Εκφώνηση: Δύο γεγονότα συμβαίνουν στο ίδιο σημείο ενός αδρανειακού συστήματος αναφοράς Σ, με χρονική διαφορά Δt0 (ίδιος χρόνος). Παρατηρητής σε σύστημα Σ' που κινείται με ταχύτητα υ ως προς το Σ μετρά χρονική διαφορά Δt μεταξύ των ίδιων γεγονότων. Ισχύει: α) Δt=Δt0, β) Δt>Δt0, γ) Δt<Δt0.

Σκέψη: Ο Δt0 είναι ο ίδιος χρόνος (measured by observer for whom both events happen at same place). Κάθε άλλος αδρανειακός παρατηρητής μετρά μεγαλύτερο χρόνο.

Λύση:

Εφαρμόζουμε τον τύπο Δt=Δt0/√(1-υ²/c²). Αφού υ>0, ο παρονομαστής είναι <1, άρα Δt>Δt0.

Απάντηση: Σωστό είναι το (β): Δt>Δt0. Ο ελάχιστος δυνατός χρόνος μεταξύ δύο γεγονότων μετριέται πάντα από τον παρατηρητή για τον οποίο τα γεγονότα συμβαίνουν στο ίδιο σημείο (ίδιος χρόνος Δt0)· κάθε άλλος αδρανειακός παρατηρητής, ως προς τον οποίο το σημείο αυτό κινείται, μετρά μεγαλύτερο χρονικό διάστημα (διαστολή του χρόνου).

Άσκηση 6.5 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.218.6.5)

Εκφώνηση: Περιγράψτε συνοπτικά το «παράδοξο των διδύμων» και εξηγήστε γιατί δεν πρόκειται για πραγματικό λογικό παράδοξο.

Σκέψη: Ο ένας δίδυμος ταξιδεύει με διαστημόπλοιο κοντά στην ταχύτητα του φωτός και επιστρέφει· ο άλλος μένει στη Γη. Η φαινομενική αντίφαση («ο καθένας βλέπει τον άλλον να γερνάει πιο αργά») λύνεται επειδή ο ταξιδιώτης δίδυμος ΔΕΝ παραμένει σε αδρανειακό σύστημα (επιταχύνεται κατά την αναστροφή πορείας).

Λύση:

Εξηγούμε την ασυμμετρία: μόνο ο ταξιδιώτης αλλάζει αδρανειακό σύστημα.

Απάντηση: Ο ένας δίδυμος ταξιδεύει με διαστημόπλοιο με ταχύτητα κοντά στο c σε μακρινό αστέρι και επιστρέφει, ενώ ο άλλος μένει στη Γη. Λόγω διαστολής του χρόνου, όταν επιστρέψει ο ταξιδιώτης δίδυμος θα είναι νεότερος από τον αδελφό του που έμεινε στη Γη. Φαινομενικά φαίνεται παράδοξο, γιατί «από την οπτική» του ταξιδιώτη είναι ο δίδυμος στη Γη που κινείται και άρα θα έπρεπε να γεράσει λιγότερο αυτός. Δεν είναι όμως πραγματικό παράδοξο, γιατί η κατάσταση ΔΕΝ είναι συμμετρική: ο δίδυμος στη Γη παραμένει σε αδρανειακό σύστημα σε όλη τη διάρκεια, ενώ ο ταξιδιώτης δίδυμος επιταχύνεται (επιβραδύνεται, αναστρέφει πορεία, επιταχύνεται ξανά) για να γυρίσει πίσω — άρα δεν βρίσκεται συνεχώς σε ένα αδρανειακό σύστημα, και οι τύποι της Ειδικής Σχετικότητας δεν εφαρμόζονται συμμετρικά και για τους δύο.

Πρόσεξε:

Η ασυμμετρία είναι το κλειδί: μόνο ο ένας δίδυμος αλλάζει αδρανειακό σύστημα αναφοράς.

Άσκηση 6.9 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.219.6.9)

Εκφώνηση: Τα μιόνια που δημιουργούνται στην ανώτερη ατμόσφαιρα από κοσμική ακτινοβολία έχουν μέσο χρόνο ζωής (στο δικό τους σύστημα ηρεμίας) περίπου 2,2 μs, πολύ μικρότερο από τον χρόνο που θα χρειαζόταν το φως για να διανύσει την απόσταση μέχρι την επιφάνεια της Γης με ταχύτητα κοντά στο c. Παρ' όλα αυτά, ανιχνεύονται σε μεγάλους αριθμούς στο έδαφος. Πώς εξηγείται αυτό με τη θεωρία της σχετικότητας;

Σκέψη: Ο χρόνος ζωής 2,2μs είναι ο ΙΔΙΟΣ χρόνος (στο σύστημα ηρεμίας του μιονίου). Από τη σκοπιά της Γης, τα μιόνια κινούνται με ταχύτητα κοντά στο c, οπότε ο χρόνος ζωής τους διαστέλλεται σημαντικά.

Λύση:

Εφαρμόζουμε διαστολή χρόνου: ο παρατηρητής στη Γη μετρά χρόνο ζωής Δt=Δt0/√(1-υ²/c²), πολύ μεγαλύτερο του 2,2μs, αρκετό για να διανύσουν τα μιόνια τα ~15 km της ατμόσφαιρας.

Απάντηση: Ο χρόνος ζωής 2,2 μs είναι ο ΙΔΙΟΣ χρόνος του μιονίου, δηλαδή αυτός που θα μετρούσε παρατηρητής που κινείται μαζί του. Επειδή τα μιόνια κινούνται ως προς τη Γη με ταχύτητα πολύ κοντά στο c, ισχύει το φαινόμενο της διαστολής του χρόνου: ένας παρατηρητής στη Γη μετρά χρόνο ζωής Δt=Δt0/√(1-υ²/c²), σημαντικά μεγαλύτερο των 2,2 μs. Αυτός ο «διαστελμένος» χρόνος είναι αρκετός ώστε τα μιόνια να προλάβουν να διανύσουν την απόσταση από την ανώτερη ατμόσφαιρα ως το έδαφος πριν διασπαστούν, εξηγώντας γιατί ανιχνεύονται σε μεγάλους αριθμούς στην επιφάνεια της Γης — κάτι που η κλασική Φυσική δεν θα μπορούσε να εξηγήσει.

Άσκηση 6.20 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.220.6.20)

Εκφώνηση: Διαστημόπλοιο απομακρύνεται από τη Γη με ταχύτητα υ=0,6c. Οι αστροναύτες μέσα σε αυτό μετρούν ότι ένα πείραμα διαρκεί Δt0=28,4 min (ίδιος χρόνος, μετρημένος με ρολόι στο διαστημόπλοιο). Πόση διάρκεια θα μετρήσει παρατηρητής στη Γη για το ίδιο πείραμα;

Σκέψη: Δt=Δt0/√(1-υ²/c²), με υ/c=0,6 ⇒ √(1-0,36)=√0,64=0,8.

Λύση:

Δt = 28,4/0,8 = 35,5 min.

Απάντηση: Δt = 28,4 min / 0,8 = 35,5 min. Ο παρατηρητής στη Γη μετρά μεγαλύτερη διάρκεια (διαστολή χρόνου), αφού δεν βρίσκεται στο ίδιο σημείο με το πείραμα.

Άσκηση 6.21 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.220.6.21)

Εκφώνηση: Ένα ασταθές σωματίδιο, ακίνητο στο εργαστήριο, έχει μέσο χρόνο ζωής Δt0. Αν το ίδιο σωματίδιο κινείται με ταχύτητα υ και ο παρατηρητής στο εργαστήριο μετρά χρόνο ζωής διπλάσιο του Δt0 (Δt=2Δt0), να βρεθεί η ταχύτητα υ συναρτήσει του c.

Σκέψη: Δt=Δt0/√(1-υ²/c²) ⇒ 2=1/√(1-υ²/c²) ⇒ √(1-υ²/c²)=1/2 ⇒ 1-υ²/c²=1/4 ⇒ υ²/c²=3/4.

Λύση:

υ²/c² = 3/4 ⇒ υ = (√3/2)c ≈ 0,866c.

Απάντηση: υ = (√3/2)·c ≈ 0,866c.

Άσκηση 6.22 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.220.6.22)

Εκφώνηση: Ρολόι βρίσκεται σε διαστημόπλοιο που κινείται με ταχύτητα υ=0,5c ως προς τη Γη. Κατά πόσο τοις εκατό διαφέρει ο χρόνος που μετρά παρατηρητής στη Γη, Δt, από τον ίδιο χρόνο Δt0 που μετρά ο αστροναύτης;

Σκέψη: Δt/Δt0 = 1/√(1-0,25) = 1/√0,75 = 1/0,866 ≈ 1,1547. Η ποσοστιαία διαφορά είναι (Δt-Δt0)/Δt0 = 1,1547-1 = 0,1547.

Λύση:

Δt/Δt0 = 1/√0,75 ≈ 1,1547 ⇒ ποσοστιαία αύξηση ≈ 15,47% ≈ 15,5%.

Απάντηση: Ο χρόνος Δt που μετρά ο παρατηρητής στη Γη είναι περίπου 15,5% μεγαλύτερος από τον ίδιο χρόνο Δt0.

Άσκηση 6.28 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.221.6.28)

Εκφώνηση: Καλλιέργεια βακτηρίων διπλασιάζεται κάθε Δt0=20 min, μετρημένο σε σύστημα όπου η καλλιέργεια είναι ακίνητη. Η καλλιέργεια τοποθετείται σε διαστημόπλοιο που κινείται με ταχύτητα υ=0,6c ως προς τη Γη. Παρατηρητής στη Γη μετρά για πόσο χρόνο διπλασιάζεται ο πληθυσμός; Αν αρχικά υπάρχουν 2 βακτήρια, πόσα θα υπάρχουν μετά από 17 ώρες (μετρημένες από τη Γη);

Σκέψη: Ο χρόνος διπλασιασμού μετρημένος από τη Γη διαστέλλεται: Δt=Δt0/√(1-0,36)=20/0,8=25 min. Σε 17h=1020min γίνονται 1020/25=40,8 διπλασιασμοί... αλλά ελέγχουμε ακέραιο πλήθος διπλασιασμών ή χρησιμοποιούμε εκθετικό τύπο N=N0·2^(t/T).

Λύση:

Δt = Δt0/√(1-υ²/c²) = 20 min/0,8 = 25 min (χρόνος διπλασιασμού όπως τον μετρά η Γη).
Σε 17h = 1020 min, αριθμός διπλασιασμών n = 1020/25 = 40,8.
N = N0·2^n = 2·2^40,8 ≈ 2·2^40,8. Ο πληθυσμός μετά από 40 πλήρεις διπλασιασμούς: N=2·2^40=2^41≈2,2·10^12· με το επιπλέον 0,8 του διπλασιασμού, N=2·2^40,8≈2^41,8≈3,9·10^12.

Απάντηση: Ο χρόνος διπλασιασμού μετρημένος από τη Γη είναι Δt=25 min (αντί για 20 min στο σύστημα ηρεμίας της καλλιέργειας) — διαστολή χρόνου. Σε 17 ώρες γίνονται 1020/25=40,8 διπλασιασμοί, οπότε ο πληθυσμός γίνεται N=2·2^40,8≈3,9×10¹² βακτήρια.

Πρόσεξε:

Το ερώτημα ελέγχει κυρίως την εφαρμογή της διαστολής χρόνου στον χρόνο διπλασιασμού· ο αριθμητικός υπολογισμός με μη ακέραιο εκθέτη είναι δευτερεύων.
χρειάζεται_επιβεβαίωση: ο αριθμός βακτηρίων εξαρτάται ευαίσθητα από στρογγυλοποιήσεις — δίνεται η τάξη μεγέθους.

Άσκηση 6.31 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.222.6.31)

Εκφώνηση: Διαστημόπλοιο διανύει απόσταση 8 έτη φωτός (μετρημένη από τη Γη) σε χρόνο 8,5 έτη (μετρημένο επίσης από τη Γη). Να βρεθεί η ταχύτητα του διαστημόπλοιου ως προς τη Γη.

Σκέψη: Και οι δύο μετρήσεις (απόσταση, χρόνος) γίνονται από το ίδιο σύστημα (Γη), άρα απλά υ=Δx/Δt χωρίς μετασχηματισμό.

Λύση:

υ = 8 έτη φωτός / 8,5 έτη = 8c/8,5 ≈ 0,941c ≈ 2,78×10⁸ m/s.

Απάντηση: υ = 8/8,5 · c ≈ 0,941c ≈ 2,78×10⁸ m/s.

Πρόσεξε:

Δεν χρειάζεται εδώ κανένας μετασχηματισμός Lorentz — απόσταση και χρόνος μετριούνται από τον ίδιο (Γήινο) παρατηρητή.

Προηγούμενο Στοιχείο

Επιστροφή στην Ενότητα

Επόμενο Στοιχείο