχύτητες μετά την κρούση.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Εφαρμόζουμε τις γενικές σχέσεις (5.6),(5.7) θεωρώντας θετική τη φορά της υ₁, άρα υ₂=-5 m/s.

Λύση:

1. υ'₁=(m₁-m₂)/(m₁+m₂)·υ₁+2m₂/(m₁+m₂)·υ₂=(2-4)/6×4+(2×4)/6×(-5)=-4/3-40/6=-1,33-6,67=-8 m/s.
2. υ'₂=2m₁/(m₁+m₂)·υ₁+(m₂-m₁)/(m₁+m₂)·υ₂=(4/6)×4+(2/6)×(-5)=2,67-1,67=1 m/s.

Απάντηση: Η m₁ αποκτά ταχύτητα 8 m/s με αντίθετη φορά από την αρχική της, η m₂ αποκτά ταχύτητα 1 m/s (φορά της αρχικής υ₁).

Άσκηση 5.27 (σελ. 178)

Σφαίρα m₁ πέφτει με ταχύτητα υ₁ σε ακίνητη σφαίρα m₂ και συγκρούεται ελαστικά και κεντρικά. Ποια πρέπει να είναι η σχέση m₁,m₂ ώστε μετά την κρούση η m₂ να έχει τη μέγιστη δυνατή κινητική ενέργεια;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Εκφράζουμε την κινητική ενέργεια της m₂ μετά την κρούση συναρτήσει του m₂ (με m₁,υ₁ σταθερά) και βρίσκουμε πού μεγιστοποιείται (παράγωγος μηδέν).

Λύση:

1. Από (5.9): υ'₂=2m₁υ₁/(m₁+m₂). Άρα K₂=½m₂υ'₂²=2m₁²m₂υ₁²/(m₁+m₂)².
2. Παραγωγίζοντας ως προς m₂ και μηδενίζοντας: d/dm₂[m₂/(m₁+m₂)²]=[(m₁+m₂)-2m₂]/(m₁+m₂)³=(m₁-m₂)/(m₁+m₂)³=0.
3. Άρα η μέγιστη τιμή επιτυγχάνεται όταν m₁=m₂.

Απάντηση: Η κινητική ενέργεια της m₂ μεγιστοποιείται όταν m₁=m₂ (ίσες μάζες) — τότε όλη η κινητική ενέργεια μεταφέρεται στην αρχικά ακίνητη σφαίρα.

Άσκηση 5.28 (σελ. 178)

Όταν κινούμενο νετρόνιο συγκρουστεί ελαστικά με ακίνητο πυρήνα χάνει μέρος της κινητικής του ενέργειας. Τι ποσοστό χάνει αν συγκρουστεί: α) με πυρήνα πρωτίου (¹₁H), β) με πυρήνα δευτερίου (²₁H), γ) με πυρήνα ηλίου (⁴₂He);

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το κλάσμα της κινητικής ενέργειας που μεταφέρεται από m₁ (νετρόνιο) στην αρχικά ακίνητη m₂ σε κεντρική ελαστική κρούση είναι 4m₁m₂/(m₁+m₂)². Θέτουμε m₂=k·m₁ για κάθε πυρήνα (k=μάζα πυρήνα σε μονάδες μάζας νετρονίου, περίπου ίσο με τον μαζικό αριθμό).

Λύση:

1. Γενικός τύπος ποσοστού μεταφοράς ενέργειας: f=4m₁m₂/(m₁+m₂)².
2. α) Πρώτιο, m₂≈m₁ (k=1): f=4×1×1/(1+1)²=4/4=1=100%.
3. β) Δευτέριο, m₂≈2m₁ (k=2): f=4×1×2/(1+2)²=8/9≈88,9%.
4. γ) Ήλιο, m₂≈4m₁ (k=4): f=4×1×4/(1+4)²=16/25=64%.

Απάντηση: α) 100% (πλήρης μεταφορά — ίσες μάζες), β) 88,9%, γ) 64%.

Πρόσεξε:

• Όσο μεγαλύτερη η μάζα-στόχος σε σχέση με το νετρόνιο, τόσο μικρότερο το ποσοστό ενέργειας που μεταφέρεται — γι' αυτό οι πυρηνικοί αντιδραστήρες χρησιμοποιούν ελαφριά υλικά (π.χ. νερό, γραφίτη) ως επιβραδυντές.

Άσκηση 5.41 (σελ. 180)

Μια σφαίρα συγκρούεται ελαστικά με άλλη όμοια σφαίρα που αρχικά ηρεμεί. Δείξτε ότι αν η κρούση δεν είναι κεντρική, μετά την κρούση οι σφαίρες θα κινούνται σε διευθύνσεις κάθετες μεταξύ τους.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Συνδυάζουμε τη διανυσματική διατήρηση ορμής με τη (μονόμετρη) διατήρηση κινητικής ενέργειας, για ίσες μάζες, και δείχνουμε ότι το εσωτερικό γινόμενο των τελικών ταχυτήτων είναι μηδέν.

Λύση:

1. Διατήρηση ορμής (m ίδια και για τα δύο σώματα): m·v⃗₁=m·v⃗'₁+m·v⃗'₂ ⇒ v⃗₁=v⃗'₁+v⃗'₂.
2. Διατήρηση κινητικής ενέργειας: ½mv₁²=½mv'₁²+½mv'₂² ⇒ v₁²=v'₁²+v'₂².
3. Υψώνουμε στο τετράγωνο (εσωτερικό γινόμενο με τον εαυτό του) τη σχέση της ορμής: v₁²=|v⃗'₁+v⃗'₂|²=v'₁²+v'₂²+2v⃗'₁·v⃗'₂.
4. Συγκρίνοντας με τη σχέση της ενέργειας (v₁²=v'₁²+v'₂²): προκύπτει 2v⃗'₁·v⃗'₂=0 ⇒ v⃗'₁·v⃗'₂=0.
5. Αφού οι ταχύτητες μετά την κρούση δεν είναι μηδενικές (μη κεντρική κρούση), το μηδενικό εσωτερικό γινόμενο σημαίνει ότι v⃗'₁⊥v⃗'₂.

Απάντηση: Αποδείχθηκε: v⃗'₁·v⃗'₂=0, άρα οι δύο σφαίρες κινούνται σε κάθετες διευθύνσεις μετά την (μη κεντρική) ελαστική κρούση, εφόσον οι μάζες είναι ίσες.

Άσκηση 5.47 (σελ. 182)

Σώμα m₁ με ταχύτητα υ₀ προσκρούει σε ακίνητο σώμα m₂=2m₁ σε απόσταση x=1 m. Μετά την ελαστική κρούση το πρώτο σώμα επιστρέφει και σταματά στην αρχική του θέση. Ο συντελεστής τριβής των δύο σωμάτων με το δάπεδο είναι μ=0,5. Να υπολογίσετε: α) την υ₀, β) το διάστημα που θα διανύσει το δεύτερο σώμα μέχρι να σταματήσει. Δίνεται g=10 m/s².

Σκέψη / Μεθοδολογία: Χωρίζουμε σε φάσεις: το m₁ διανύει x με τριβή φτάνοντας στο m₂ με ταχύτητα υ_c, γίνεται ελαστική κρούση (m₂=2m₁), το m₁ επιστρέφει με τριβή διανύοντας ξανά x και σταματά εκεί ακριβώς (v=0). Χρησιμοποιούμε ΘΜΚΕ σε κάθε φάση ολίσθησης με τριβή.

Λύση:

1. Πριν την κρούση (με τριβή, απόσταση x): υ_c²=υ₀²-2μgx.
2. Ελαστική κρούση m₁ με m₂=2m₁ ακίνητο: υ'₁=(m₁-2m₁)/(3m₁)·υ_c=-υ_c/3 (ανακλάται), υ'₂=2m₁/(3m₁)·υ_c=2υ_c/3.
3. Το m₁ επιστρέφει με ταχύτητα υ_c/3 και διανύει ξανά x με τριβή, σταματώντας ακριβώς εκεί (v=0): 0=(υ_c/3)²-2μgx ⇒ υ_c²=18μgx.
4. Συνδυάζοντας: υ₀²=υ_c²+2μgx=18μgx+2μgx=20μgx=20×0,5×10×1=100 ⇒ υ₀=10 m/s.
5. υ_c²=18×0,5×10×1=90 ⇒ υ_c=√90 m/s. Άρα υ'₂=2υ_c/3=2√90/3≈6,32 m/s.
6. Απόσταση m₂ μέχρι να σταματήσει (με τριβή): s₂=υ'₂²/(2μg)=(4×90/9)/(10)=40/10=4 m.

Απάντηση: α) υ₀=10 m/s, β) το δεύτερο σώμα διανύει s₂=4 m μέχρι να σταματήσει.

Άσκηση 5.48 (σελ. 182)

Ελατήριο σταθεράς K = 200 N/m βρίσκεται πάνω σε λείο πλάγιο επίπεδο, με κλίση φ = 30° όπως στο σχήμα 5.34. Στο πάνω άκρο του ελατηρίου ισορροπεί σώμα με μάζα m₂ = 1 kg ενώ το κάτω άκρο του είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Από το σημείο Α που απέχει απόσταση l = 4 m από το m₂ αφήνεται να ολισθήσει σώμα μάζας m₁ = m₂/3. Το m₁ κατεβαίνοντας συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με το m₂. Να υπολογιστεί σε πόση απόσταση από το σημείο της σύγκρουσης οι ταχύτητες των m₁ και m₂ στιγμιαία θα μηδενιστούν. Δίνεται g = 10 m/s².

Σκέψη / Μεθοδολογία: Χωρίζουμε το φαινόμενο σε τρία στάδια: την ολίσθηση του m₁ ως το m₂ (ΘΜΚΕ), την κεντρική ελαστική κρούση (τύποι ελαστικής κρούσης με ακίνητο στόχο) και την κίνηση κάθε σώματος μετά την κρούση. Το m₁ ανεβαίνει επιβραδυνόμενο από τη συνιστώσα του βάρους του, ενώ το m₂, που βρισκόταν στη θέση ισορροπίας του, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά \(D=K\), οπότε η ζητούμενη απόσταση είναι το πλάτος της ταλάντωσης.

Λύση:

1. Ολίσθηση του m₁ (ΘΜΚΕ): \(\tfrac12 m_1\upsilon_1^2 = m_1 g\,\eta\mu\varphi\, l \Rightarrow \upsilon_1^2 = 2\cdot10\cdot0{,}5\cdot4 = 40\), άρα \(\upsilon_1=\sqrt{40}\) m/s.
2. Ελαστική κρούση με m₂ = 3m₁ ακίνητο: \(\upsilon'_1=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\upsilon_1=-\frac{\upsilon_1}{2}\) και \(\upsilon'_2=\frac{2m_1}{m_1+m_2}\upsilon_1=\frac{\upsilon_1}{2}=\sqrt{10}\) m/s. Το m₁ αναπηδά προς τα πάνω με μέτρο ταχύτητας \(\sqrt{10}\) m/s.
3. Κίνηση του m₁ μετά την κρούση: επιβραδύνεται με \(g\,\eta\mu\varphi = 5\) m/s², άρα σταματά στιγμιαία μετά από διαδρομή \(s_1=\frac{\upsilon_1'^2}{2g\,\eta\mu\varphi}=\frac{10}{10}=1\) m.
4. Κίνηση του m₂ μετά την κρούση: τη στιγμή της κρούσης βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του, οπότε εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με \(\omega=\sqrt{K/m_2}=\sqrt{200}\) rad/s και μέγιστη ταχύτητα \(\upsilon'_2\). Η ταχύτητά του μηδενίζεται στιγμιαία στην ακραία θέση, σε απόσταση ίση με το πλάτος: \(s_2=A=\frac{\upsilon'_2}{\omega}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{200}}=\sqrt{5\times10^{-2}}\) m ≈ 0,224 m.

Απάντηση: Το m₁ σταματά στιγμιαία σε απόσταση 1 m και το m₂ σε απόσταση \(\sqrt{5\times10^{-2}}\) m ≈ 0,224 m από το σημείο της σύγκρουσης.

Πρόσεξε:

• Το m₂ ισορροπούσε πάνω στο ελατήριο, άρα μετά την κρούση ξεκινά ταλάντωση από τη θέση ισορροπίας με μέγιστη ταχύτητα· η απόσταση ως τη στιγμιαία ακινητοποίηση είναι το πλάτος \(A=\upsilon_{max}/\omega\).
• Στο κεκλιμένο επίπεδο το ελατήριο με το βάρος δίνουν ταλάντωση με την ίδια σταθερά \(D=K\) — το βάρος μετατοπίζει μόνο τη θέση ισορροπίας.