Δραστηριότητα 1 — Εξαναγκασμένη ταλάντωση και ιδιοσυχνότητα ταλαντωτή: Στερεώστε στο ένα άκρο ενός μεγάλου ελατηρίου ένα σώμα και ταλαντώνετε με το χέρι το άλλο άκρο με διάφορες συχνότητες. Για κάποια συχνότητα το πλάτος ταλάντωσης του σώματος γίνεται μέγιστο — έχετε εντοπίσει την ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή. Αν αντικαταστήσουμε το σώμα με άλλο μάζας ίσης με το 1/4 της αρχικής, η ιδιοσυχνότητα διπλασιάζεται περίπου. Γιατί διπλασιάστηκε η ιδιοσυχνότητα;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η ιδιοσυχνότητα ενός συστήματος ελατηρίου-μάζας είναι \(f_0=\frac{1}{2\pi}\sqrt{K/m}\) — αντιστρόφως ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας της μάζας.

Λύση:

\(f_0=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{K/m}\), άρα \(f_0\propto\dfrac{1}{\sqrt m}\) (σταθερό \(K\) — το ίδιο ελατήριο).
Αν \(m'=m/4\): \(f_0'=f_0\sqrt{m/m'}=f_0\sqrt4=2f_0\) — η ιδιοσυχνότητα διπλασιάζεται.

Απάντηση: Επειδή \(f_0\propto1/\sqrt m\): μειώνοντας τη μάζα στο 1/4, η ιδιοσυχνότητα πολλαπλασιάζεται επί \(\sqrt4=2\), δηλαδή διπλασιάζεται.

Πρόσεξε:

Η ιδιοσυχνότητα εξαρτάται από την ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ του λόγου των μαζών, όχι γραμμικά.

Άσκηση Δ2 (σελ. 30)

Δραστηριότητα 2 — Συντονισμός: Κόβοντας σε μεταλλικό κουτί αναψυκτικού επτά κατακόρυφες λουρίδες διαφορετικού μήκους, και μία ακόμη (ίδιου μήκους με την τέταρτη) ακριβώς απέναντί της, θέτουμε σε ταλάντωση την τελευταία λουρίδα. Ποια από τις απέναντι λουρίδες ταλαντώνεται με μεγαλύτερο πλάτος; Πώς ερμηνεύεται η παρατήρηση;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Κάθε λουρίδα λειτουργεί σαν ανεξάρτητος ταλαντωτής με τη δική της ιδιοσυχνότητα, που εξαρτάται από το μήκος της. Η λουρίδα που διεγείρεται λειτουργεί σαν διεγέρτης για όλες τις υπόλοιπες, μέσω του κοινού μεταλλικού τοιχώματος.

Λύση:

Κάθε λουρίδα έχει τη δική της ιδιοσυχνότητα \(f_0\), που εξαρτάται από το μήκος της (μεγαλύτερο μήκος → μικρότερη ιδιοσυχνότητα, όπως σε κάθε ελαστική δοκό/χορδή).
Η διεγειρόμενη λουρίδα λειτουργεί ως διεγέρτης, μεταδίδοντας ταλάντωση σε όλες τις άλλες μέσω του κοινού μετάλλου, με συχνότητα ίση με τη δική της ιδιοσυχνότητα.
Η απέναντι λουρίδα με το ΙΔΙΟ μήκος με τη διεγειρόμενη έχει ακριβώς την ίδια ιδιοσυχνότητα — άρα βρίσκεται σε συντονισμό και ταλαντώνεται με το μεγαλύτερο πλάτος από όλες.

Απάντηση: Η απέναντι λουρίδα με το ίδιο μήκος (άρα ίδια ιδιοσυχνότητα) με τη διεγειρόμενη ταλαντώνεται με το μεγαλύτερο πλάτος, λόγω συντονισμού (\(f=f_0\)).

Πρόσεξε:

Το μήκος καθορίζει την ιδιοσυχνότητα — ίδιο μήκος σημαίνει ίδια ιδιοσυχνότητα, άρα συντονισμό με τον διεγέρτη.

Άσκηση Δ3 (σελ. 30)

Δραστηριότητα 3 — Συζευγμένα εκκρεμή: Δύο εκκρεμή ίδιου μήκους συνδέονται με νήμα στο οποίο έχει τοποθετηθεί μικρό βάρος (σύζευξη). Θέτουμε σε ταλάντωση το εκκρεμές Α (κάθετα στο επίπεδο των δύο εκκρεμών) και παρατηρούμε την κίνηση και των δύο. Περιγράψτε ενεργειακά το φαινόμενο.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Δύο ταλαντωτές ίδιας ιδιοσυχνότητας συνδεδεμένοι με έναν μηχανισμό (το νήμα σύζευξης) μπορούν να ανταλλάσσουν ενέργεια μεταξύ τους — το ένα λειτουργεί περιοδικά ως διεγέρτης του άλλου.

Λύση:

Αρχικά μόνο το εκκρεμές Α ταλαντώνεται με κάποιο πλάτος, ενώ το Β είναι ακίνητο.
Μέσω του συνδετικού νήματος (σύζευξη), το Α μεταφέρει σταδιακά ενέργεια στο Β — το πλάτος του Α μειώνεται ενώ του Β αυξάνεται.
Επειδή τα δύο εκκρεμή έχουν το ίδιο μήκος (άρα ίδια ιδιοσυχνότητα), η μεταφορά ενέργειας είναι πλήρης: σε κάποια στιγμή όλη η ενέργεια έχει περάσει στο Β (το Α σχεδόν ακινητοποιείται), και στη συνέχεια η διαδικασία αντιστρέφεται περιοδικά, με την ενέργεια να ταλαντεύεται εμπρός-πίσω ανάμεσα στα δύο εκκρεμή.

Απάντηση: Η ενέργεια ταλάντωσης μεταφέρεται περιοδικά, μέσω του νήματος σύζευξης, από το ένα εκκρεμές στο άλλο και πίσω — φαινόμενο δυνατό επειδή τα δύο εκκρεμή, έχοντας ίδιο μήκος, έχουν την ίδια ιδιοσυχνότητα.

Πρόσεξε:

Η πλήρης μεταφορά ενέργειας απαιτεί ΙΔΙΑ ιδιοσυχνότητα στους δύο ταλαντωτές — αν τα μήκη διέφεραν, η μεταφορά θα ήταν μερική.

Άσκηση 1.21 (σελ. 34)

Ένα σώμα εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση. Ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές; α) Το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται με τον χρόνο. β) Η συχνότητα ταλάντωσης είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα του συστήματος. γ) Το πλάτος της ταλάντωσης εξαρτάται από τη συχνότητα του διεγέρτη. δ) Η ενέργεια που χάνεται λόγω αποσβέσεων αναπληρώνεται από τον διεγέρτη.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση το πλάτος είναι ΣΤΑΘΕΡΟ στον χρόνο (όχι φθίνον), η συχνότητα είναι αυτή του διεγέρτη (όχι η ιδιοσυχνότητα), το πλάτος εξαρτάται από τη συχνότητα του διεγέρτη, και ο διεγέρτης αναπληρώνει τις απώλειες ενέργειας.

Λύση:

(α) Λάθος: στην εξαναγκασμένη ταλάντωση το πλάτος παραμένει σταθερό στον χρόνο (δεν φθίνει), αφού ο διεγέρτης αναπληρώνει συνεχώς την ενέργεια.
(β) Λάθος: η συχνότητα ταλάντωσης είναι η συχνότητα \(f\) του διεγέρτη, όχι η ιδιοσυχνότητα \(f_0\) του συστήματος (εκτός αν τυχαίνει \(f=f_0\), δηλ. στον συντονισμό).
(γ) Σωστό: το πλάτος εξαρτάται άμεσα από τη συχνότητα του διεγέρτη — γίνεται μέγιστο όταν \(f=f_0\).
(δ) Σωστό: η ενέργεια που χάνεται λόγω τριβών/αντιστάσεων αναπληρώνεται συνεχώς από τον διεγέρτη — γι' αυτό το πλάτος διατηρείται σταθερό.

Απάντηση: Σωστές είναι οι (γ) και (δ).

Πρόσεξε:

Μη συγχέετε την εξαναγκασμένη ταλάντωση (σταθερό πλάτος, συχνότητα διεγέρτη) με την ελεύθερη φθίνουσα ταλάντωση (φθίνον πλάτος, ιδιοσυχνότητα).

Άσκηση 1.22 (σελ. 34)

Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση κατά τον συντονισμό: α) Η ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή είναι μέγιστη. β) Η ενέργεια της ταλάντωσης είναι μέγιστη. γ) Το πλάτος της ταλάντωσης είναι μέγιστο. δ) Το ταλαντούμενο σύστημα δε χάνει ενέργεια. Επιλέξτε τα σωστά.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Στον συντονισμό (\(f=f_0\)) το πλάτος γίνεται μέγιστο δυνατό (για δεδομένη απόσβεση), άρα και η ενέργεια (ανάλογη του \(A^2\)) είναι μέγιστη· η ιδιοσυχνότητα είναι χαρακτηριστικό σταθερό του συστήματος (δεν «μεγιστοποιείται»), και το σύστημα εξακολουθεί να χάνει ενέργεια (που αναπληρώνεται από τον διεγέρτη).

Λύση:

(α) Λάθος: η ιδιοσυχνότητα \(f_0\) είναι σταθερό χαρακτηριστικό του συστήματος — δεν έχει νόημα «μεγιστοποίησης», απλά ο διεγέρτης φτάνει να ταλαντώνεται με \(f=f_0\).
(β) Σωστό: αφού \(E\propto A^2\) και το \(A\) γίνεται μέγιστο στον συντονισμό, η ενέργεια της ταλάντωσης είναι μέγιστη.
(γ) Σωστό: εξ ορισμού, ο συντονισμός είναι η κατάσταση μέγιστου πλάτους.
(δ) Λάθος: το σύστημα συνεχίζει να χάνει ενέργεια λόγω τριβών/αντιστάσεων — απλώς αυτή αναπληρώνεται πλήρως από τον διεγέρτη, γι' αυτό το πλάτος παραμένει σταθερό (και μέγιστο).

Απάντηση: Σωστές είναι οι (β) και (γ).

Πρόσεξε:

Ο συντονισμός δε σημαίνει μηδενικές απώλειες — σημαίνει ότι οι απώλειες αναπληρώνονται με τον πιο αποδοτικό τρόπο.

Άσκηση 1.23 (σελ. 34)

Το σώμα του σχήματος 1.43 κάνει εξαναγκασμένη ταλάντωση. Διαπιστώθηκε ότι όταν η συχνότητα του διεγέρτη παίρνει τις τιμές \(f_1=2\ \text{Hz}\) και \(f_2=6\ \text{Hz}\), το πλάτος της ταλάντωσης είναι το ίδιο. Για την ιδιοσυχνότητα \(f_0\) του συστήματος ισχύει: α) \(f_0<f_1\) β) \(f_1<f_0<f_2\) γ) \(f_0>f_2\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η καμπύλη πλάτους-συχνότητας έχει μέγιστο στο \(f_0\) και είναι (κατά προσέγγιση) συμμετρική γύρω από αυτό — δύο συχνότητες που δίνουν το ίδιο πλάτος βρίσκονται εκατέρωθεν του \(f_0\).

Λύση:

Η καμπύλη πλάτους-συχνότητας \(A(f)\) έχει ένα μοναδικό μέγιστο στο \(f=f_0\) και είναι (προσεγγιστικά) συμμετρική γύρω από αυτό.
Δύο διαφορετικές συχνότητες που δίνουν το ίδιο πλάτος πρέπει να βρίσκονται εκατέρωθεν του μεγίστου — άρα \(f_1<f_0<f_2\).

Απάντηση: Σωστή είναι η (β): \(f_1<f_0<f_2\) (πράγματι, \(f_0\) κοντά στο \(4\ \text{Hz}\), τον μέσο όρο).

Πρόσεξε:

Δεν είναι απαραίτητο το \(f_0\) να είναι ακριβώς ο αριθμητικός μέσος όρος \(f_1,f_2\) (η καμπύλη δεν είναι τέλεια συμμετρική), αλλά σίγουρα βρίσκεται ΑΝΑΜΕΣΑ τους.

Άσκηση 1.24 (σελ. 35)

Να αποδείξετε ότι, αν το πλάτος μιας φθίνουσας ταλάντωσης μειώνεται σύμφωνα με τη σχέση \(A=A_0e^{-\Lambda t}\), τότε τα πλάτη \(A_1,A_2,A_3,\ldots\) και οι ενέργειες \(E_1,E_2,E_3,\ldots\) της ταλάντωσης κατά τις χρονικές στιγμές \(T,2T,3T,\ldots\) ικανοποιούν τις σχέσεις α) \(\dfrac{A_1}{A_2}=\dfrac{A_2}{A_3}=\dfrac{A_3}{A_4}=\ldots\) β) \(\dfrac{E_1}{E_2}=\dfrac{E_2}{E_3}=\dfrac{E_3}{E_4}=\ldots\)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Υπολογίζουμε το πλάτος σε κάθε χρονική στιγμή \(kT\) και σχηματίζουμε τον λόγο διαδοχικών όρων — θα προκύψει σταθερός λόγος \(e^{\Lambda T}\), ανεξάρτητος του \(k\). Ανάλογα για την ενέργεια, αφού \(E\propto A^2\).

Λύση:

Σε χρόνο \(t_k=kT\): \(A_k=A_0e^{-\Lambda kT}\).
Ο λόγος διαδοχικών πλατών: \(\dfrac{A_k}{A_{k+1}}=\dfrac{A_0e^{-\Lambda kT}}{A_0e^{-\Lambda(k+1)T}}=e^{\Lambda(k+1)T-\Lambda kT}=e^{\Lambda T}\) — σταθερή τιμή, ανεξάρτητη του \(k\). Άρα \(\dfrac{A_1}{A_2}=\dfrac{A_2}{A_3}=\dfrac{A_3}{A_4}=\ldots=e^{\Lambda T}=\text{σταθ.}\)
Αφού \(E_k\propto A_k^2\): \(\dfrac{E_k}{E_{k+1}}=\dfrac{A_k^2}{A_{k+1}^2}=\left(\dfrac{A_k}{A_{k+1}}\right)^2=\left(e^{\Lambda T}\right)^2=e^{2\Lambda T}\) — και πάλι σταθερή τιμή, ανεξάρτητη του \(k\). Άρα \(\dfrac{E_1}{E_2}=\dfrac{E_2}{E_3}=\dfrac{E_3}{E_4}=\ldots=e^{2\Lambda T}=\text{σταθ.}\)

Απάντηση: Και οι δύο λόγοι είναι σταθεροί: \(A_k/A_{k+1}=e^{\Lambda T}\) και \(E_k/E_{k+1}=e^{2\Lambda T}\), ανεξάρτητοι του \(k\) — ό,τι έπρεπε να αποδειχθεί.

Πρόσεξε:

Ο λόγος για την ενέργεια είναι το ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ του λόγου για το πλάτος, αφού \(E\propto A^2\).

Προηγούμενο Στοιχείο

Επιστροφή στην Ενότητα

Επόμενο Στοιχείο