Κεφάλαιο 1.4 – Ηλεκτρικές ταλαντώσεις (σελ. 32-40) – Λύσεις

Κεφάλαιο 1.4 — Ηλεκτρικές ταλαντώσεις (σελ. 32-40) — Λύσεις - Απαντήσεις

Άσκηση 1.9 (σελ. 32)

Η περίοδος με την οποία ταλαντώνεται ένα κύκλωμα LC είναι \(3\times10^{-6}\ \text{s}\). Τη στιγμή μηδέν ο οπλισμός \(A\) του πυκνωτή έχει μέγιστο θετικό φορτίο. Μετά από πόσο χρόνο, για πρώτη φορά, α) ο οπλισμός \(A\) θα αποκτήσει μέγιστο αρνητικό φορτίο; β) ο οπλισμός \(A\) θα αποκτήσει ξανά μέγιστο θετικό φορτίο; γ) η τάση στον πυκνωτή θα γίνει μηδέν; δ) η ενέργεια στο μαγνητικό πεδίο του πηνίου θα γίνει μέγιστη;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η πλήρης αναλογία με την ΑΑΤ: \(q\leftrightarrow x\). Μέγιστο θετικό φορτίο (t=0) → ακραία θέση \(x=+A\). Μέγιστο αρνητικό φορτίο → αντίθετη ακραία θέση \(x=-A\) (μισή περίοδο μετά). Τάση μηδέν ⟺ φορτίο μηδέν ⟺ \(x=0\) (θέση ισορροπίας, όπου η ενέργεια μαγνητικού πεδίου/κινητική είναι μέγιστη).

Λύση:

1. α) Από μέγιστο θετικό στο μέγιστο αρνητικό φορτίο (τα δύο ακραία σημεία της ταλάντωσης) μεσολαβεί μισή περίοδος: \(t=T/2=1{,}5\times10^{-6}\ \text{s}\).
2. β) Για να ξαναποκτήσει το ΙΔΙΟ (μέγιστο θετικό) φορτίο χρειάζεται μια πλήρη περίοδο: \(t=T=3\times10^{-6}\ \text{s}\).
3. γ) Η τάση στον πυκνωτή είναι ανάλογη του φορτίου (\(V=q/C\)) — μηδενίζεται όταν \(q=0\), δηλαδή στο 1/4 της περιόδου (πρώτη φορά): \(t=T/4=0{,}75\times10^{-6}\ \text{s}\).
4. δ) Η ενέργεια μαγνητικού πεδίου γίνεται μέγιστη ακριβώς όταν το φορτίο (άρα και η ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου) μηδενίζεται — δηλαδή στον ίδιο χρόνο με το (γ): \(t=T/4=0{,}75\times10^{-6}\ \text{s}\).

Απάντηση: α) \(T/2=1{,}5\times10^{-6}\ \text{s}\) β) \(T=3\times10^{-6}\ \text{s}\) γ) \(T/4=0{,}75\times10^{-6}\ \text{s}\) δ) \(T/4=0{,}75\times10^{-6}\ \text{s}\) (ίδια στιγμή με το γ).

Πρόσεξε:

• Η τάση και η ενέργεια μαγνητικού πεδίου μηδενίζονται/μεγιστοποιούνται ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΑ — δεν είναι τυχαίο, απορρέει από την ενεργειακή διατήρηση \(U_E+U_B=E\).

Άσκηση 1.10 (σελ. 32)

Ένας φορτισμένος πυκνωτής συνδέεται με ιδανικό πηνίο σε κλειστό κύκλωμα. Γιατί δεν εκφορτίζεται ακαριαία ο πυκνωτής;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η αυτεπαγωγή του πηνίου παράγει αντι-ΗΕΔ που αντιτίθεται σε κάθε μεταβολή του ρεύματος (νόμος του Lenz) — άρα το ρεύμα δεν μπορεί να αυξηθεί (ή να μειωθεί) ακαριαία, παρά μόνο σταδιακά.

Λύση:

1. Καθώς ο πυκνωτής αρχίζει να εκφορτίζεται, το ρεύμα στο κύκλωμα αρχίζει να αυξάνεται από το μηδέν.
2. Η μεταβολή αυτή του ρεύματος μέσα στο πηνίο δημιουργεί, λόγω αυτεπαγωγής, μια αντι-ΗΕΔ που αντιτίθεται (νόμος Lenz) στην αύξηση του ρεύματος.
3. Συνεπώς το ρεύμα δεν μπορεί να αποκτήσει ακαριαία τη μέγιστη τιμή του, αλλά αυξάνεται σταδιακά — άρα και η εκφόρτιση του πυκνωτή γίνεται σταδιακά, όχι ακαριαία.

Απάντηση: Επειδή το πηνίο, λόγω αυτεπαγωγής, αναπτύσσει αντι-ΗΕΔ που αντιτίθεται σε κάθε μεταβολή του ρεύματος· το ρεύμα (άρα και η εκφόρτιση) αυξάνεται σταδιακά, όχι ακαριαία.

Πρόσεξε:

• Η αυτεπαγωγή αντιτίθεται στη ΜΕΤΑΒΟΛΗ του ρεύματος, όχι στο ίδιο το ρεύμα — γι' αυτό επιτρέπει τελικά μέγιστο ρεύμα, απλά όχι ακαριαία.

Άσκηση 1.11 (σελ. 32)

Να συμπληρώσετε τον επόμενο πίνακα, που αναφέρεται σε κύκλωμα αμείωτων ηλεκτρικών ταλαντώσεων:

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η ολική ενέργεια \(E=U_E+U_B\) είναι σταθερή σε κάθε στήλη — βρίσκουμε πρώτα την τιμή της \(E\) από την πρώτη στήλη (όπου δίνονται και τα δύο), και τη χρησιμοποιούμε στις υπόλοιπες.

Λύση:

1. 1η στήλη: \(E=120\times10^{-3}\ \text{J}\) (δίνεται) και \(U_E=80\times10^{-3}\ \text{J}\), άρα \(U_B=E-U_E=120-80=40\times10^{-3}\ \text{J}\).
2. 2η στήλη: \(U_E=120\times10^{-3}\ \text{J}=E\), άρα \(U_B=E-U_E=0\).
3. 3η στήλη: \(U_B=50\times10^{-3}\ \text{J}\), άρα \(U_E=E-U_B=120-50=70\times10^{-3}\ \text{J}\).
4. 4η στήλη: \(U_B=120\times10^{-3}\ \text{J}=E\), άρα \(U_E=E-U_B=0\).

Απάντηση: Σε όλες τις στήλες \(E=120\times10^{-3}\ \text{J}\). 1η: \(U_B=40\times10^{-3}\) J. 2η: \(U_B=0\). 3η: \(U_E=70\times10^{-3}\) J. 4η: \(U_E=0\).

Πρόσεξε:

• Η ολική ενέργεια \(E\) είναι η ΙΔΙΑ σε όλες τις στήλες — υπολογίζεται μία φορά, από τη στήλη όπου δίνεται.

Άσκηση 1.12 (σελ. 32)

Διαθέτουμε δύο κυκλώματα ηλεκτρικών ταλαντώσεων, τα \(A\) και \(B\), με ίσες χωρητικότητες πυκνωτών. Στο σχήμα 1.41 παριστάνεται το φορτίο στους πυκνωτές των κυκλωμάτων \(A\) και \(B\) σε συνάρτηση με τον χρόνο (το \(A\) έχει μικρότερη περίοδο ταλάντωσης από το \(B\), με περίπου ίσο μέγιστο φορτίο). Να συγκρίνετε: α) την αυτεπαγωγή των πηνίων, β) το μέγιστο ρεύμα στα δύο κυκλώματα.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Από \(T=2\pi\sqrt{LC}\), με κοινό \(C\), μικρότερη περίοδος σημαίνει μικρότερο \(L\). Το μέγιστο ρεύμα είναι \(I=Q\omega=2\pi Qf=2\pi Q/T\)· με κοινό \(Q\) (ίδιο μέγιστο φορτίο) και μικρότερο \(T_A\), το \(I_A\) είναι μεγαλύτερο.

Λύση:

1. Από το διάγραμμα, \(T_A<T_B\) (το \(A\) κάνει περισσότερες ταλαντώσεις στον ίδιο χρόνο).
2. Από \(T=2\pi\sqrt{LC}\) με κοινό \(C\): \(T\propto\sqrt{L}\), άρα \(T_A<T_B \Rightarrow L_A<L_B\).
3. Το μέγιστο ρεύμα είναι \(I=Q\omega=\dfrac{2\pi Q}{T}\). Με περίπου ίσο μέγιστο φορτίο \(Q\) στα δύο κυκλώματα και \(T_A<T_B\), προκύπτει \(I_A>I_B\).

Απάντηση: α) \(L_A<L_B\) (μικρότερη περίοδος ⟹ μικρότερη αυτεπαγωγή, αφού το \(C\) είναι κοινό). β) \(I_A>I_B\) (μικρότερη περίοδος με ίδιο μέγιστο φορτίο ⟹ μεγαλύτερο μέγιστο ρεύμα).

Πρόσεξε:

• Το ρεύμα \(I=Q\omega\) εξαρτάται αντιστρόφως από την περίοδο — μικρότερη περίοδος σημαίνει μεγαλύτερο ρεύμα, ΟΧΙ το αντίστροφο.

Άσκηση 1.13 (σελ. 33)

Διαθέτουμε δύο κυκλώματα ηλεκτρικών ταλαντώσεων \(A\) και \(B\), με \(C_B=2C_A\) και \(L_B=L_A/2\). Τα κυκλώματα διεγείρονται σε ηλεκτρική ταλάντωση από πηγή τάσης \(V\) (ίδια και για τα δύο). Να συγκρίνετε: α) το μέγιστο φορτίο στους πυκνωτές, β) τις ενέργειες στα δύο κυκλώματα, γ) τις περιόδους της ηλεκτρικής ταλάντωσης, δ) το μέγιστο ρεύμα στα δύο κυκλώματα.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Χρησιμοποιούμε \(Q=CV\), \(E=\frac12CV^2\), \(T=2\pi\sqrt{LC}\) και \(I=Q\omega=Q/\sqrt{LC}\), αντικαθιστώντας τις δοσμένες σχέσεις \(C_B=2C_A\), \(L_B=L_A/2\).

Λύση:

1. α) \(Q=CV \Rightarrow Q_B/Q_A=C_B/C_A=2 \Rightarrow Q_B=2Q_A\).
2. β) \(E=\frac12CV^2 \Rightarrow E_B/E_A=C_B/C_A=2 \Rightarrow E_B=2E_A\).
3. γ) \(T=2\pi\sqrt{LC} \Rightarrow T_B/T_A=\sqrt{(L_B C_B)/(L_A C_A)}=\sqrt{(L_A/2)(2C_A)/(L_AC_A)}=\sqrt{1}=1 \Rightarrow T_A=T_B\).
4. δ) \(I=Q\omega=Q\cdot\dfrac{2\pi}{T}\). Αφού \(T_A=T_B\) και \(Q_B=2Q_A\), προκύπτει \(I_B=2I_A\).

Απάντηση: α) \(Q_B=2Q_A\) β) \(E_B=2E_A\) γ) \(T_A=T_B\) (ίσες περίοδοι!) δ) \(I_B=2I_A\).

Πρόσεξε:

• Παρότι \(L\) και \(C\) αλλάζουν αντίστροφα κατά τον ίδιο παράγοντα (2), το γινόμενο \(LC\) (άρα και η περίοδος) ΔΕΝ αλλάζει — προσοχή στη διαισθητική παγίδα.

Άσκηση 1.14 (σελ. 33)

Ιδανικό κύκλωμα LC εκτελεί ηλεκτρική ταλάντωση με συχνότητα \(100\ \text{kHz}\). Μεταβάλλοντας τον πυρήνα του πηνίου μπορούμε να μεταβάλουμε τον συντελεστή αυτεπαγωγής \(L\). Αν μειώσουμε τον συντελεστή αυτεπαγωγής σε \(L/4\), η συχνότητα της ηλεκτρικής ταλάντωσης θα γίνει: α) \(25\ \text{kHz}\) β) \(50\ \text{kHz}\) γ) \(200\ \text{kHz}\) δ) \(400\ \text{kHz}\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Από \(f=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\) προκύπτει \(f\propto\dfrac{1}{\sqrt L}\) (σταθερό \(C\)) — μείωση του \(L\) κατά παράγοντα 4 αυξάνει το \(f\) κατά παράγοντα \(\sqrt4=2\).

Λύση:

1. \(f=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \Rightarrow f\propto\dfrac{1}{\sqrt L}\) (σταθερό \(C\)).
2. Αν \(L'=L/4\): \(f'=f\sqrt{L/L'}=f\sqrt{4}=2f=2\times100=200\ \text{kHz}\).

Απάντηση: Σωστή είναι η (γ) \(200\ \text{kHz}\).

Πρόσεξε:

• Η συχνότητα είναι ανάλογη του \(1/\sqrt L\), ΟΧΙ του \(1/L\) — μείωση κατά 4 αυξάνει το \(f\) κατά \(\sqrt4=2\), όχι κατά 4.

Άσκηση 1.15 (σελ. 33)

Σε κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων φέρουμε στιγμιαία τους οπλισμούς του πυκνωτή σε επαφή με τους πόλους μπαταρίας \(1{,}5\ \text{V}\). Το κύκλωμα διεγείρεται και ταλαντώνεται. Αν η διέγερση γινόταν με μπαταρία \(3\ \text{V}\): 1) η ολική ενέργεια στο κύκλωμα θα ήταν α) η ίδια β) διπλάσια γ) τετραπλάσια. 2) το μέγιστο ρεύμα θα ήταν α) το ίδιο β) διπλάσιο γ) τετραπλάσιο.

Σκέψη / Μεθοδολογία: \(Q=CV\) (ανάλογο του \(V\)), \(E=\frac12\frac{Q^2}{C}=\frac12CV^2\) (ανάλογο του \(V^2\)), \(I=Q\omega\) (ανάλογο του \(Q\), άρα του \(V\), αφού το \(\omega=1/\sqrt{LC}\) δεν εξαρτάται από την τάση διέγερσης).

Λύση:

1. Διπλασιάζοντας την τάση διέγερσης (\(3\ \text{V}=2\times1{,}5\ \text{V}\)), το φορτίο διπλασιάζεται: \(Q=CV\).
2. Η ενέργεια \(E=\frac12CV^2\) είναι ανάλογη του \(V^2\) — τετραπλασιάζεται.
3. Το μέγιστο ρεύμα \(I=Q\omega\) είναι ανάλογο του \(Q\) (το \(\omega=1/\sqrt{LC}\) παραμένει σταθερό, αφού δεν αλλάζουν \(L,C\)) — διπλασιάζεται.

Απάντηση: 1) Τετραπλάσια (γ). 2) Διπλάσιο (β).

Πρόσεξε:

• Η ενέργεια είναι ανάλογη του \(V^2\) (τετραπλασιασμός), ενώ το ρεύμα είναι ανάλογο του \(V\) (διπλασιασμός) — μη τα συγχέετε.

Άσκηση 1.16 (σελ. 33)

Συμπληρώστε τα κενά: Όπως στις αμείωτες μηχανικές ταλαντώσεις η κινητική ενέργεια του συστήματος μετατρέπεται περιοδικά σε ........... και η ολική ενέργεια του συστήματος διατηρείται, έτσι και στις αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις η ........... πεδίου μετατρέπεται περιοδικά σε ........... πεδίου ενώ το άθροισμά τους ...........

Σκέψη / Μεθοδολογία: Πλήρης αντιστοιχία μηχανικής-ηλεκτρικής ταλάντωσης: κινητική↔μαγνητική, δυναμική↔ηλεκτρική, με σταθερό άθροισμα (ολική ενέργεια).

Λύση:

1. Στη μηχανική ταλάντωση, η κινητική ενέργεια μετατρέπεται περιοδικά σε δυναμική ενέργεια.
2. Στην ηλεκτρική ταλάντωση, η ενέργεια μαγνητικού πεδίου (πηνίου) μετατρέπεται περιοδικά σε ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου (πυκνωτή) — ή αντίστροφα.
3. Σε κάθε περίπτωση, το άθροισμα (ολική ενέργεια) παραμένει σταθερό/διατηρείται.

Απάντηση: …δυναμική ενέργεια… / …ενέργεια ηλεκτρικού… / …ενέργεια μαγνητικού… / …διατηρείται σταθερό.

Πρόσεξε:

• Η αντιστοιχία είναι: κινητική↔μαγνητική, δυναμική↔ηλεκτρική (όχι το αντίστροφο).

Άσκηση 1.30 (σελ. 36)

Κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων αποτελείται από πυκνωτή χωρητικότητας \(C=5\ \mu\text{F}\) και πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής \(L=4\times10^{-3}\ \text{H}\). Να υπολογίσετε τη συχνότητα με την οποία ταλαντώνεται το κύκλωμα, αν διεγερθεί.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Άμεση εφαρμογή του τύπου \(f=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\).

Λύση:

1. \(LC=4\times10^{-3}\times5\times10^{-6}=2\times10^{-8}\ \text{s}^2\).
2. \(\sqrt{LC}=\sqrt{2\times10^{-8}}\approx1{,}414\times10^{-4}\ \text{s}\).
3. \(f=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{2\pi(1{,}414\times10^{-4})}\approx1126\ \text{Hz}\).

Απάντηση: \(f\approx1126\ \text{Hz}\).

Πρόσεξε:

• Προσοχή στις μονάδες: \(\mu\text{F}=10^{-6}\ \text{F}\).

Άσκηση 1.31 (σελ. 36)

Κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων με πυκνωτή \(C=20\times10^{-6}\ \text{F}\) και πηνίο \(L=5\times10^{-2}\ \text{H}\) διεγείρεται σε ταλάντωση. Τη χρονική στιγμή μηδέν, ο πυκνωτής έρχεται στιγμιαία σε επαφή με πηγή τάσης \(V=50\ \text{V}\). Να γράψετε τις σχέσεις του φορτίου στον πυκνωτή και της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα σε συνάρτηση με τον χρόνο.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το αρχικό φορτίο \(Q=CV\) είναι το μέγιστο (t=0) — άρα \(q=Q\,\text{συν}\,\omega t\). Υπολογίζουμε \(\omega=1/\sqrt{LC}\) και \(I=Q\omega\).

Λύση:

1. \(Q=CV=20\times10^{-6}\times50=10^{-3}\ \text{C}\).
2. \(\omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{\sqrt{5\times10^{-2}\times20\times10^{-6}}}=\dfrac{1}{\sqrt{10^{-6}}}=\dfrac{1}{10^{-3}}=1000\ \text{rad/s}\).
3. \(I=Q\omega=10^{-3}\times1000=1\ \text{A}\).
4. Άρα \(q=10^{-3}\,\text{συν}\,1000t\ \text{C}\) και \(i=-1\,\text{ημ}\,1000t\ \text{A}\) (S.I.).

Απάντηση: \(q=10^{-3}\,\text{συν}\,1000t\) C, \(i=-1\,\text{ημ}\,1000t\) A (S.I.).

Πρόσεξε:

• Το πρόσημο μείον στο \(i\) προκύπτει από την παραγώγιση του \(q=Q\,\text{συν}\,\omega t\) (\(\dot q=-Q\omega\,\text{ημ}\,\omega t\)) — μη το παραλείψετε.

Άσκηση 1.42 (σελ. 38)

Κύκλωμα LC εκτελεί ηλεκτρική ταλάντωση με συχνότητα \(\dfrac{5000}{\pi}\ \text{Hz}\). Το μέγιστο φορτίο στον πυκνωτή είναι \(Q=5\times10^{-7}\ \text{C}\). α) Να υπολογίσετε το πλάτος της έντασης του ρεύματος και το φορτίο του πυκνωτή τη στιγμή που το ρεύμα είναι \(i=3\times10^{-3}\ \text{A}\). β) Θεωρήστε \(C=1\ \mu\text{F}\)· περιγράψτε ποιοτικά τις γραφικές παραστάσεις \(U_E(q)\), \(U_B(q)\) και \(E(q)\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η γωνιακή συχνότητα είναι \(\omega=2\pi f\). Το πλάτος ρεύματος \(I=Q\omega\). Από την ενεργειακή σχέση \(q^2/Q^2+i^2/I^2=1\) (ισοδύναμη με \(x^2/A^2+\upsilon^2/\upsilon_{\max}^2=1\)) βρίσκουμε το \(q\) για δοσμένο \(i\).

Λύση:

1. \(\omega=2\pi f=2\pi\times\dfrac{5000}{\pi}=10\,000\ \text{rad/s}\).
2. \(I=Q\omega=5\times10^{-7}\times10^4=5\times10^{-3}\ \text{A}=5\ \text{mA}\).
3. Από \(\dfrac{q^2}{Q^2}+\dfrac{i^2}{I^2}=1\): \(\dfrac{i^2}{I^2}=\left(\dfrac{3\times10^{-3}}{5\times10^{-3}}\right)^2=0{,}36 \Rightarrow \dfrac{q^2}{Q^2}=0{,}64 \Rightarrow q=0{,}8\,Q=0{,}8\times5\times10^{-7}=4\times10^{-7}\ \text{C}\).
4. β) Οι ενέργειες \(U_E=\dfrac{q^2}{2C}\) (παραβολή ως προς \(q\), αυξανόμενη) και \(U_B=E-U_E\) (φθίνουσα παραβολή) αθροίζουν πάντα στη σταθερή, οριζόντια ευθεία \(E=\dfrac{Q^2}{2C}\).

Απάντηση: α) \(I=5\ \text{mA}\), \(q=4\times10^{-7}\ \text{C}\) όταν \(i=3\times10^{-3}\ \text{A}\).

Πρόσεξε:

• Η σχέση \(q^2/Q^2+i^2/I^2=1\) είναι η ενεργειακή («ελλειπτική») σχέση ΑΑΤ-ηλεκτρικής ταλάντωσης — πολύ πιο γρήγορη από το να γράψετε πλήρεις εξισώσεις \(q(t),i(t)\).

Άσκηση 1.43 (σελ. 38)

Πυκνωτής χωρητικότητας \(C=4\times10^{-5}\ \text{F}\) φορτίζεται σε τάση \(V=100\ \text{V}\). Τη στιγμή \(t=0\) οι οπλισμοί του συνδέονται με πηνίο \(L=0{,}9\ \text{H}\) και το κύκλωμα εκτελεί ηλεκτρική ταλάντωση. α) Ποιο είναι το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή; β) Ποιο το φορτίο τις στιγμές που \(U_E=U_B\); γ) Ποια χρονική στιγμή η \(U_E\) γίνεται, για πρώτη φορά, ίση με την \(U_B\);

Σκέψη / Μεθοδολογία: \(Q=CV\). Όταν \(U_E=U_B\), καθεμία ισούται με \(E/2\), άρα \(q^2/(2C)=Q^2/(4C)\Rightarrow q=Q/\sqrt2\). Με \(q=Q\,\text{συν}\,\omega t\), λύνουμε ως προς \(t\) για \(\text{συν}\,\omega t=1/\sqrt2\).

Λύση:

1. α) \(Q=CV=4\times10^{-5}\times100=4\times10^{-3}\ \text{C}\).
2. β) \(U_E=U_B \Rightarrow\) καθεμία \(=E/2=\dfrac{Q^2}{4C}\). Από \(U_E=\dfrac{q^2}{2C}=\dfrac{Q^2}{4C} \Rightarrow q^2=\dfrac{Q^2}{2}\Rightarrow q=\dfrac{Q}{\sqrt2}=2\sqrt2\times10^{-3}\ \text{C}\).
3. γ) \(\omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{\sqrt{0{,}9\times4\times10^{-5}}}=\dfrac{1}{\sqrt{3{,}6\times10^{-5}}}\approx166{,}7\ \text{rad/s}\).
4. Από \(q=Q\,\text{συν}\,\omega t=Q/\sqrt2 \Rightarrow \text{συν}\,\omega t=1/\sqrt2 \Rightarrow \omega t=\pi/4\) (πρώτη λύση).
5. \(t=\dfrac{\pi/4}{\omega}=\dfrac{\pi}{4\times166{,}7}\approx1{,}5\pi\times10^{-3}\ \text{s}\approx4{,}7\times10^{-3}\ \text{s}\).

Απάντηση: α) \(Q=4\times10^{-3}\ \text{C}\) β) \(q=2\sqrt2\times10^{-3}\ \text{C}\) γ) \(t=1{,}5\pi\times10^{-3}\ \text{s}\approx4{,}7\times10^{-3}\ \text{s}\).

Πρόσεξε:

• «\(U_E=U_B\)» σημαίνει ΚΑΘΕ ενέργεια ισούται με το ΜΙΣΟ της ολικής, όχι με ολόκληρη την ολική.

Άσκηση 1.44 (σελ. 38)

Κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων έχει πηνίο \(L=16\ \text{mH}\) και πυκνωτή \(C=4\times10^{-5}\ \text{F}\). Κάποια στιγμή το φορτίο στον πυκνωτή είναι \(q=20\ \mu\text{C}\) και η ένταση του ρεύματος \(i=25\sqrt3\ \text{mA}\). Ποιο είναι το μέγιστο φορτίο που αποκτά ο πυκνωτής;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Από τη διατήρηση της ολικής ενέργειας: \(\dfrac{Q^2}{2C}=\dfrac{q^2}{2C}+\dfrac{Li^2}{2} \Rightarrow Q=\sqrt{q^2+LCi^2}\).

Λύση:

1. \(LC=16\times10^{-3}\times4\times10^{-5}=6{,}4\times10^{-7}\).
2. \(i^2=(25\sqrt3\times10^{-3})^2=625\times3\times10^{-6}=1875\times10^{-6}\).
3. \(LCi^2=6{,}4\times10^{-7}\times1875\times10^{-6}=1{,}2\times10^{-9}\).
4. \(q^2=(20\times10^{-6})^2=4\times10^{-10}\).
5. \(Q=\sqrt{4\times10^{-10}+1{,}2\times10^{-9}}=\sqrt{1{,}6\times10^{-9}}=4\times10^{-5}\ \text{C}=40\ \mu\text{C}\).

Απάντηση: \(Q=40\ \mu\text{C}\).

Πρόσεξε:

• Χρησιμοποιήστε τη σχέση διατήρησης ενέργειας απευθείας — δεν χρειάζεται να υπολογίσετε πρώτα το \(\omega\) ή τον χρόνο.

Άσκηση 1.49 (σελ. 40)

Στο κύκλωμα του σχήματος 1.47 δίνονται \(E=12\ \text{V}\), \(r=0\), \(L=10\ \text{mH}\), \(C=1\ \mu\text{F}\), \(R=20\ \Omega\). Αρχικά ο μεταγωγός βρίσκεται στη θέση \(A\) και το πηνίο διαρρέεται από σταθερό ρεύμα. Τη στιγμή \(t=0\) ο μεταγωγός μεταφέρεται ακαριαία στη θέση \(B\). α) Ποιος οπλισμός θα αποκτήσει πρώτος θετικό φορτίο; β) Γράψτε τις εξισώσεις έντασης ρεύματος και φορτίου σε συνάρτηση με τον χρόνο.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Πριν τη μεταγωγή, το ρεύμα στο πηνίο είναι σταθερό (RL κύκλωμα σε μόνιμη κατάσταση, όπου το ιδανικό πηνίο δε φέρει πτώση τάσης): \(I_0=E/R\). Λόγω αυτεπαγωγής, το ρεύμα αυτό ΔΕΝ μπορεί να μηδενιστεί ακαριαία στη θέση \(B\) — συνεχίζει με την ίδια τιμή/φορά τη στιγμή t=0, φορτίζοντας τον πυκνωτή.

Λύση:

1. Στη θέση \(A\), σε μόνιμη κατάσταση, το ιδανικό πηνίο συμπεριφέρεται σαν βραχυκύκλωμα: \(I_0=\dfrac{E}{R}=\dfrac{12}{20}=0{,}6\ \text{A}\).
2. α) Λόγω αυτεπαγωγής, το ρεύμα \(I_0\) διατηρεί (τη στιγμή \(t=0^+\)) το ίδιο μέτρο και φορά όπως πριν τη μεταγωγή. Αυτό το ρεύμα φορτίζει τον πυκνωτή: θετικό φορτίο αποκτά πρώτος ο οπλισμός στον οποίο «μπαίνει» το ρεύμα — δηλαδή ο οπλισμός που είναι συνδεδεμένος (μέσω του πηνίου) προς την πλευρά του αρνητικού πόλου της πηγής (απ' όπου προηγουμένως έφευγε το ρεύμα διαμέσου του \(R\)).
3. β) Το μέγιστο ρεύμα της επακόλουθης ηλεκτρικής ταλάντωσης είναι \(I=I_0=0{,}6\ \text{A}\) (αφού τη στιγμή \(t=0\), με μηδενικό ακόμη φορτίο στον πυκνωτή, το ρεύμα είναι ήδη στη μέγιστη τιμή του — δηλαδή \(t=0\) αντιστοιχεί σε \(q=0\), θέση ισορροπίας).
4. \(\omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{\sqrt{10\times10^{-3}\times10^{-6}}}=\dfrac{1}{\sqrt{10^{-8}}}=10^4\ \text{rad/s}\).
5. Αφού στο \(t=0\) το ρεύμα είναι μέγιστο (θετικό) και το φορτίο μηδέν: \(i=I_0\,\text{συν}\,\omega t=0{,}6\,\text{συν}\,10^4t\ \text{A}\), και \(q=Q\,\text{ημ}\,\omega t\) με \(Q=I_0\sqrt{LC}=I_0/\omega=0{,}6/10^4=6\times10^{-5}\ \text{C}\), άρα \(q=6\times10^{-5}\,\text{ημ}\,10^4t\ \text{C}\).

Απάντηση: α) Ο οπλισμός που συνδέεται με τον αρνητικό πόλο της πηγής (μέσω του πηνίου). β) \(i=0{,}6\,\text{συν}\,10^4t\) A, \(q=6\times10^{-5}\,\text{ημ}\,10^4t\) C (S.I.).

Πρόσεξε:

• Το ρεύμα στο πηνίο ΔΕΝ αλλάζει ακαριαία (αυτεπαγωγή) — αυτό καθορίζει τόσο την πολικότητα φόρτισης όσο και τη μορφή \(\text{συν}\) (όχι \(\text{ημ}\)) για το ρεύμα.

Άσκηση 1.50 (σελ. 40)

Στο κύκλωμα του σχήματος 1.48 δίνονται \(E=6\ \text{V}\), \(R=2\ \Omega\), \(L=0{,}2\times10^{-3}\ \text{H}\), \(r=0\). Αρχικά ο διακόπτης \(\Delta\) είναι κλειστός, το κύκλωμα διαρρέεται από σταθερό ρεύμα και ο πυκνωτής είναι αφόρτιστος. Όταν ανοίξουμε τον διακόπτη, ο πυκνωτής φορτίζεται. α) Εξηγήστε γιατί φορτίζεται ο πυκνωτής. β) Ποια πρέπει να είναι η χωρητικότητα του πυκνωτή ώστε η τάση στους οπλισμούς του να μην υπερβεί τα \(10\ \text{V}\);

Σκέψη / Μεθοδολογία: Πριν το άνοιγμα του διακόπτη, το πηνίο διαρρέεται από σταθερό ρεύμα \(I_0=E/R\) (ο πυκνωτής, παράλληλα με το πηνίο, είναι αφόρτιστος/χωρίς ρεύμα σε μόνιμη κατάσταση). Το άνοιγμα του διακόπτη αποκόπτει την πηγή· λόγω αυτεπαγωγής το ρεύμα του πηνίου συνεχίζει να ρέει στον νέο κλειστό βρόχο L-C, φορτίζοντας τον πυκνωτή. Χρησιμοποιούμε διατήρηση ενέργειας για να βρούμε το \(C\) που περιορίζει τη μέγιστη τάση.

Λύση:

1. Πριν το άνοιγμα: \(I_0=\dfrac{E}{R}=\dfrac{6}{2}=3\ \text{A}\) (ρεύμα στο πηνίο, ο πυκνωτής παράλληλα με το πηνίο δεν άγει ρεύμα σε μόνιμη κατάσταση).
2. α) Το άνοιγμα του διακόπτη διακόπτει το ρεύμα από την πηγή, όμως το πηνίο (λόγω αυτεπαγωγής) δεν επιτρέπει ακαριαία μηδενισμό του ρεύματός του: το ρεύμα \(I_0\) συνεχίζει να ρέει, τώρα αναγκαστικά μέσα από τον βρόχο L-C, φορτίζοντας τον πυκνωτή.
3. β) Όλη η αρχική ενέργεια μαγνητικού πεδίου μετατρέπεται (στη μέγιστη τάση) σε ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου: \(\dfrac12LI_0^2=\dfrac12CV_{\max}^2 \Rightarrow C=\dfrac{LI_0^2}{V_{\max}^2}\).
4. \(C=\dfrac{0{,}2\times10^{-3}\times3^2}{10^2}=\dfrac{0{,}2\times10^{-3}\times9}{100}=\dfrac{1{,}8\times10^{-3}}{100}=1{,}8\times10^{-5}\ \text{F}=18\ \mu\text{F}\).

Απάντηση: α) Λόγω αυτεπαγωγής, το ρεύμα του πηνίου δε μηδενίζεται ακαριαία και αναγκάζεται να ρεύσει μέσα από τον πυκνωτή, φορτίζοντάς τον. β) \(C\geq18\ \mu\text{F}\) (ελάχιστη τιμή ώστε \(V_{\max}\leq10\ \text{V}\)).

Πρόσεξε:

• Η ζητούμενη \(C\) είναι η ΕΛΑΧΙΣΤΗ τιμή που εξασφαλίζει \(V_{\max}\leq10\ \text{V}\) — μεγαλύτερο \(C\) δίνει μικρότερη μέγιστη τάση, όχι μεγαλύτερη.