Κεφάλαιο 5.2 – Κρούσεις (σελ. 154-180) – Λύσεις

Κεφάλαιο 5.2 - Κρούσεις (σελ. 154-180) — Λύσεις - Απαντήσεις

Άσκηση 5.1 (σελ. 174)

Μπορεί ένα σύστημα σωμάτων να έχει κινητική ενέργεια χωρίς να έχει ορμή; Ισχύει το ίδιο και στην περίπτωση ενός σώματος;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η κινητική ενέργεια είναι μονόμετρο μέγεθος (ανάλογο του υ²), ενώ η ορμή είναι διανυσματικό (ανάλογο του υ) — άρα επιμέρους ορμές μπορούν να αναιρεθούν διανυσματικά χωρίς να αναιρεθεί η κινητική ενέργεια.

Λύση:

1. Για σύστημα σωμάτων: αν δύο ίσες μάζες κινούνται αντίθετα με ίσα μέτρα ταχύτητας, οι ορμές τους αναιρούνται διανυσματικά (ολική ορμή = 0) αλλά η κινητική ενέργεια κάθε σώματος είναι θετική, άρα η ολική κινητική ενέργεια είναι μη μηδενική.
2. Για ένα μεμονωμένο σώμα: η ορμή p=mυ και η κινητική ενέργεια K=½mυ² μηδενίζονται ταυτόχρονα, μόνο όταν υ=0 — άρα δεν είναι δυνατόν ένα σώμα να έχει κινητική ενέργεια χωρίς ορμή.

Απάντηση: Ναι, ένα ΣΥΣΤΗΜΑ σωμάτων μπορεί να έχει κινητική ενέργεια (θετικό μονόμετρο, άθροισμα θετικών όρων) χωρίς να έχει ορμή (διανυσματικό άθροισμα που μπορεί να μηδενιστεί) — π.χ. δύο ίσες μάζες που κινούνται αντίθετα με ίσο μέτρο ταχύτητας. Για ΕΝΑ σώμα όμως αυτό είναι αδύνατο: αφού p=mυ και K=½mυ², και τα δύο μηδενίζονται μόνο όταν υ=0.

Πρόσεξε:

• Η διάκριση διανυσματικού (ορμή) - μονόμετρου (ενέργεια) μεγέθους είναι το κλειδί της απάντησης.

Άσκηση 5.2 (σελ. 174)

Συμπληρώστε τα κενά: Δύο σφαίρες με μάζες m₁=2 kg και m₂=3 kg, που κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις και συγκρούονται πλαστικά, έχουν πριν τη σύγκρουσή τους ταχύτητες u₁=3 m/s και u₂=3 m/s. Η ορμή της πρώτης σφαίρας πριν τη σύγκρουση έχει μέτρο ... kg·m/s και της δεύτερης ... kg·m/s. Η ορμή του συστήματος πριν την κρούση έχει μέτρο ... kg·m/s και μετά την κρούση ... kg·m/s.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Υπολογίζουμε τις επιμέρους ορμές πριν την κρούση, μετά την προσημασμένη διανυσματική τους πρόσθεση (αντίθετες φορές) βρίσκουμε την ορμή του συστήματος πριν, και επικαλούμαστε διατήρηση της ορμής για να βρούμε την ορμή μετά.

Λύση:

1. p₁=m₁u₁=2×3=6 kg·m/s.
2. p₂=m₂u₂=3×3=9 kg·m/s.
3. Θεωρώντας θετική τη φορά της πρώτης σφαίρας: p_συστ,πριν=p₁-p₂=6-9=-3 kg·m/s, άρα μέτρο 3 kg·m/s (φορά της δεύτερης σφαίρας).
4. Η ορμή διατηρείται σε κάθε κρούση, άρα p_συστ,μετά=p_συστ,πριν=3 kg·m/s (ίδιο μέτρο, ίδια φορά).

Απάντηση: p₁=6 kg·m/s, p₂=9 kg·m/s, ορμή συστήματος πριν=3 kg·m/s, ορμή συστήματος μετά=3 kg·m/s (η ορμή διατηρείται).

Πρόσεξε:

• Η ορμή του συστήματος υπολογίζεται με προσημασμένη (διανυσματική) πρόσθεση, όχι απλή άθροιση των μέτρων p₁+p₂.

Άσκηση 5.3 (σελ. 174)

Ποιο από τα παρακάτω μεγέθη διατηρείται σε κάθε κρούση; α) Η κινητική ενέργεια συστήματος. β) Η μηχανική ενέργεια. γ) Η ορμή του. Επιλέξτε το σωστό.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Μόνο η ορμή διατηρείται ΠΑΝΤΑ σε κάθε κρούση (ελαστική, ανελαστική, πλαστική)· η κινητική/μηχανική ενέργεια διατηρείται μόνο στην ειδική περίπτωση της ελαστικής κρούσης.

Λύση:

1. Εξετάζουμε καθεμιά επιλογή: η κινητική ενέργεια διατηρείται μόνο σε ελαστική κρούση, όχι πάντα.
2. Η μηχανική ενέργεια επίσης διατηρείται μόνο σε ελαστική κρούση.
3. Η ορμή διατηρείται σε ΚΑΘΕ κρούση, αφού το σύστημα θεωρείται μονωμένο κατά τη διάρκειά της.

Απάντηση: γ) Η ορμή του συστήματος — διατηρείται σε κάθε είδος κρούσης, ενώ η κινητική/μηχανική ενέργεια διατηρούνται μόνο στην ελαστική κρούση.

Άσκηση 5.4 (σελ. 174)

Κατά την ελαστική κρούση δύο σωμάτων: α) η ολική κινητική ενέργεια του συστήματος παραμένει σταθερή. β) η κινητική ενέργεια κάθε σώματος παραμένει σταθερή. γ) η κινητική ενέργεια του συστήματος αυξάνεται. δ) η κινητική ενέργεια του συστήματος μειώνεται. Επιλέξτε τη σωστή πρόταση.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ο ορισμός της ελαστικής κρούσης αφορά την ΟΛΙΚΗ κινητική ενέργεια του συστήματος, όχι την κινητική ενέργεια κάθε σώματος ξεχωριστά (αυτές συνήθως αλλάζουν).

Λύση:

1. Στην ελαστική κρούση διατηρείται η συνολική κινητική ενέργεια του συστήματος των δύο σωμάτων.
2. Η κινητική ενέργεια ΚΑΘΕ σώματος ξεχωριστά μεταβάλλεται (ανταλλάσσεται ενέργεια μεταξύ τους), οπότε η (β) είναι λάθος.

Απάντηση: α) Η ολική κινητική ενέργεια του συστήματος παραμένει σταθερή.

Άσκηση 5.5 (σελ. 175)

Κατά την πλαστική κρούση δύο σωμάτων η μηχανική ενέργεια του συστήματος: α) παραμένει σταθερή. β) αυξάνεται. γ) μειώνεται. Επιλέξτε το σωστό.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Στην πλαστική κρούση (ειδική περίπτωση ανελαστικής) μέρος της κινητικής ενέργειας μετατρέπεται σε θερμότητα/παραμόρφωση κατά τη συγκόλληση των σωμάτων.

Λύση:

1. Στην πλαστική κρούση τα σώματα συγκολλώνται και μέρος της αρχικής κινητικής ενέργειας μετατρέπεται σε θερμότητα.

Απάντηση: γ) Μειώνεται — η πλαστική κρούση είναι η πιο «ανελαστική» δυνατή περίπτωση κρούσης, με τη μέγιστη δυνατή απώλεια κινητικής ενέργειας για δοσμένες αρχικές ταχύτητες/μάζες.

Άσκηση 5.22 (σελ. 177)

Βλήμα μάζας m=0,4 kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ₁=400 m/s. Το βλήμα συναντά σώμα μάζας M=2 kg ακίνητο σε οριζόντιο επίπεδο, το διαπερνά και βγαίνει με ταχύτητα υ₂=300 m/s. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης του M με το επίπεδο είναι 0,5. Να υπολογίσετε: α) την ταχύτητα του M αμέσως μετά την κρούση, β) τη μηχανική ενέργεια που χάθηκε, γ) το διάστημα που θα διανύσει το M μέχρι να σταματήσει. Δίνεται g=10 m/s².

Σκέψη / Μεθοδολογία: Διατήρηση ορμής στη διαπέραση δίνει την ταχύτητα V του M· η απώλεια ενέργειας είναι η διαφορά αρχικής-τελικής κινητικής ενέργειας· η απόσταση μέχρι να σταματήσει βρίσκεται από θεώρημα έργου-ενέργειας με την τριβή.

Λύση:

1. Διατήρηση ορμής: mυ₁=mυ₂+MV ⇒ 0,4×400=0,4×300+2V ⇒ 160=120+2V ⇒ V=20 m/s.
2. Αρχική κιν. ενέργεια: K_αρχ=½×0,4×400²=32000 J. Τελική: K_τελ=½×0,4×300²+½×2×20²=18000+400=18400 J.
3. Απώλεια ενέργειας: ΔΚ=32000-18400=13600 J.
4. Επιβράδυνση M λόγω τριβής: α=μg=0,5×10=5 m/s². Από 0=V²-2αs ⇒ s=V²/(2α)=400/10=40 m.

Απάντηση: α) V=20 m/s, β) απώλεια ενέργειας 13600 J, γ) s=40 m.

Άσκηση 5.24 (σελ. 177)

Δύο σφαίρες με μάζες m₁=10 kg και m₂=20 kg κινούνται με αντίθετη φορά πάνω στην ίδια ευθεία με ταχύτητες υ₁=3 m/s και υ₂=2 m/s αντίστοιχα, και συγκρούονται πλαστικά. Να βρείτε την ταχύτητα του συσσωματώματος και το ποσοστό της κινητικής ενέργειας του συστήματος που χάθηκε.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Σε πλαστική κρούση εφαρμόζουμε διατήρηση ορμής (προσημασμένη, αφού οι ταχύτητες είναι αντίθετης φοράς) για να βρούμε την κοινή ταχύτητα, και συγκρίνουμε την αρχική με την τελική κινητική ενέργεια.

Λύση:

1. Θεωρούμε θετική τη φορά της m₁: m₁υ₁-m₂υ₂=(m₁+m₂)V ⇒ 10×3-20×2=30V ⇒ 30-40=30V ⇒ V=-1/3 m/s.
2. Το αρνητικό πρόσημο δείχνει ότι το συσσωμάτωμα κινείται προς τη φορά της m₂, με μέτρο 1/3≈0,33 m/s.
3. K_αρχ=½×10×9+½×20×4=45+40=85 J.
4. K_τελ=½×30×(1/3)²=½×30×1/9=1,67 J.
5. Ποσοστό απώλειας: (85-1,67)/85×100%≈98%.

Απάντηση: Το συσσωμάτωμα κινείται με ταχύτητα 0,33 m/s (φορά της αρχικής m₂), με απώλεια περίπου 98% της αρχικής κινητικής ενέργειας του συστήματος.

Άσκηση 5.29 (σελ. 177)

Δύο σφαίρες με μάζες m₁=6 kg και m₂=4 kg κινούνται στο οριζόντιο επίπεδο, με ταχύτητες υ₁=8 m/s και υ₂=9 m/s κάθετες μεταξύ τους, και συγκρούονται πλαστικά. Να υπολογίσετε: α) την κοινή τους ταχύτητα μετά την κρούση, β) τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Επειδή οι αρχικές ταχύτητες είναι κάθετες, η ολική ορμή πριν την κρούση υπολογίζεται με πυθαγόρειο θεώρημα (διανυσματική πρόσθεση καθέτων συνιστωσών), και η κοινή ταχύτητα προκύπτει διαιρώντας με τη συνολική μάζα.

Λύση:

1. p₁=m₁υ₁=6×8=48 kg·m/s (κατά x). p₂=m₂υ₂=4×9=36 kg·m/s (κατά y, κάθετα στην p₁).
2. Ολική ορμή: p=√(p₁²+p₂²)=√(48²+36²)=√(2304+1296)=√3600=60 kg·m/s.
3. Κοινή ταχύτητα: V=p/(m₁+m₂)=60/10=6 m/s. Γωνία διεύθυνσης ως προς την υ₁: εφθ=p₂/p₁=36/48=3/4.
4. K_αρχ=½×6×64+½×4×81=192+162=354 J. K_τελ=½×10×36=180 J.
5. ΔΚ=K_τελ-K_αρχ=180-354=-174 J (μείωση κατά 174 J).

Απάντηση: α) V=6 m/s, με εφθ=3/4 ως προς τη διεύθυνση της υ₁, β) η κινητική ενέργεια μειώθηκε κατά 174 J.

Άσκηση 5.30 (σελ. 178)

Ξύλινη πλάκα μάζας M=5 kg κρέμεται κατακόρυφα από σκοινί. Βλήμα μάζας m=50 g και οριζόντια ταχύτητα υ₁=520 m/s χτυπά την πλάκα στο κέντρο, τη διαπερνά και βγαίνει με ταχύτητα υ₂=80 m/s. Η απόσταση του κέντρου της πλάκας από το σημείο ανάρτησης είναι l=2 m. Πόσο θα εκτραπεί το σκοινί από την κατακόρυφο; Δίνεται g=10 m/s².

Σκέψη / Μεθοδολογία: Πρόκειται για παραλλαγή βαλλιστικού εκκρεμούς: πρώτα βρίσκουμε την ταχύτητα της πλάκας μετά τη διαπέραση από διατήρηση ορμής, μετά εφαρμόζουμε διατήρηση μηχανικής ενέργειας στην ανύψωση της πλάκας-εκκρεμούς για να βρούμε τη γωνία εκτροπής.

Λύση:

1. m=0,05 kg. Διατήρηση ορμής: mυ₁=mυ₂+MV ⇒ 0,05×520=0,05×80+5V ⇒ 26=4+5V ⇒ V=4,4 m/s.
2. Η πλάκα ανεβαίνει σαν εκκρεμές μήκους l=2 m με αρχική ταχύτητα V. Διατήρηση ενέργειας: ½MV²=Mgl(1-συνθ) ⇒ ½V²=gl(1-συνθ).
3. 1-συνθ=V²/(2gl)=4,4²/(2×10×2)=19,36/40=0,484 ⇒ συνθ=0,516 ⇒ θ≈59°.

Απάντηση: Το σκοινί εκτρέπεται κατά γωνία θ≈60° από την κατακόρυφο (συνθ≈0,516).

Άσκηση 5.42 (σελ. 180)

Βλήμα m=50 g κινείται οριζόντια με υ=200 m/s και σφηνώνεται σε ξύλο M=950 g ακίνητο σε λείο οριζόντιο τραπέζι, το οποίο βρίσκεται μπροστά από ελατήριο σταθεράς K=10000 N/m. Να υπολογίσετε: α) τη μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου, β) το ποσοστό της μηχανικής ενέργειας που χάθηκε.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Πρώτα πλαστική κρούση (διατήρηση ορμής) δίνει την κοινή ταχύτητα βλήματος-ξύλου· μετά η κινητική ενέργεια του συσσωματώματος μετατρέπεται πλήρως σε δυναμική ενέργεια ελατηρίου (λείο τραπέζι, καμία τριβή).

Λύση:

1. m=0,05 kg, M=0,95 kg. Πλαστική κρούση: mυ=(m+M)V ⇒ 0,05×200=1×V ⇒ V=10 m/s.
2. Στη μέγιστη συσπείρωση x, όλη η κινητική ενέργεια του συσσωματώματος έγινε δυναμική του ελατηρίου: ½(m+M)V²=½Kx².
3. x²=(m+M)V²/K=1×100/10000=0,01 ⇒ x=0,1 m.
4. K_αρχ(πριν την κρούση)=½×0,05×200²=1000 J. K_μετά την κρούση=½×1×10²=50 J.
5. Ποσοστό απώλειας κατά την κρούση: (1000-50)/1000×100%=95%.

Απάντηση: α) Μέγιστη συσπείρωση x=0,1 m, β) ποσοστό απώλειας μηχανικής ενέργειας κατά την κρούση: 95%.

Άσκηση 5.43 (σελ. 180)

Βλήμα m=20 g κινείται οριζόντια και σφηνώνεται σε ξύλο M=1 kg δεμένο σε κατακόρυφο νήμα μήκους 1 m. Μετά τη σύγκρουση το νήμα εκτρέπεται κατά γωνία θ=60°. Να υπολογίσετε τη μηχανική ενέργεια που χάθηκε κατά την κρούση. Δίνεται g=10 m/s².

Σκέψη / Μεθοδολογία: Κλασικό βαλλιστικό εκκρεμές: από τη γωνία εκτροπής βρίσκουμε πρώτα την ταχύτητα αμέσως μετά την κρούση (διατήρηση ενέργειας στην ανύψωση), μετά την αρχική ταχύτητα του βλήματος (διατήρηση ορμής στην κρούση), και τέλος συγκρίνουμε τις κινητικές ενέργειες πριν/μετά την κρούση.

Λύση:

1. m=0,02 kg, M=1 kg, m_ολ=1,02 kg, l=1 m, θ=60° ⇒ συνθ=0,5.
2. Διατήρηση ενέργειας στην ανύψωση: ½m_ολV²=m_ολ·g·l(1-συνθ) ⇒ V²=2gl(1-συνθ)=2×10×1×0,5=10 ⇒ V=√10≈3,16 m/s.
3. Διατήρηση ορμής στην κρούση: mυ=m_ολV ⇒ υ=m_ολV/m=1,02×3,16/0,02≈161 m/s.
4. K_πριν=½×0,02×161²≈259,2 J. K_μετά=½×1,02×10=5,1 J.
5. Απώλεια ενέργειας: ΔΚ≈259,2-5,1≈254 J.

Απάντηση: Η μηχανική ενέργεια που χάθηκε κατά την κρούση είναι περίπου 255 J.

Πρόσεξε:

• Η ενέργεια που χάνεται υπολογίζεται ΜΟΝΟ κατά τη διάρκεια της κρούσης (πριν/μετά αυτής) — η μετέπειτα ανύψωση του εκκρεμούς είναι διατήρηση ενέργειας, όχι απώλεια.

Άσκηση 5.44 (σελ. 180)

Σώμα m₁=20 kg ισορροπεί σε πλάγιο επίπεδο κλίσης φ=30°. Σώμα m₂=30 kg ανεβαίνει το πλάγιο επίπεδο και συγκρούεται πλαστικά με το m₁, έχοντας ταχύτητα υ=10 m/s. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ συσσωματώματος-επιπέδου είναι √3/3. Να υπολογίσετε το διάστημα που θα διανύσει το συσσωμάτωμα μέχρι να σταματήσει. Θα επιστρέψει στη βάση; Δίνεται g=10 m/s².

Σκέψη / Μεθοδολογία: Πλαστική κρούση δίνει την ταχύτητα του συσσωματώματος· μετά εφαρμόζουμε θεώρημα έργου-ενέργειας στην κίνηση πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο (βαρύτητα+τριβή αντίθετες στην κίνηση προς τα πάνω), και ελέγχουμε αν η στατική τριβή/βαρύτητα το κρατά ακίνητο ή αν κατέβει.

Λύση:

1. Πλαστική κρούση: m₂υ=(m₁+m₂)V ⇒ 30×10=50V ⇒ V=6 m/s.
2. Στην ανοδική κίνηση: επιβράδυνση α=g(ημφ+μσυνφ)=10×(0,5+(√3/3)×(√3/2))=10×(0,5+0,5)=10 m/s².
3. Απόσταση μέχρι να σταματήσει: 0=V²-2αs ⇒ s=V²/(2α)=36/20=1,8 m.
4. Έλεγχος επιστροφής: το σώμα θα κατέβει μόνο αν εφφ>μ ⇒ εφ30°=1/√3≈0,577 vs μ=√3/3≈0,577 — είναι ΙΣΑ, άρα η μέγιστη στατική τριβή ισορροπεί ακριβώς το βάρος και το συσσωμάτωμα παραμένει ακίνητο (οριακή ισορροπία).

Απάντηση: Το συσσωμάτωμα διανύει s=1,8 m μέχρι να σταματήσει· επειδή εφφ=μ (οριακή περίπτωση), ΔΕΝ επιστρέφει στη βάση — παραμένει σε ισορροπία στο ανώτατο σημείο.

Πρόσεξε:

• Η σύγκριση εφφ με μ (όχι μόνο αριθμητικά ίσα αλλά εννοιολογικά η ισότητα σημαίνει οριακή ισορροπία) είναι το κρίσιμο σημείο της άσκησης.

Άσκηση 5.45 (σελ. 180)

Από την κορυφή πλάγιου επιπέδου μήκους s=4,2 m και γωνίας φ=30° αφήνεται να ολισθήσει σώμα m=1 kg χωρίς τριβή. Κατά την κάθοδο, αφού διανύσει s₁=1,6 m, συναντά ακίνητο σώμα ίδιας μάζας και συγκρούεται πλαστικά. Το συσσωμάτωμα ολισθαίνει στο πλάγιο επίπεδο (τώρα με τριβή) και φτάνει στη βάση με μηδενική ταχύτητα. Να υπολογίσετε: α) τον συντελεστή τριβής ολίσθησης, β) τη συνολική θερμότητα που παράχθηκε. Δίνεται g=10 m/s².

Σκέψη / Μεθοδολογία: Χωρίζουμε την κίνηση σε 3 φάσεις: (1) ελεύθερη ολίσθηση χωρίς τριβή μέχρι την κρούση, (2) πλαστική κρούση (διατήρηση ορμής), (3) ολίσθηση με τριβή μέχρι τη βάση με τελική ταχύτητα μηδέν — από αυτή τη φάση βρίσκουμε το μ. Η θερμότητα προκύπτει αθροίζοντας την απώλεια ενέργειας κρούσης και την απώλεια λόγω τριβής.

Λύση:

1. Φάση 1 (χωρίς τριβή, s₁=1,6 m): υ₁²=2g·ημφ·s₁=2×10×0,5×1,6=16 ⇒ υ₁=4 m/s.
2. Φάση 2 (πλαστική κρούση, ίσες μάζες): mυ₁=2m·V ⇒ V=υ₁/2=2 m/s.
3. Φάση 3 (με τριβή, απόσταση s-s₁=2,6 m, τελική ταχύτητα 0): εφαρμόζουμε ΘΜΚΕ: (2m)g·ημφ·(s-s₁)-μ(2m)g·συνφ·(s-s₁)=0-½(2m)V² ⇒ g(s-s₁)(ημφ-μσυνφ)=-½V².
4. 0,5-μ(√3/2)=-4/(2×10×2,6)=-4/52=-0,0769 ⇒ μ(√3/2)=0,5769 ⇒ μ=0,6662≈5√3/13.
5. Θερμότητα κρούσης: Q₁=½mυ₁²-½(2m)V²=½×1×16-½×2×4=8-4=4 J.
6. Θερμότητα τριβής: Q₂=μ(2m)g·συνφ·(s-s₁)=0,6662×2×10×0,866×2,6≈30 J.
7. Συνολική θερμότητα: Q=Q₁+Q₂=4+30=34 J.

Απάντηση: α) μ=5√3/13≈0,666, β) συνολική θερμότητα Q=34 J.

Άσκηση 5.49 (σελ. 181)

Το Σ₂ (m₂=4 kg) βρίσκεται σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Πάνω του βρίσκεται το Σ₁ (m₁=950 g), με συντελεστή τριβής μ=0,5 μεταξύ Σ₁-Σ₂. Στο Σ₁ σφηνώνεται βλήμα m_B=50 g με υ_B=100 m/s (αμελητέα διάρκεια κρούσης). Να υπολογίσετε: α) την κοινή τελική ταχύτητα Σ₁-Σ₂, β) τη συνολική θερμότητα που μεταφέρεται στο περιβάλλον, γ) μετά από πόσο χρόνο τα Σ₁,Σ₂ αποκτούν κοινή ταχύτητα, δ) πόσο μετακινήθηκε το Σ₁ πάνω στο Σ₂ μέχρι τότε. Δίνεται g=10 m/s².

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το πρόβλημα έχει 2 φάσεις: (1) στιγμιαία πλαστική κρούση βλήματος-Σ₁ (το Σ₂ δεν προλαβαίνει να αντιδράσει), (2) το Σ₁+βλήμα ολισθαίνει με τριβή πάνω στο Σ₂ (χωρίς τριβή Σ₂-δάπεδο) μέχρι να αποκτήσουν κοινή ταχύτητα — εφαρμόζουμε διατήρηση ορμής στο σύστημα Σ₁+βλήμα+Σ₂ για τη φάση 2, και θεώρημα ώθησης-ορμής για το Σ₂ ξεχωριστά για τον χρόνο.

Λύση:

1. Φάση 1: m_Bυ_B=(m_B+m₁)υ₁ ⇒ 0,05×100=1×υ₁ ⇒ υ₁=5 m/s (Σ₁+βλήμα, μάζα 1 kg).
2. Φάση 2 — διατήρηση ορμής όλου του συστήματος (Σ₂ αρχικά ακίνητο, δάπεδο λείο): 1×5=(1+4)V ⇒ V=1 m/s.
3. Θερμότητα φάσης 1: Q₁=½×0,05×100²-½×1×5²=250-12,5=237,5 J.
4. Θερμότητα φάσης 2 (τριβή Σ₁-Σ₂): Q₂=½×1×5²-½×5×1²=12,5-2,5=10 J. Συνολικά Q=Q₁+Q₂=247,5 J.
5. Χρόνος φάσης 2: δύναμη τριβής στο Σ₂ από το Σ₁: f=μ(m_B+m₁)g=0,5×1×10=5 N· επιτάχυνση Σ₂: α₂=f/m₂=5/4=1,25 m/s². Από V=α₂t: 1=1,25t ⇒ t=0,8 s.
6. Ολίσθηση Σ₁ πάνω στο Σ₂: από Q₂=f·Δs (έργο τριβής = θερμότητα τριβής): 10=5×Δs ⇒ Δs=2 m.

Απάντηση: α) V=1 m/s, β) Q=247,5 J, γ) t=0,8 s, δ) Δs=2 m.