Πειραματική δραστηριότητα «Φωτεινός πίδακας»: Με ισχυρό φακό και διαφανές πλαστικό ποτήρι με μικρή τρύπα (διάμετρος ~3mm) κοντά στη βάση του πλευρικού τοιχώματος, γεμίστε το ποτήρι με νερό και φωτίστε το όπως στο σχήμα. Σε σκοτεινό δωμάτιο, παρατηρήστε ότι το φως φαίνεται να «παγιδεύεται» μέσα στον πίδακα του νερού που εκτοξεύεται. Εξηγήστε το φαινόμενο.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το φαινόμενο οφείλεται στην ολική ανάκλαση: το φως που εισέρχεται στο νερό μέσα από την οπή, καθώς ο πίδακας νερού καμπυλώνεται προς τα κάτω λόγω βαρύτητας, προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια νερού-αέρα (το εξωτερικό τοίχωμα του πίδακα) με γωνία μεγαλύτερη της κρίσιμης, άρα ανακλάται ολικά στο εσωτερικό του νερού αντί να διαφύγει προς τον αέρα.

Λύση:

Το φως που εισέρχεται στην τρύπα διαδίδεται μέσα στον πίδακα νερού που εξέρχεται.
Καθώς ο πίδακας καμπυλώνεται προς τα κάτω (τροχιά βλήματος λόγω βαρύτητας), το φως που προσπίπτει στην εσωτερική επιφάνεια νερού-αέρα του πίδακα το κάνει συνήθως με γωνία πρόσπτωσης μεγαλύτερη από την κρίσιμη γωνία νερού-αέρα (≈49°).
Άρα το φως υφίσταται ολική ανάκλαση στο εσωτερικό τοίχωμα του πίδακα, παραμένοντας «παγιδευμένο» μέσα σε αυτόν — ακολουθώντας την καμπύλη πορεία του νερού, με τρόπο ανάλογο των οπτικών ινών, μέχρι η γωνία πρόσπτωσης να γίνει μικρότερη της κρίσιμης (όπου το φως τελικά διαφεύγει).

Απάντηση: Το φαινόμενο οφείλεται στην ολική ανάκλαση του φωτός στην εσωτερική επιφάνεια του πίδακα νερού-αέρα: όσο η γωνία πρόσπτωσης στο τοίχωμα του πίδακα παραμένει μεγαλύτερη από την κρίσιμη γωνία νερού-αέρα, το φως παγιδεύεται μέσα στο νερό, ακριβώς όπως σε μια οπτική ίνα.

Άσκηση 2.27 (σελ. 79)

Τρεις διαφανείς οριζόντιες πλάκες μεγάλων διαστάσεων βρίσκονται η μία πάνω στην άλλη, στον αέρα (σχήμα 2.51): η πάνω με n=1,3, η μεσαία με n=1,6, η κάτω με n=1,5. Ακτίνες μονοχρωματικού φωτός εισέρχονται πλάγια στις πλάκες. Σε ποια από τις πλάκες είναι δυνατό το φως, μετά από διαδοχικές ολικές ανακλάσεις, να βγει από τη δεξιά πλευρά;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ολική ανάκλαση σε μια οριζόντια επιφάνεια απαιτεί το φως να περνάει από πυκνότερο (μεγαλύτερο n) σε αραιότερο (μικρότερο n) μέσο με γωνία πρόσπτωσης πάνω από την κρίσιμη. Για να «παγιδευτεί» το φως μέσα σε μια πλάκα και να διαδοθεί οριζόντια (διαδοχικές ολικές ανακλάσεις πάνω-κάτω) μέχρι να βγει από τη δεξιά πλευρά, η πλάκα πρέπει να έχει τον ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟ δείκτη διάθλασης σε σχέση με τα δύο γειτονικά της μέσα (άνω και κάτω), ώστε να υφίσταται ολική ανάκλαση και στις δύο επιφάνειές της.

Λύση:

Η πάνω πλάκα (n=1,3) γειτνιάζει από πάνω με αέρα (n≈1) και από κάτω με τη μεσαία πλάκα (n=1,6>1,3) — στην κάτω επιφάνειά της το φως περνά από αραιότερο σε πυκνότερο μέσο, όπου ΔΕΝ μπορεί να συμβεί ολική ανάκλαση.
Η κάτω πλάκα (n=1,5) γειτνιάζει από πάνω με τη μεσαία (n=1,6>1,5) — στην πάνω επιφάνειά της επίσης δεν μπορεί να συμβεί ολική ανάκλαση (πάει σε πυκνότερο μέσο).
Η μεσαία πλάκα (n=1,6) έχει τον ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟ δείκτη διάθλασης από τις τρεις, άρα σε ΑΜΦΟΤΕΡΕΣ τις διαχωριστικές της επιφάνειες (με την πάνω πλάκα n=1,3 και με την κάτω πλάκα n=1,5) το φως περνά από πυκνότερο σε αραιότερο μέσο — δυνατή η ολική ανάκλαση και στις δύο, οπότε το φως μπορεί να παγιδευτεί και να διαδοθεί οριζόντια μέχρι τη δεξιά άκρη.

Απάντηση: Το φως μπορεί, μετά από διαδοχικές ολικές ανακλάσεις, να βγει από τη δεξιά πλευρά της μεσαίας πλάκας (n=1,6) — αυτής με τον μεγαλύτερο δείκτη διάθλασης από τις τρεις, οπότε υφίσταται ολική ανάκλαση και στις δύο διαχωριστικές της επιφάνειες.

Άσκηση 2.40 (σελ. 82)

Μέσα σε υγρό άγνωστου δείκτη διάθλασης βυθίζουμε γυάλινη πλάκα. Λεπτή μονοχρωματική δέσμη πέφτει στην πλάκα με γωνία πρόσπτωσης θα. Μεταβάλλοντας τη γωνία πρόσπτωσης, παρατηρούμε ότι όταν είναι μεγαλύτερη των 60° η δέσμη υφίσταται ολική ανάκλαση στη γυάλινη πλάκα. Αν ο δείκτης διάθλασης του γυαλιού είναι n_b=1,5, να βρεθεί ο δείκτης διάθλασης του υγρού.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Για να συμβεί ολική ανάκλαση στη διαχωριστική επιφάνεια υγρού-γυαλιού, το φως πρέπει να ταξιδεύει από το πυκνότερο (υγρό, n_a) στο αραιότερο (γυαλί, n_b) μέσο, δηλαδή n_a>n_b. Η δοθείσα γωνία 60° είναι η κρίσιμη γωνία: ημθ_crit=n_b/n_a.

Λύση:

ημθ_crit=n_b/n_a ⟹ ημ60°=1,5/n_a ⟹ n_a=1,5/ημ60°=1,5/(√3/2)=1,5×2/√3=3/√3=√3.

Απάντηση: Ο δείκτης διάθλασης του υγρού είναι n_a=√3≈1,73.

Άσκηση 2.44 (σελ. 83)

Μονοχρωματική δέσμη φωτός πέφτει κάθετα στην κατακόρυφη επιφάνεια ΑΒ πρίσματος με δείκτη διάθλασης n=√2 (σχήμα 2.54: τρίγωνο ΑΒΓ, ΑΒ κατακόρυφη, ΑΓ οριζόντια βάση, ΒΓ πλάγια με γωνία φ στην κορυφή Γ ως προς τη βάση). Υπολογίστε τη μεγαλύτερη τιμή της γωνίας φ για την οποία η δέσμη υφίσταται ολική ανάκλαση στην επιφάνεια ΒΓ.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η δέσμη προσπίπτει κάθετα στην ΑΒ, άρα εισέρχεται χωρίς εκτροπή και διαδίδεται οριζόντια μέσα στο πρίσμα μέχρι την επιφάνεια ΒΓ. Επειδή η ΒΓ σχηματίζει γωνία φ με τη βάση ΑΓ (η οποία είναι παράλληλη στην οριζόντια ακτίνα), η γωνία πρόσπτωσης της ακτίνας πάνω στην κάθετο της ΒΓ είναι 90°-φ (γεωμετρική σχέση συμπληρωματικών γωνιών σε ορθογώνιο τρίγωνο). Για ολική ανάκλαση, αυτή η γωνία πρέπει να είναι τουλάχιστον ίση με την κρίσιμη γωνία.

Λύση:

Κρίσιμη γωνία για n=√2 (γυαλί-αέρα, n_b=1): ημθ_crit=1/n=1/√2 ⟹ θ_crit=45°.
Η ακτίνα, μετά την απρόσκοπτη είσοδο από την ΑΒ, προσπίπτει στην ΒΓ με γωνία πρόσπτωσης (ως προς την κάθετο στην ΒΓ) ίση με 90°-φ, λόγω της γεωνιακής σχέσης ανάμεσα στην οριζόντια ακτίνα και την κεκλιμένη επιφάνεια ΒΓ.
Για ολική ανάκλαση: 90°-φ≥θ_crit=45° ⟹ φ≤45°.
Η μεγαλύτερη τιμή του φ για την οποία εξακολουθεί να συμβαίνει ολική ανάκλαση είναι επομένως φ_max=45°.

Απάντηση: φ_max=45°.

Άσκηση 2.45 (σελ. 83)

Μονοχρωματική δέσμη προσπίπτει στο σημείο Α μιας γυάλινης πλάκας (στον αέρα) με γωνία πρόσπτωσης 60° (σχήμα 2.55). Ποιος πρέπει να είναι ο ελάχιστος δείκτης διάθλασης του γυαλιού ώστε η δέσμη να υποστεί ολική ανάκλαση στο σημείο Β (στην κάθετη πλευρά της πλάκας);

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η ακτίνα διαθλάται στο Α (αέρας→γυαλί, γωνία διάθλασης θ2 με ημ60°=n·ημθ2), μετά διαδίδεται μέσα στην πλάκα μέχρι το Β, όπου προσπίπτει στην κάθετη πλευρά με γωνία 90°-θ2 (συμπληρωματική, αφού οι δύο επιφάνειες -πάνω οριζόντια, πλάγια κάθετη- είναι κάθετες μεταξύ τους). Για οριακή (ελάχιστη) ολική ανάκλαση στο Β, αυτή η γωνία ισούται με την κρίσιμη γωνία: ημ(90°-θ2)=συνθ2=1/n.

Λύση:

Στο Α: ημ60°=n·ημθ2 ⟹ ημθ2=(√3/2)/n.
Οριακή συνθήκη ολικής ανάκλασης στο Β: συνθ2=1/n (η γωνία πρόσπτωσης στο Β, 90°-θ2, ισούται με την κρίσιμη γωνία, όπου ημ(90°-θ2)=συνθ2=1/n).
Χρησιμοποιώντας ημ²θ2+συν²θ2=1: (3/4)/n²+1/n²=1 ⟹ (3/4+1)/n²=1 ⟹ (7/4)/n²=1 ⟹ n²=7/4 ⟹ n=√7/2≈1,3229≈1,32.

Απάντηση: Ο ελάχιστος δείκτης διάθλασης είναι n_min=√7/2≈1,32.

Άσκηση 2.48 (σελ. 84)

Σημειακή πηγή μονοχρωματικού φωτός βρίσκεται σε βάθος h μέσα σε υγρό με δείκτη διάθλασης n. Να υπολογίσετε την ακτίνα του φωτεινού δίσκου που βλέπει, στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού, παρατηρητής έξω από το υγρό.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Μόνο οι ακτίνες που προσπίπτουν στην επιφάνεια με γωνία μικρότερη της κρίσιμης διαφεύγουν προς τον αέρα· πέρα από την κρίσιμη γωνία συμβαίνει ολική ανάκλαση. Ο «φωτεινός δίσκος» που βλέπει ο εξωτερικός παρατηρητής είναι ακριβώς ο κύκλος διαφυγής, με ακτίνα r=h·tanθ_crit (ο κώνος διαφυγής με κορυφή στην πηγή, γωνία ημίανοιξης θ_crit).

Λύση:

ημθ_crit=1/n (κρίσιμη γωνία υγρού-αέρα, με n_a=n, n_b=1).
συνθ_crit=√(1-ημ²θ_crit)=√(1-1/n²)=√(n²-1)/n.
tanθ_crit=ημθ_crit/συνθ_crit=(1/n)/(√(n²-1)/n)=1/√(n²-1).
Ακτίνα φωτεινού δίσκου: r=h·tanθ_crit=h/√(n²-1).

Απάντηση: r=h/√(n²-1).

Προηγούμενο Στοιχείο

Επιστροφή στην Ενότητα

Επόμενο Στοιχείο