Κεφάλαιο 3.2 – Υγρά σε Ισορροπία (σελ. 102-104) – Λύσεις

Κεφάλαιο 3.2 - Υγρά σε Ισορροπία (σελ. 102-104) — Λύσεις - Απαντήσεις

Άσκηση 3.1 (σελ. 102)

Συμπληρώστε τα κενά: Ασυμπίεστο χαρακτηρίζεται ένα ρευστό στο οποίο η .................... του δε μεταβάλλεται όταν μεταβάλλεται η .................... του. Στην πράξη ασυμπίεστα ρευστά θεωρούμε τα ....................

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ανάκληση του ορισμού του ασυμπίεστου ρευστού από τη θεωρία (§3.1/§3.3).

Λύση:

1. Ασυμπίεστο ρευστό είναι αυτό του οποίου η πυκνότητα παραμένει σταθερή, ανεξάρτητα από τις μεταβολές της πίεσής του.
2. Στην πράξη, τα υγρά θεωρούνται (πρακτικά) ασυμπίεστα ρευστά.

Απάντηση: ...η πυκνότητα... ...πίεση... ...τα υγρά.

Άσκηση 3.2 (σελ. 102)

Για ποιο λόγο τα φράγματα στις τεχνητές λίμνες κατασκευάζονται σχετικά λεπτά στην κορυφή τους και πολύ φαρδιά στη βάση τους;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η υδροστατική πίεση p=ρgh αυξάνεται γραμμικά με το βάθος h. Άρα η δύναμη που δέχεται το φράγμα από το νερό είναι πολύ μεγαλύτερη κοντά στη βάση παρά κοντά στην κορυφή.

Λύση:

1. Στην κορυφή του φράγματος το βάθος του νερού είναι μικρό, άρα η υδροστατική πίεση p=ρgh (και συνεπώς η δύναμη ανά μονάδα επιφάνειας που δέχεται το τοίχωμα) είναι μικρή — αρκεί λεπτό τοίχωμα.
2. Στη βάση του φράγματος το βάθος h είναι μέγιστο, άρα η πίεση είναι μέγιστη· το τοίχωμα πρέπει να είναι πολύ φαρδύ (ανθεκτικό) ώστε να αντέχει τη μεγάλη ωστική δύναμη του νερού χωρίς να καταρρεύσει ή να ανατραπεί.

Απάντηση: Το φράγμα κατασκευάζεται φαρδύ στη βάση διότι εκεί η υδροστατική πίεση (p=ρgh) είναι μέγιστη, λόγω του μεγαλύτερου βάθους h· στην κορυφή, όπου το βάθος και άρα η πίεση είναι μικρά, αρκεί λεπτότερο τοίχωμα.

Άσκηση 3.3 (σελ. 102)

Στο σχήμα 3.20 φαίνονται τέσσερα δοχεία διαφορετικού σχήματος που οι βάσεις τους έχουν το ίδιο εμβαδόν, γεμάτα με υγρό μέχρι το ίδιο ύψος. α) Ποιο δοχείο περιέχει περισσότερο υγρό; β) Συγκρίνετε τις πιέσεις στον πυθμένα των δοχείων.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ο όγκος υγρού εξαρτάται από το πραγματικό σχήμα (και άρα τον όγκο) κάθε δοχείου. Η πίεση στον πυθμένα δίνεται από p=ρgh, που εξαρτάται ΜΟΝΟ από το βάθος h και όχι από το σχήμα του δοχείου ή τον όγκο του υγρού που περιέχει (υδροστατικό παράδοξο).

Λύση:

1. α) Αφού οι βάσεις έχουν το ίδιο εμβαδόν και το υγρό φτάνει στο ίδιο ύψος, ο όγκος του υγρού εξαρτάται από το πώς μεταβάλλεται η διατομή καθ' ύψος. Στο σχήμα 3.20 το Γ πλαταίνει προς τα πάνω, άρα περιέχει το περισσότερο υγρό· το Β στενεύει προς τα πάνω και το Δ έχει στενό λαιμό, οπότε περιέχουν λιγότερο υγρό από το ορθογώνιο Α.
2. β) Η πίεση στον πυθμένα δίνεται από τον θεμελιώδη νόμο της υδροστατικής p=ρgh, που εξαρτάται αποκλειστικά από το βάθος h (το ύψος της στήλης υγρού) και όχι από το σχήμα του δοχείου, το εμβαδόν της διατομής ή τον συνολικό όγκο του υγρού.
3. Επειδή και τα τέσσερα δοχεία έχουν υγρό μέχρι το ίδιο ύψος h, η πίεση στον πυθμένα είναι ΙΔΙΑ και στα τέσσερα δοχεία, παρότι περιέχουν διαφορετική ποσότητα υγρού — αυτό είναι το γνωστό «υδροστατικό παράδοξο».

Απάντηση: α) Περισσότερο υγρό περιέχει το Γ (πλατύτερο προς τα πάνω)· τα Β και Δ περιέχουν λιγότερο από το ορθογώνιο Α. β) Η πίεση στον πυθμένα είναι ΙΔΙΑ και στα τέσσερα δοχεία, αφού εξαρτάται μόνο από το βάθος h (υδροστατικό παράδοξο).

Πρόσεξε:

• Το ερώτημα (β) είναι το παιδαγωγικά κρίσιμο σημείο της άσκησης: η πίεση στον πυθμένα δεν εξαρτάται από την ποσότητα του υγρού, μόνο από το βάθος.

Άσκηση 3.4 (σελ. 102)

Στο σχήμα 3.21 φαίνεται ένα υδραυλικό πιεστήριο (αρχή). Ασκούμε στο μικρό έμβολο δύναμη μέτρου F1. 1) Η πίεση στα σημεία A και B του υγρού θα αυξηθεί α) κατά το ίδιο ποσό β) περισσότερο στο A γ) περισσότερο στο B. 2) Το μέτρο της δύναμης F2 που θα ασκήσει το υγρό στο μεγάλο έμβολο θα είναι α) ίσο με F1 β) μεγαλύτερο από F1 γ) μικρότερο από F1. 3) Το έργο της F2 θα είναι α) ίσο με το έργο της F1 β) μεγαλύτερο από το έργο της F1 γ) μικρότερο από το έργο της F1. Επιλέξτε τις σωστές προτάσεις.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Εφαρμογή της αρχής του Pascal (η πίεση από εξωτερικό αίτιο μεταφέρεται αναλλοίωτη σε όλα τα σημεία του υγρού) και του θεωρήματος έργου-ενέργειας/διατήρησης ενέργειας σε ιδανικό (χωρίς απώλειες) υδραυλικό σύστημα.

Λύση:

1. 1. Κατά την αρχή του Pascal, η επιπλέον πίεση Δp που δημιουργεί η δύναμη F1 στο μικρό έμβολο μεταφέρεται αναλλοίωτη σε ΟΛΑ τα σημεία του υγρού, άρα και στα A και B — η πίεση αυξάνεται κατά το ΙΔΙΟ ποσό. Σωστή απάντηση: α).
2. 2. Αφού Δp=F1/A1=F2/A2 και το μεγάλο έμβολο έχει A2>A1, προκύπτει F2=F1·(A2/A1)>F1. Σωστή απάντηση: β).
3. 3. Επειδή το σύστημα είναι ιδανικό (χωρίς τριβές/απώλειες), ισχύει η διατήρηση της ενέργειας: το έργο που προσφέρουμε στο μικρό έμβολο ισούται με το έργο που παράγεται στο μεγάλο έμβολο. Ναι μεν F2>F1, αλλά το μεγάλο έμβολο μετατοπίζεται κατά μικρότερη απόσταση (αφού ο όγκος υγρού που μετατοπίζεται είναι ο ίδιος και στα δύο έμβολα: A1Δs1=A2Δs2), οπότε τα έργα (F×Δs) είναι ΙΣΑ. Σωστή απάντηση: α).

Απάντηση: 1) α) κατά το ίδιο ποσό. 2) β) μεγαλύτερο από F1. 3) α) ίσο με το έργο της F1.

Άσκηση 3.18 (σελ. 104)

Το μικρό έμβολο υδραυλικού ανυψωτήρα που χρησιμοποιείται για την ανύψωση αυτοκινήτων έχει διατομή εμβαδού 3 cm² ενώ το μεγάλο έχει διατομή εμβαδού 200 cm². Πόση δύναμη πρέπει να ασκηθεί στο μικρό έμβολο ώστε το μεγάλο να ανυψώσει ένα αυτοκίνητο βάρους 10000 N;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Εφαρμογή της αρχής του Pascal: F1/A1=F2/A2, όπου η ελάχιστη F2 που χρειάζεται για ανύψωση ισούται με το βάρος του αυτοκινήτου.

Λύση:

1. Για να ανυψωθεί το αυτοκίνητο, F2=w=10000 N.
2. Από την αρχή του Pascal: F1/A1=F2/A2 ⟹ F1=F2·(A1/A2)=10000×(3/200)=10000×0,015=150 N.

Απάντηση: Απαιτείται δύναμη F1=150 N στο μικρό έμβολο.