Ένα σώμα κάνει ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλαντώσεις της ίδιας συχνότητας, πάνω στην ίδια ευθεία, γύρω από το ίδιο σημείο. Τα πλάτη είναι \(5\ \text{cm}\) και \(3\ \text{cm}\). Αν οι δύο ταλαντώσεις έχουν την ίδια φάση, το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος είναι \(A=\ldots\), ενώ αν έχουν διαφορά φάσης \(180^\circ\), το πλάτος είναι \(A=\ldots\)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Χρησιμοποιούμε τις ειδικές περιπτώσεις της σύνθεσης: \(\phi=0\Rightarrow A=A_1+A_2\), \(\phi=180^\circ\Rightarrow A=|A_1-A_2|\).

Λύση:

Ίδια φάση (\(\phi=0\)): \(A=A_1+A_2=5+3=8\ \text{cm}\).
Διαφορά φάσης \(180^\circ\): \(A=|A_1-A_2|=|5-3|=2\ \text{cm}\).

Απάντηση: \(A=8\ \text{cm}\) (ίδια φάση) και \(A=2\ \text{cm}\) (αντίθετη φάση).

Πρόσεξε:

Απευθείας εφαρμογή των δύο ειδικών τύπων — δε χρειάζεται ο γενικός τύπος με το συνημίτονο της διαφοράς φάσης.

Άσκηση 1.26 (σελ. 35)

Ένα σώμα κάνει ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλαντώσεις του ίδιου πλάτους \(A\) και της ίδιας διεύθυνσης. Οι συχνότητες \(f_1,f_2\) διαφέρουν ελάχιστα. Ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι ορθές; α) Το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. β) Το πλάτος της ταλάντωσης μεταβάλλεται με τον χρόνο. γ) Η μέγιστη τιμή του πλάτους είναι \(2A\). δ) Ο χρόνος ανάμεσα σε δύο διαδοχικές μεγιστοποιήσεις του πλάτους είναι σταθερός. ε) Ο χρόνος ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς του πλάτους εξαρτάται από τη διαφορά \(f_1-f_2\) και μεγαλώνει όταν αυτή ελαττώνεται.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Πρόκειται για το φαινόμενο των διακροτημάτων: η κίνηση ΔΕΝ είναι απλή αρμονική (το πλάτος μεταβάλλεται), με μέγιστο πλάτος \(2A\) (σύμφωνη υπέρθεση) και περίοδο διακροτημάτων \(T_\delta=1/|f_1-f_2|\) σταθερή.

Λύση:

(α) Λάθος: η κίνηση είναι σύνθετη με μεταβαλλόμενο πλάτος (διακρότημα) — όχι απλή αρμονική ταλάντωση σταθερού πλάτους.
(β) Σωστό: αυτή είναι ακριβώς η ουσία του φαινομένου διακροτημάτων — το πλάτος \(|A'(t)|\) μεταβάλλεται αργά με τον χρόνο.
(γ) Σωστό: όταν οι δύο επιμέρους ταλαντώσεις είναι στιγμιαία σύμφωνες, το πλάτος γίνεται \(A_1+A_2=2A\).
(δ) Σωστό: η περίοδος διακροτημάτων \(T_\delta=1/|f_1-f_2|\) είναι σταθερή ποσότητα (δεδομένου ότι τα \(f_1,f_2\) είναι σταθερά) — άρα ο χρόνος ανάμεσα σε διαδοχικές μεγιστοποιήσεις είναι σταθερός.
(ε) Σωστό: ο χρόνος ανάμεσα σε διαδοχικούς μηδενισμούς είναι επίσης \(T_\delta=1/|f_1-f_2|\) — δηλαδή αντιστρόφως ανάλογος της διαφοράς \(|f_1-f_2|\). Άρα, όταν η διαφορά \(|f_1-f_2|\) ελαττώνεται, ο χρόνος \(T_\delta\) πράγματι ΜΕΓΑΛΩΝΕΙ, όπως λέει η πρόταση.

Απάντηση: Σωστές είναι οι (β), (γ), (δ), (ε). Λάθος μόνο η (α) — η κίνηση δεν είναι απλή αρμονική ταλάντωση, αφού το πλάτος της μεταβάλλεται με τον χρόνο (διακρότημα).

Πρόσεξε:

Προσοχή στην (ε): επειδή \(T_\delta=1/|f_1-f_2|\) είναι ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ανάλογη της διαφοράς συχνοτήτων, μικρότερη διαφορά σημαίνει ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟ χρόνο ανάμεσα σε μηδενισμούς — η πρόταση είναι σωστή, μην την απορρίψετε βιαστικά.

Άσκηση 1.33 (σελ. 37)

Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλαντώσεις με εξισώσεις \(x_1=4\,\text{ημ}\,50t\) και \(x_2=4\,\text{ημ}(50t-\pi)\) (S.I.), που γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από το ίδιο σημείο. Ποιο είναι το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ίδιο πλάτος (\(A_1=A_2=4\)) και διαφορά φάσης \(\pi\) (=180°) — πλήρης αναίρεση.

Λύση:

Διαφορά φάσης \(\phi=\pi=180^\circ\), άρα \(A=|A_1-A_2|=|4-4|=0\).

Απάντηση: \(A=0\) — οι δύο ταλαντώσεις αλληλοαναιρούνται πλήρως (το σώμα παραμένει ακίνητο).

Πρόσεξε:

Όταν \(A_1=A_2\) και \(\phi=180^\circ\), το αποτέλεσμα είναι πλήρης ακύρωση — το σώμα ουσιαστικά ΔΕΝ ταλαντώνεται.

Άσκηση 1.34 (σελ. 37)

Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλαντώσεις με εξισώσεις \(x_1=10\,\text{ημ}\,50t\) και \(x_2=4\,\text{ημ}\,50t\) (πλάτη σε cm), στην ίδια διεύθυνση, γύρω από το ίδιο σημείο. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ίδια φάση (και οι δύο \(\text{ημ}\,50t\)) — τα πλάτη προστίθενται απευθείας, χωρίς αλλαγή στη μορφή της εξίσωσης.

Λύση:

Αφού \(x_1\) και \(x_2\) έχουν την ίδια φάση (\(\text{ημ}\,50t\) και στις δύο), το άθροισμά τους είναι απλά \(x=(A_1+A_2)\,\text{ημ}\,50t\).
\(A=A_1+A_2=10+4=14\ \text{cm}=0{,}14\ \text{m}\).
\(x=0{,}14\,\text{ημ}\,50t\ \text{m}\) (S.I.).

Απάντηση: \(x=0{,}14\,\text{ημ}\,50t\) m (S.I.).

Πρόσεξε:

Όταν οι δύο ταλαντώσεις είναι ήδη γραμμένες με το ΙΔΙΟ όρισμα ημιτόνου, η σύνθεση είναι απλή πρόσθεση πλατών — δε χρειάζεται ο γενικός τύπος.

Άσκηση 1.35 (σελ. 37)

Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλαντώσεις με εξισώσεις \(x_1=8\,\text{ημ}\,50\pi t\) και \(x_2=6\,\text{ημ}(50\pi t-\pi)\) (πλάτη σε cm), στην ίδια διεύθυνση, γύρω από το ίδιο σημείο. Να γράψετε τις σχέσεις της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του σώματος σε συνάρτηση με τον χρόνο και να υπολογίσετε την περίοδο της ταλάντωσής του.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Διαφορά φάσης \(180^\circ\) ⟹ \(A=|A_1-A_2|\), με φάση ίδια με αυτήν της μεγαλύτερης ταλάντωσης (\(x_1\)). Στη συνέχεια εφαρμόζονται οι σχέσεις ΑΑΤ για \(\upsilon,a\) και \(T\).

Λύση:

\(\phi=180^\circ \Rightarrow A=|A_1-A_2|=|8-6|=2\ \text{cm}=0{,}02\ \text{m}\), με φάση ίδια με την \(x_1\) (τη μεγαλύτερη): \(x=0{,}02\,\text{ημ}\,50\pi t\ \text{m}\).
\(\omega=50\pi\ \text{rad/s}\), άρα \(\upsilon_{\max}=\omega A=50\pi\times0{,}02=\pi\ \text{m/s}\approx3{,}14\ \text{m/s}\) και \(a_{\max}=\omega^2A=(50\pi)^2\times0{,}02\approx493\ \text{m/s}^2\).
\(\upsilon=\pi\,\text{συν}\,50\pi t\ \text{m/s}\) και \(a=-493\,\text{ημ}\,50\pi t\ \text{m/s}^2\) (S.I.).
\(T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{50\pi}=0{,}04\ \text{s}\).

Απάντηση: \(\upsilon=3{,}14\,\text{συν}\,50\pi t\) m/s, \(a=-493\,\text{ημ}\,50\pi t\) m/s² (S.I.), \(T=0{,}04\ \text{s}\).

Πρόσεξε:

Η προκύπτουσα ταλάντωση έχει την ΙΔΙΑ γωνιακή συχνότητα \(\omega=50\pi\) με τις επιμέρους — άλλαξε μόνο το πλάτος.

Άσκηση 1.36 (σελ. 37)

Ένας παρατηρητής ακούει ταυτόχρονα δύο διαπασών, με συχνότητες \(f_1=2500\ \text{Hz}\) και \(f_2=2500{,}5\ \text{Hz}\), και αντιλαμβάνεται έναν ήχο που περιοδικά «σβήνει» και «δυναμώνει» (διακρότημα). Ποιος είναι ο χρόνος ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς της έντασης του ήχου;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ο χρόνος ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς του πλάτους ισούται με την περίοδο διακροτημάτων \(T_\delta=1/|f_1-f_2|\).

Λύση:

\(|f_1-f_2|=|2500-2500{,}5|=0{,}5\ \text{Hz}\).
\(T_\delta=\dfrac{1}{|f_1-f_2|}=\dfrac{1}{0{,}5}=2\ \text{s}\).

Απάντηση: \(T_\delta=2\ \text{s}\).

Πρόσεξε:

Ο χρόνος ανάμεσα σε ΔΙΑΔΟΧΙΚΟΥΣ μηδενισμούς είναι η ΠΛΗΡΗΣ περίοδος διακροτημάτων \(T_\delta=1/|f_1-f_2|\), όχι το μισό της.

Άσκηση 1.45 (σελ. 38)

Σώμα μάζας \(m=2\ \text{kg}\) εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλαντώσεις της ίδιας διεύθυνσης γύρω από το ίδιο σημείο, με εξισώσεις \(x_1=10\,\text{ημ}\,50\pi t\) και \(x_2=5\,\text{ημ}(50\pi t-\pi)\) (πλάτη σε cm). α) Ποια είναι η σταθερά \(D\) της αρμονικής ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα; β) Ποια είναι η ενέργεια της ταλάντωσης; γ) Ποιο είναι το μέτρο της ταχύτητας του σώματος όταν η απομάκρυνσή του είναι \(x=4\ \text{cm}\); Δίνεται \(\pi^2\approx10\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Πρώτα βρίσκουμε το συνολικό πλάτος (διαφορά φάσης 180°), μετά \(D=m\omega^2\) (με την προσέγγιση \(\pi^2\approx10\)), μετά \(E=\frac12DA^2\), και τέλος την ταχύτητα με την ενεργειακή σχέση \(\upsilon=\omega\sqrt{A^2-x^2}\) (χρησιμοποιώντας συνεπώς την ίδια προσέγγιση).

Λύση:

Διαφορά φάσης \(180^\circ \Rightarrow A=|A_1-A_2|=|10-5|=5\ \text{cm}=0{,}05\ \text{m}\).
\(\omega=50\pi\ \text{rad/s}\), οπότε \(D=m\omega^2=2\times(50\pi)^2=2\times2500\pi^2=5000\pi^2\). Με \(\pi^2\approx10\): \(D=5000\times10=5\times10^4\ \text{N/m}\).
\(E=\dfrac12DA^2=\dfrac12\times5\times10^4\times(0{,}05)^2=\dfrac12\times5\times10^4\times0{,}0025=62{,}5\ \text{J}\).
Ενεργειακά, στη θέση \(x=0{,}04\ \text{m}\): \(U=\dfrac12Dx^2=\dfrac12\times5\times10^4\times0{,}0016=40\ \text{J}\), άρα \(K=E-U=62{,}5-40=22{,}5\ \text{J}\).
\(\upsilon=\sqrt{2K/m}=\sqrt{2\times22{,}5/2}=\sqrt{22{,}5}=\sqrt{9\times2{,}5}=3\sqrt{2{,}5}\ \text{m/s}\approx4{,}74\ \text{m/s}\).

Απάντηση: α) \(D=5\times10^4\ \text{N/m}\) β) \(E=62{,}5\ \text{J}\) γ) \(\upsilon=3\sqrt{2{,}5}\ \text{m/s}\approx4{,}74\ \text{m/s}\).

Πρόσεξε:

Χρησιμοποιήστε ΣΥΝΕΠΩΣ την προσέγγιση \(\pi^2\approx10\) σε ΟΛΟΥΣ τους υπολογισμούς (D, E, και τελικά υ) — αν χρησιμοποιήσετε την ακριβή τιμή του \(\pi\) σε κάποιο ενδιάμεσο βήμα, το τελικό αποτέλεσμα αποκλίνει ελαφρώς από το \(3\sqrt{2{,}5}\).

Προηγούμενο Στοιχείο

Επιστροφή στην Ενότητα

Επόμενο Στοιχείο