Κεφάλαιο 2.5 – Στάσιμα Κύματα (σελ. 76-86) – Λύσεις

Κεφάλαιο 2.5 - Στάσιμα Κύματα (σελ. 76-86) — Λύσεις - Απαντήσεις

Άσκηση 2.8 (σελ. 76)

Συμπληρώστε τα κενά: Στάσιμο κύμα ονομάζεται το αποτέλεσμα της συμβολής δύο κυμάτων με ίδιο πλάτος και ίδια συχνότητα που διαδίδονται στο ελαστικό μέσο σε ....... κατευθύνσεις. Το στάσιμο κύμα δεν είναι κύμα αλλά μια ιδιόμορφη ταλάντωση του μέσου. Κατά τη δημιουργία στάσιμου κύματος υπάρχουν σημεία που ....... και ονομάζονται δεσμοί και σημεία που ταλαντώνονται με ....... και ονομάζονται ....... Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών είναι .......

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ανάκληση του ορισμού και των βασικών χαρακτηριστικών του στάσιμου κύματος από τη θεωρία.

Λύση:

1. Αντίθετες κατευθύνσεις (τα δύο κύματα διαδίδονται αντίρροπα).
2. Τα σημεία που παραμένουν διαρκώς ακίνητα ονομάζονται δεσμοί.
3. Τα σημεία που ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος ονομάζονται κοιλίες.
4. Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών είναι ίση με λ/2 (το μισό μήκος κύματος των συμβαλλόντων κυμάτων).

Απάντηση: ...αντίθετες κατευθύνσεις... ...παραμένουν ακίνητα (δεσμοί)... ...μέγιστο πλάτος... ...κοιλίες... Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών είναι λ/2.

Άσκηση 2.9 (σελ. 77)

Οι εξισώσεις (α) y=5συν4x·ημ10t, (β) y=2συν2x·ημ20t, (γ) y=1συν8x·ημ5t περιγράφουν στάσιμα κύματα (x,y σε cm, t σε s). 1) Σε ποιο η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών είναι μεγαλύτερη; 2) Σε ποια περίπτωση η μέγιστη ταχύτητα των σωματίων στις κοιλίες έχει μεγαλύτερη τιμή;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Συγκρίνοντας με τη γενική μορφή y=2A·συν(2πx/λ)·ημ(2πt/T), ο συντελεστής του x είναι 2π/λ και του t είναι 2π/T=ω. Η απόσταση διαδοχικών δεσμών είναι λ/2 (μεγαλύτερη για μικρότερο συντελεστή του x). Στις κοιλίες το πλάτος ταλάντωσης είναι 2Α, άρα η μέγιστη ταχύτητα εκεί είναι (2A)ω.

Λύση:

1. (α): 2π/λ=4 ⟹ λ=π/2 cm. Απόσταση δεσμών λ/2=π/4≈0,785 cm. 2A=5cm, ω=10 rad/s ⟹ υmax,κοιλίας=2A·ω=50 cm/s.
2. (β): 2π/λ=2 ⟹ λ=π cm. Απόσταση δεσμών λ/2=π/2≈1,571 cm. 2A=2cm, ω=20 ⟹ υmax,κοιλίας=2·20=40 cm/s.
3. (γ): 2π/λ=8 ⟹ λ=π/4 cm. Απόσταση δεσμών λ/2=π/8≈0,393 cm. 2A=1cm, ω=5 ⟹ υmax,κοιλίας=1·5=5 cm/s.
4. Συγκρίνοντας τις αποστάσεις δεσμών (π/4, π/2, π/8): η μεγαλύτερη είναι στην περίπτωση (β).
5. Συγκρίνοντας τις μέγιστες ταχύτητες στις κοιλίες (50, 40, 5 cm/s): η μεγαλύτερη είναι στην περίπτωση (α).

Απάντηση: 1) Μεγαλύτερη απόσταση διαδοχικών δεσμών έχει η περίπτωση (β) (λ/2=π/2 cm). 2) Μεγαλύτερη μέγιστη ταχύτητα στις κοιλίες έχει η περίπτωση (α) (υmax=50 cm/s).

Άσκηση 2.11 (σελ. 77)

Το σχήμα 2.47 δείχνει στιγμιότυπο στάσιμου κύματος σε χορδή στερεωμένη στα δύο άκρα, με σημεία Α,Γ,Ε στις κορυφές/κοιλώματα δύο διαδοχικών λοβών και Β,Δ,Ζ στη γραμμή ισορροπίας. α) Ποια σημεία αντιστοιχούν σε δεσμούς και ποια σε κοιλίες; β) Πόσο διαφέρουν οι φάσεις των Α και Γ; γ) Πόσο διαφέρουν οι φάσεις των Α και Ε; δ) Αν το μήκος κύματος των συμβαλλόντων κυμάτων είναι λ, ποια η οριζόντια απόσταση των Α και Β;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Στο στάσιμο κύμα, οι κοιλίες βρίσκονται στα σημεία μέγιστης απομάκρυνσης (κορυφές/κοιλώματα λοβών) και οι δεσμοί στα σημεία μηδενικής απομάκρυνσης (διελεύσεις από τη γραμμή ισορροπίας, καθώς και τα ακλόνητα άκρα). Σημεία στον ίδιο λοβό ταλαντώνονται σε φάση· σε διαδοχικούς λοβούς, σε αντίθεση φάσης (διαφορά π). Δύο σημεία-κορυφές διαδοχικών λοβών (όπως δύο διαδοχικές κοιλίες) απέχουν λ/2.

Λύση:

1. Τα σημεία Β, Δ, Ζ (πάνω στη γραμμή ισορροπίας, όπου η ταλάντωση μηδενίζεται πάντα) είναι δεσμοί. Τα σημεία Α, Γ, Ε (στα ακρότατα των λοβών, μέγιστο πλάτος ταλάντωσης) είναι κοιλίες.
2. Τα Α (κορυφή πρώτου λοβού) και Γ (κοίλωμα, δηλαδή αντίθετη πλευρά, ίδιου λοβού) βρίσκονται σε αντίθετες πλευρές της γραμμής ισορροπίας μέσα στον ίδιο λοβό — κινούνται πάντα αντίθετα, άρα διαφέρουν κατά φάση π.
3. Τα Α και Ε είναι κορυφές δύο διαδοχικών λοβών (και οι δύο πάνω από τη γραμμή ισορροπίας) — ταλαντώνονται πάντα σε φάση, άρα η διαφορά φάσης είναι 0 (ή, ισοδύναμα, 2π).
4. Οι κοιλίες Α και Ε (δύο διαδοχικές κοιλίες, αφού βρίσκονται σε διαδοχικούς λοβούς) απέχουν οριζόντια απόσταση λ/2 — αλλά η ερώτηση ζητά την απόσταση Α-Β (κοιλία-γειτονικός δεσμός), η οποία είναι το ένα τέταρτο: λ/4.

Απάντηση: α) Δεσμοί: Β, Δ, Ζ. Κοιλίες: Α, Γ, Ε. β) Τα Α, Γ διαφέρουν κατά φάση π. γ) Τα Α, Ε είναι σε φάση (διαφορά 0). δ) Η οριζόντια απόσταση Α-Β είναι λ/4.

Πρόσεξε:

• Σημεία στον ΙΔΙΟ λοβό (ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς δεσμούς) έχουν πάντα αντίθετη φορά κίνησης ως προς την ισορροπία εκατέρωθεν — αλλά ΟΛΑ τα σημεία ενός λοβού ταλαντώνονται με την ΙΔΙΑ φάση μεταξύ τους (μόνο το πλάτος διαφέρει)· η αντίθεση φάσης π εμφανίζεται ανάμεσα σε γειτονικούς λοβούς. Εδώ το Α και το Γ περιγράφονται σε αντίθετες πλευρές της ισορροπίας του ίδιου λοβού — δηλαδή διαφορετικές χρονικές φάσεις της ταλάντωσης εκείνου του σημείου, ερμηνεύονται ως π μόνο αν αναφέρονται σε δύο διαφορετικές ακρότατες θέσεις.

Άσκηση 2.12 (σελ. 77)

Σε στάσιμο κύμα, τα σημεία που βρίσκονται μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών έχουν α) την ίδια φάση. β) φάσεις που διαφέρουν κατά π/2. γ) φάσεις που διαφέρουν κατά π. δ) φάσεις που διαφέρουν κατά 2π. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Όλα τα σημεία ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς δεσμούς (δηλαδή μέσα στον ίδιο λοβό) περνούν ταυτόχρονα από το μηδέν και φτάνουν ταυτόχρονα στο ακρότατό τους (μόνο με διαφορετικό πλάτος το καθένα) — άρα ταλαντώνονται με την ίδια φάση.

Λύση:

1. Η εξίσωση στάσιμου κύματος είναι y=A'(x)ημ(ωt), όπου το A'(x) καθορίζει μόνο το πλάτος κάθε σημείου.
2. Όλα τα σημεία ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς δεσμούς έχουν το ίδιο πρόσημο για το A'(x) (δεν αλλάζει πρόσημο μέσα σε έναν λοβό) — άρα ταλαντώνονται με το ίδιο ημ(ωt), δηλαδή με την ίδια φάση, διαφέροντας μόνο στο πλάτος.

Απάντηση: Σωστή είναι η (α): έχουν την ίδια φάση.

Άσκηση 2.32 (σελ. 80)

Στάσιμο κύμα περιγράφεται από την εξίσωση y=0,5συν(πx/3)ημ40πt (x,y σε cm, t σε s). α) Να γραφούν οι εξισώσεις των δύο κυμάτων που συμβάλλουν. β) Πόσο απέχουν δύο διαδοχικοί δεσμοί; γ) Τι ταχύτητα έχει τη στιγμή t=9/8s σημείο που απέχει 1cm από τη θέση x=0; δ) Με τι ταχύτητα διαδίδονται τα συμβάλλοντα κύματα;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Συγκρίνουμε με τη γενική μορφή στάσιμου κύματος y=2A·συν(2πx/λ)·ημ(2πt/T), βρίσκουμε A, λ, T των συμβαλλόντων κυμάτων, και μετά εφαρμόζουμε τους τύπους δεσμών/κοιλιών, παραγώγιση για ταχύτητα, και υ=λf.

Λύση:

1. Συγκρίνοντας 0,5συν(πx/3)ημ40πt με 2A·συν(2πx/λ)·ημ(2πt/T): 2A=0,5 ⟹ A=0,25cm. 2π/λ=π/3 ⟹ λ=6cm. 2π/T=40π ⟹ T=1/20=0,05s.
2. α) Τα συμβάλλοντα κύματα: y1=Aημ2π(t/T-x/λ)=0,25ημ2π(20t-x/6), y2=Aημ2π(t/T+x/λ)=0,25ημ2π(20t+x/6) (x,y σε cm, t σε s).
3. β) Απόσταση διαδοχικών δεσμών = λ/2 = 3cm.
4. γ) y(x,t)=0,5συν(πx/3)ημ40πt. Στο x=1cm: συν(π/3)=0,5, άρα y=0,5×0,5×ημ40πt=0,25ημ40πt. Ταχύτητα: υ_y=dy/dt=0,25×40π·συν40πt=10π·συν40πt. Στο t=9/8s: 40π×9/8=45π. Το 45π=44π+π, και συν(44π+π)=συν(π)=-1 (αφού 44π είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π). Άρα υ_y=10π×(-1)=-10π≈-31,4 cm/s.
5. δ) Ταχύτητα συμβαλλόντων κυμάτων: υ=λf=λ/T=6cm/0,05s=120cm/s=1,2m/s.

Απάντηση: α) y1=0,25ημ2π(20t-x/6), y2=0,25ημ2π(20t+x/6) (cm,s). β) 3cm. γ) υ_y≈-31,4 cm/s. δ) υ=1,2 m/s.

Άσκηση 2.33 (σελ. 81)

Στιγμιότυπο στάσιμου κύματος (σχήμα 2.53), τη στιγμή όπου όλα τα σημεία του μέσου έχουν μηδενική ταχύτητα (άρα το στιγμιότυπο δείχνει απευθείας το «περίβλημα» πλάτους 2A· κορυφή y=4cm στο x=0, μηδενισμοί στο x=5,15,25cm). Τα συμβάλλοντα κύματα έχουν περίοδο T=2s. α) Σχεδιάστε το στιγμιότυπο μετά από 0,5s και μετά από 1s. β) Υπολογίστε το πλάτος ταλάντωσης σημείου στη θέση x=12,5cm.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Όταν όλα τα σημεία έχουν μηδενική ταχύτητα, βρίσκονται στο ακρότατο της ταλάντωσής τους — το στιγμιότυπο δείχνει ακριβώς τη συνάρτηση πλάτους A'(x)=2A·συν(2πx/λ). Από τις διαδοχικές μηδενικές τιμές (δεσμούς) στο σχήμα βρίσκουμε το λ, και μετά υπολογίζουμε το A'(12,5).

Λύση:

1. Από το σχήμα, διαδοχικοί δεσμοί (μηδενισμοί) στο x=5,15,25cm — απόσταση διαδοχικών δεσμών =10cm=λ/2 ⟹ λ=20cm. Το μέγιστο πλάτος στο x=0 είναι y=4cm=2A ⟹ A=2cm (πλάτος κάθε συμβάλλοντος κύματος).
2. α) Μετά από T/4=0,5s, όλα τα σημεία περνούν από τη θέση ισορροπίας (y=0 παντού — ευθεία γραμμή). Μετά από T/2=1s, το στιγμιότυπο επαναλαμβάνεται ανεστραμμένο (ίδια μορφή με το αρχικό, αλλά με αντίθετο πρόσημο απομάκρυνσης παντού).
3. β) A'(x)=2A·συν(2πx/λ)=4·συν(2π×12,5/20)=4·συν(1,25π)=4·συν(225°). συν(225°)=-√2/2. A'=4×(-√2/2)=-2√2 ⟹ |A'|=2√2 cm.

Απάντηση: α) Στα 0,5s το μέσο είναι στιγμιαία ευθύγραμμο (y=0 παντού)· στο 1s το στιγμιότυπο είναι το ανεστραμμένο (κατοπτρικό ως προς τον άξονα) του αρχικού. β) Το πλάτος στο x=12,5cm είναι 2√2 cm (≈2,83 cm).

Άσκηση 2.35 (σελ. 81)

Δύο κύματα διαδίδονται ταυτόχρονα στο ίδιο σχοινί: y1=5ημπ(5t-x) και y2=5ημπ(5t+x) (y,x σε cm, t σε s). α) Υπολογίστε την ταχύτητα διάδοσης. β) Βρείτε τη θέση τριών σημείων που παραμένουν ακίνητα και τριών με μέγιστο πλάτος. γ) Ποιο είναι το μέγιστο πλάτος της ταλάντωσης;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Δύο όμοιου πλάτους/συχνότητας κύματα αντίθετης φοράς δημιουργούν στάσιμο κύμα. Συγκρίνουμε με τη γενική μορφή ώστε να βρούμε T, λ, και εφαρμόζουμε τους τύπους δεσμών/κοιλιών.

Λύση:

1. Γράφοντας y1=5ημ(5πt-πx): ω=5π rad/s ⟹ T=2π/5π=0,4s. k=π rad/cm ⟹ λ=2π/π=2cm.
2. α) υ=ω/k=5π/π=5 cm/s.
3. β) Δεσμοί (ακίνητα σημεία): x=(2K+1)λ/4=(2K+1)×0,5cm — π.χ. 0,5cm, 1,5cm, 2,5cm,... Κοιλίες (μέγιστο πλάτος): x=Kλ/2=K×1cm — π.χ. 0cm, 1cm, 2cm,...
4. γ) Μέγιστο πλάτος στις κοιλίες: A'max=2A=2×5=10cm.

Απάντηση: α) υ=5 cm/s. β) Ακίνητα σημεία (δεσμοί): x=0,5cm, 1,5cm, 2,5cm,... Μέγιστο πλάτος (κοιλίες): x=0, 1cm, 2cm,... γ) A'max=10cm.

Άσκηση 2.36 (σελ. 81)

Δύο κύματα ίσου πλάτους, συχνότητας 60Hz, διαδίδονται αντίθετα σε χορδή με στερεωμένα άκρα (ακλόνητα σημεία). Η ταχύτητα διάδοσης είναι 120m/s. Το στάσιμο κύμα που δημιουργείται έχει τρεις δεσμούς. Βρείτε το μήκος της χορδής.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Πρώτα υπολογίζουμε το μήκος κύματος από υ=λf. Με στερεωμένα άκρα, τα δύο άκρα είναι υποχρεωτικά δεσμοί· τρεις συνολικά δεσμοί σημαίνει δύο ενδιάμεσα διαστήματα (λοβούς), άρα το μήκος της χορδής είναι δύο φορές η απόσταση διαδοχικών δεσμών (λ/2).

Λύση:

1. λ=υ/f=120/60=2m.
2. Τρεις δεσμοί (και τα δύο άκρα είναι δεσμοί) σημαίνει ότι υπάρχουν 2 διαστήματα ανάμεσα σε διαδοχικούς δεσμούς, το καθένα μήκους λ/2.
3. L=2×(λ/2)=λ=2m.

Απάντηση: Το μήκος της χορδής είναι L=2m.

Άσκηση 2.54 (σελ. 86)

Σε γραμμικό ελαστικό μέσο (άξονας x'x) έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα y=8συν(πx/2)·ημ10πt (x,y σε cm, t σε s). α) Ποια η ταχύτητα των κυμάτων η συμβολή των οποίων έδωσε το στάσιμο κύμα; β) Ποια, τη στιγμή t=1/40s, η απομάκρυνση και η ταχύτητα του σημείου Μ στη θέση x_M=0,5cm; γ) Πόσοι δεσμοί υπάρχουν μεταξύ των σημείων Α (x_A=-4cm) και Β (x_B=10cm);

Σκέψη / Μεθοδολογία: Συγκρίνουμε με τη γενική μορφή στάσιμου κύματος y=2A·συν(2πx/λ)·ημ(2πt/T) για να βρούμε A,λ,T,f, μετά υπολογίζουμε υ=λf. Για την ταχύτητα του σημείου Μ, παραγωγίζουμε ως προς t στη σταθερή θέση x_M. Για τους δεσμούς, χρησιμοποιούμε x=(2K+1)λ/4 και μετράμε πόσες τέτοιες τιμές βρίσκονται στο διάστημα (-4,10).

Λύση:

1. Συγκρίνοντας 8συν(πx/2)ημ10πt με 2A·συν(2πx/λ)·ημ(2πt/T): 2A=8 ⟹ A=4cm. 2π/λ=π/2 ⟹ λ=4cm. 2π/T=10π ⟹ T=0,2s ⟹ f=5Hz.
2. α) υ=λf=4×5=20 cm/s.
3. β) Στο x_M=0,5cm: συν(π×0,5/2)=συν(π/4)=√2/2. y_M(t)=8×(√2/2)×ημ10πt=4√2·ημ10πt. Στο t=1/40s: 10π/40=π/4. y_M=4√2·ημ(π/4)=4√2×(√2/2)=4cm.
4. Ταχύτητα: υ_M=dy_M/dt=4√2×10π·συν10πt=40√2π·συν10πt. Στο t=1/40: συν(π/4)=√2/2. υ_M=40√2π×(√2/2)=40π cm/s.
5. γ) Δεσμοί στις θέσεις x=(2K+1)λ/4=(2K+1)×1cm — δηλαδή στους περιττούς ακέραιους: ...,-3,-1,1,3,5,7,9,11,... Στο ανοιχτό διάστημα (-4,10) βρίσκονται οι τιμές -3,-1,1,3,5,7,9 — συνολικά 7 δεσμοί.

Απάντηση: α) υ=20 cm/s. β) y_M=4cm, υ_M=40π cm/s (≈125,7 cm/s). γ) Υπάρχουν επτά (7) δεσμοί μεταξύ Α και Β.