Κεφάλαιο 5.7 – Κέντρο Μάζας Συστήματος Σωμάτων (σελ. 183-184) – Λύσεις

Κεφάλαιο 5.7 - Κέντρο Μάζας Συστήματος Σωμάτων (σελ. 183-184) — Λύσεις - Απαντήσεις

Άσκηση 5.17 (σελ. 184)

Το σύστημα αναφοράς του κέντρου μάζας ενός συστήματος σωμάτων είναι πάντα αδρανειακό σύστημα; Αιτιολογήστε την απάντησή σας.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το σύστημα του κέντρου μάζας είναι αδρανειακό μόνο όταν το κέντρο μάζας κινείται με σταθερή ταχύτητα (ή ηρεμεί), δηλαδή όταν το σύστημα σωμάτων είναι μονωμένο (μηδενική συνισταμένη εξωτερική δύναμη).

Λύση:

1. Αν το σύστημα σωμάτων είναι μονωμένο (ΣF_εξωτ=0), το κέντρο μάζας κινείται με σταθερή ταχύτητα ως προς κάθε αδρανειακό σύστημα, άρα το σύστημα του ΚΜ είναι κι αυτό αδρανειακό.
2. Αν όμως υπάρχει μη μηδενική συνισταμένη εξωτερική δύναμη στο σύστημα (π.χ. σώματα σε πτώση με βαρύτητα, όχι μονωμένο σύστημα), το κέντρο μάζας επιταχύνεται, άρα το σύστημα του ΚΜ ΔΕΝ είναι αδρανειακό.

Απάντηση: Όχι πάντα — το σύστημα αναφοράς του κέντρου μάζας είναι αδρανειακό μόνο όταν το συνολικό σύστημα σωμάτων είναι μονωμένο (μηδενική συνισταμένη εξωτερική δύναμη), οπότε το ΚΜ κινείται με σταθερή ταχύτητα. Αν υπάρχει καθαρή εξωτερική δύναμη, το ΚΜ επιταχύνεται και το σύστημά του δεν είναι αδρανειακό.

Άσκηση 5.34 (σελ. 183)

Τρεις ομογενείς σφαίρες έχουν μάζες 20 kg, 20 kg και 30 kg και τα κέντρα τους στα σημεία (1,1), (2,2) και (3,1) του επιπέδου xy. Να προσδιοριστούν οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας του συστήματος των σφαιρών.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Εφαρμόζουμε τους τύπους x_ΚΜ=Σm_ix_i/Σm_i και y_ΚΜ=Σm_iy_i/Σm_i για τα τρία σώματα.

Λύση:

1. Συνολική μάζα: Σm=20+20+30=70 kg.
2. x_ΚΜ=(20×1+20×2+30×3)/70=(20+40+90)/70=150/70=15/7 ≈2,14.
3. y_ΚΜ=(20×1+20×2+30×1)/70=(20+40+30)/70=90/70=9/7 ≈1,29.

Απάντηση: Το κέντρο μάζας βρίσκεται στο σημείο (15/7, 9/7) ≈ (2,14 , 1,29).

Άσκηση 5.35 (σελ. 183)

Λέμε συχνά ότι η Γη περιστρέφεται γύρω από τον Ήλιο. Το ακριβές είναι ότι η Γη και ο Ήλιος περιστρέφονται γύρω από το κέντρο μάζας τους. Να βρείτε σε πόση απόσταση από το κέντρο του Ήλιου βρίσκεται το κέντρο μάζας του συστήματος Γη-Ήλιος και να συγκρίνετε την απόσταση αυτή με την ακτίνα του Ήλιου. Δίνονται η μάζα της Γης m_Γ=5,98×10²⁴ kg, η μάζα του Ήλιου m_H=1,99×10³⁰ kg, η ακτίνα του Ήλιου R_H=6,96×10⁸ m και η διάκεντρος Γης-Ήλιου d=1,49×10¹¹ m.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το κέντρο μάζας βρίσκεται στον άξονα Γη-Ήλιος, σε απόσταση από τον Ήλιο ίση με r=m_Γ·d/(m_Γ+m_H) (τοποθετώντας την αρχή στο κέντρο του Ήλιου).

Λύση:

1. r=m_Γ·d/(m_Γ+m_H)=(5,98×10²⁴×1,49×10¹¹)/(1,99×10³⁰+5,98×10²⁴).
2. Ο όρος m_Γ στον παρονομαστή είναι αμελητέος μπροστά στο m_H (m_Γ/m_H≈3×10⁻⁶), άρα παρονομαστής≈1,99×10³⁰.
3. r≈(5,98×10²⁴×1,49×10¹¹)/(1,99×10³⁰)=8,910×10³⁵/1,99×10³⁰≈4,48×10⁵ m.
4. Σύγκριση με την ακτίνα του Ήλιου: R_H=6,96×10⁸ m ≫ r=4,48×10⁵ m — το κέντρο μάζας του συστήματος Γη-Ήλιος βρίσκεται πολύ κοντά στο κέντρο του Ήλιου, εντελώς μέσα στον όγκο του (περίπου στο 0,064% της ακτίνας του).

Απάντηση: Το κέντρο μάζας του συστήματος Γη-Ήλιος απέχει περίπου 4,48×10⁵ m από το κέντρο του Ήλιου — απόσταση πολύ μικρότερη από την ακτίνα του Ήλιου (6,96×10⁸ m), άρα το κέντρο μάζας βρίσκεται στο εσωτερικό του Ήλιου.

Άσκηση 5.36 (σελ. 183)

Στην άκρη μιας ακίνητης βάρκας με μάζα M=120 kg και μήκος s=6 m στέκεται άνθρωπος με μάζα m=60 kg. Να υπολογίσετε πόσο θα κινηθεί η βάρκα αν ο άνθρωπος κινηθεί από τη μια άκρη της βάρκας στην άλλη. Οι τριβές μεταξύ βάρκας και νερού θεωρούνται αμελητέες.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το σύστημα άνθρωπος-βάρκα είναι μονωμένο οριζόντια (χωρίς τριβή με το νερό), άρα το κέντρο μάζας του παραμένει ακίνητο. Αν d είναι η μετατόπιση της βάρκας (ως προς το νερό) και ο άνθρωπος διανύει σχετική απόσταση s ως προς τη βάρκα, τότε η μετατόπισή του ως προς το νερό είναι (s-d), σε αντίθετη φορά από τη βάρκα.

Λύση:

1. Διατήρηση θέσης ΚΜ (μηδενική ολική μετατόπιση σταθμισμένη με τις μάζες): m·(μετατόπιση ανθρώπου ως προς νερό)=M·(μετατόπιση βάρκας ως προς νερό), με αντίθετες φορές.
2. Αν η βάρκα μετατοπίζεται κατά d (προς τη μία φορά) και ο άνθρωπος διανύει s ως προς τη βάρκα (προς την αντίθετη φορά ως προς το νερό, μετατόπιση s-d ως προς το νερό): m(s-d)=Md.
3. ms-md=Md ⇒ ms=d(M+m) ⇒ d=ms/(M+m)=60×6/180=360/180=2 m.

Απάντηση: Η βάρκα θα μετατοπιστεί κατά 2 m (προς την αντίθετη κατεύθυνση από την κίνηση του ανθρώπου).