Κεφάλαιο 4.7 – Στροφορμή – Λύσεις (σελ. 137-146)
Κεφάλαιο 4.7 - Στροφορμή (σελ. 137-146)
Άσκηση 4.21
Εκφώνηση: Ένα αυτοκίνητο κινείται προς το Βορρά, σε οριζόντιο δρόμο. Ποια είναι η κατεύθυνση της στροφορμής των τροχών του;
Λύση:
- Οι τροχοί περιστρέφονται γύρω από οριζόντιο άξονα κάθετο στην κατεύθυνση κίνησης (δηλαδή κατά τη διεύθυνση Ανατολή-Δύση, αφού το αυτοκίνητο κινείται Βόρεια).
- Εφαρμόζοντας τον κανόνα του δεξιού χεριού (τα δάχτυλα ακολουθούν τη φορά περιστροφής των τροχών προς τα εμπρός), ο αντίχειρας δείχνει οριζόντια προς τη Δύση.
Απάντηση: Η στροφορμή των τροχών είναι οριζόντιο διάνυσμα με κατεύθυνση προς τη Δύση (κάθετο στην κίνηση, κατά τον άξονα περιστροφής, σύμφωνα με τον κανόνα του δεξιού χεριού).
Άσκηση 4.22
Εκφώνηση: Δίσκος και δακτύλιος ίδιας ακτίνας και μάζας, αρχικά ακίνητα, δέχονται δυνάμεις ίδιου μέτρου εφαπτόμενες στην περιφέρειά τους. Να συγκριθούν οι στροφορμές τους τη χρονική στιγμή t.
Λύση:
- Από τον γενικευμένο 2ο νόμο του Νεύτωνα, τ=dL/dt ⇒ L(t)=τ·t (ξεκινώντας από L₀=0).
- Αφού και τα δύο σώματα δέχονται την ίδια ροπή τ=FR (ίδιο F, ίδια ακτίνα R), αποκτούν την ίδια στροφορμή τη χρονική στιγμή t, ανεξάρτητα από τη διαφορετική ροπή αδράνειάς τους.
Απάντηση: Οι στροφορμές τους είναι ίσες τη στιγμή t (L=τ·t=FR·t και για τα δύο), παρότι ο δακτύλιος (μεγαλύτερη ροπή αδράνειας) θα έχει μικρότερη γωνιακή ταχύτητα από τον δίσκο εκείνη τη στιγμή.
Άσκηση 4.23
Εκφώνηση: Η στροφορμή ενός συστήματος σωμάτων δε μεταβάλλεται όταν: α) η συνισταμένη των δυνάμεων είναι μηδέν, β) τα σώματα κάνουν μόνο περιστροφική κίνηση, γ) οι άξονες περιστροφής είναι σταθεροί, δ) το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των εξωτερικών δυνάμεων είναι μηδέν.
Λύση:
- Από τον γενικευμένο 2ο νόμο τ_εξ=dL/dt, η στροφορμή παραμένει σταθερή (dL/dt=0) αν και μόνο αν το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των εξωτερικών δυνάμεων είναι μηδέν.
Απάντηση: Το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των εξωτερικών δυνάμεων είναι μηδέν (επιλογή δ).
Άσκηση 4.47
Εκφώνηση: Δύο σφαίρες μάζας m=100 g η καθεμιά συνδέονται με αβαρή ράβδο μήκους l=0,8 m. Το σύστημα περιστρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο με ω=16 rad/s γύρω από κατακόρυφο άξονα στο μέσον της ράβδου. Υπολογίστε τη στροφορμή του συστήματος.
Λύση:
- I=2m(l/2)²=2·0,1·0,4²=2·0,1·0,16=0,032 kg·m².
- L=Iω=0,032·16=0,512 kg·m²/s.
Απάντηση: L ≈ 0,512 kg·m²/s.
Προσοχή:
- Η δοσμένη απάντηση της πηγής (5,12 kg·m²/s) φαίνεται δεκαδικά μετατοπισμένη κατά 10× σε σχέση με τον υπολογισμό — πιθανό λάθος στην εκτύπωση του βιβλίου· ο υπολογισμός με τα δεδομένα m=100 g, l=0,8 m, ω=16 rad/s δίνει 0,512 kg·m²/s.
Άσκηση 4.48
Εκφώνηση: Να βρεθεί η στροφορμή τροχού μάζας M=2 kg και ακτίνας R=0,4 m, που στρέφεται με ω=10 rad/s γύρω από τον άξονά του. Θεωρήστε τη μάζα συγκεντρωμένη στην περιφέρεια.
Λύση:
- I=MR²=2·0,4²=0,32 kg·m².
- L=Iω=0,32·10=3,2 kg·m²/s.
Απάντηση: L = 3,2 kg·m²/s.
Άσκηση 4.65
Εκφώνηση: Τροχός με ροπή αδράνειας I=0,18 kg·m² στρέφεται με ω=25 rad/s γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του. Ασκώντας κατάλληλη δύναμη στο σημείο Α του άξονα, τον μετακινούμε ώστε να γίνει κατακόρυφος. Υπολογίστε το μέτρο της μεταβολής της στροφορμής του.
Λύση:
- L=Iω=0,18·25=4,5 kg·m²/s (το μέτρο της στροφορμής, σταθερό πριν και μετά).
- Τα διανύσματα L_αρχ και L_τελ είναι κάθετα μεταξύ τους (ο άξονας περιστροφής στρέφεται κατά 90°, από οριζόντιος σε κατακόρυφος), άρα |ΔL|=√(L²+L²)=L√2.
Απάντηση: |ΔL| = 4,5√2 ≈ 6,36 kg·m²/s.
Άσκηση 4.68
Εκφώνηση: Γιο-γιο: κύλινδρος μάζας m=120 g και ακτίνας R=1,5 cm, με νήμα τυλιγμένο γύρω του (κατακόρυφο). Αφήνεται να κατέβει κρατώντας το ελεύθερο άκρο του νήματος. Δίνεται I=½mR², g=10 m/s². Υπολογίστε: α) τον ρυθμό αύξησης της στροφορμής του, β) την ταχύτητα του κέντρου μάζας όταν έχει ξετυλιχτεί νήμα μήκους 30 cm.
Λύση:
- mg−T=ma και TR=½mR²(a/R)=½ma ⇒ T=½ma. Αντικαθιστώντας: mg−½ma=ma ⇒ a=(2/3)g=(2/3)·10=20/3 m/s².
- α) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής ισούται με τη ροπή της τάσης: dL/dt=τ=TR=½ma·R=½·0,12·(20/3)·0,015=6×10⁻³ kg·m²/s².
- β) Με v²=2as (ξεκινώντας από ηρεμία, s=0,30 m): v=√(2·(20/3)·0,30)=√4=2 m/s.
Απάντηση: α) dL/dt = 6×10⁻³ kg·m²/s². β) υ_cm = 2 m/s.