Σκέψη / Μεθοδολογία: Καθώς το νερό πέφτει ελεύθερα, επιταχύνεται λόγω βαρύτητας, άρα η ταχύτητά του αυξάνεται όσο κατεβαίνει. Η ροή είναι μόνιμη (η παροχή διατηρείται σταθερή κατά μήκος της φλέβας) — εφαρμόζεται η εξίσωση συνέχειας.

Λύση:

Καθώς το νερό πέφτει, βρίσκεται ουσιαστικά σε ελεύθερη πτώση και επιταχύνεται, άρα η ταχύτητά του υ αυξάνεται με το βάθος πτώσης.
Επειδή το νερό είναι πρακτικά ασυμπίεστο και η ροή είναι μόνιμη, η παροχή Π=Aυ παραμένει σταθερή σε κάθε διατομή της φλέβας.
Αφού η παροχή Π=Aυ είναι σταθερή και η υ αυξάνεται, το εμβαδόν διατομής A της φλέβας πρέπει να ελαττώνεται — γι' αυτό η φλέβα στενεύει καθώς πέφτει.

Απάντηση: Το νερό επιταχύνεται καθώς πέφτει (αυξάνεται η υ), και επειδή η παροχή Π=Aυ παραμένει σταθερή (εξίσωση συνέχειας), το εμβαδόν διατομής A της φλέβας πρέπει να ελαττώνεται — γι' αυτό η φλέβα στενεύει.

Άσκηση 3.7 (σελ. 103)

Στο σχήμα 3.22 δίνονται οι παροχές (σε m³/s) και οι κατευθύνσεις στις οποίες κινείται το υγρό σε ορισμένες περιοχές του σωλήνα (κύριος οριζόντιος σωλήνας με διαδοχικές διακλαδώσεις: εισροή 5 από κάτω, εκροή 4 από πάνω, εκροή 6 από κάτω, εκροή 4 από πάνω, εισροή 2 από κάτω, εισροή 2 από πάνω, και ακολουθεί το σημείο A στο άκρο του κύριου σωλήνα). Ποια είναι η παροχή του υγρού στο σωλήνα και η κατεύθυνση στην οποία κινείται το υγρό στην περιοχή του σημείου A;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η εξίσωση συνέχειας εκφράζει τη διατήρηση της ύλης: σε κάθε κόμβο/τμήμα του δικτύου, το άθροισμα των εισροών ισούται με το άθροισμα των εκροών. Θεωρώντας θετική φορά προς τα δεξιά (προς το A) και ακολουθώντας διαδοχικά τις διακλαδώσεις, υπολογίζουμε την «τρέχουσα» παροχή στον κύριο σωλήνα προσθέτοντας τις εισροές και αφαιρώντας τις εκροές.

Λύση:

Ξεκινώντας από 0 (πριν την πρώτη διακλάδωση) και προχωρώντας προς τα δεξιά, προσθέτουμε τις εισροές και αφαιρούμε τις εκροές με τη σειρά που εμφανίζονται: 0 +5 (εισροή) = 5.
5 −4 (εκροή) = 1.
1 −6 (εκροή) = −5.
−5 −4 (εκροή) = −9.
−9 +2 (εισροή) = −7.
−7 +2 (εισροή) = −5.
Άρα στο σημείο A η «τρέχουσα» παροχή (με τη θετική φορά προς τα δεξιά) είναι −5 m³/s. Το αρνητικό πρόσημο σημαίνει ότι το υγρό στην πραγματικότητα κινείται προς την ΑΝΤΙΘΕΤΗ κατεύθυνση (προς τα αριστερά, δηλαδή προς το εσωτερικό του δικτύου).

Απάντηση: Η παροχή στο σημείο A έχει μέτρο 5 m³/s, με το υγρό να κινείται προς τα αριστερά (αντίθετα από την αρχικά υποτιθέμενη φορά προς το A), όπως προκύπτει από το ισοζύγιο εισροών-εκροών (εξίσωση συνέχειας) στο δίκτυο.

Πρόσεξε:

Η σειρά και η φορά (εισροή/εκροή) κάθε διακλάδωσης καθορίστηκαν από την περιγραφή του σχήματος 3.22· ενδέχεται να χρειάζεται οπτική επιβεβαίωση από το πραγματικό σχήμα του βιβλίου για την ακριβή γεωμετρική διάταξη.

Άσκηση 3.8 (σελ. 103)

Ένα ποτάμι έχει σταθερό πλάτος. Εξηγήστε γιατί όπου το ποτάμι είναι ρηχό το νερό κινείται πιο γρήγορα. Η παροχή του ποταμού σε μια τέτοια περιοχή είναι μεγαλύτερη από την παροχή του σε περιοχές που το βάθος είναι μεγαλύτερο;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Εφαρμογή της εξίσωσης συνέχειας Aυ=σταθερό σε ρεύμα με σταθερό πλάτος, όπου το εμβαδόν διατομής A είναι ανάλογο του βάθους.

Λύση:

Το εμβαδόν διατομής του ποταμού είναι A=πλάτος×βάθος. Αφού το πλάτος είναι σταθερό, το A είναι ανάλογο του βάθους.
Στις ρηχές περιοχές το βάθος (άρα και το A) είναι μικρότερο· επειδή η παροχή Π=Aυ παραμένει σταθερή κατά μήκος του ποταμού (εξίσωση συνέχειας, ασυμπίεστο ρευστό, μόνιμη ροή), η ταχύτητα υ πρέπει να είναι μεγαλύτερη εκεί που το A είναι μικρότερο — γι' αυτό το νερό κινείται πιο γρήγορα στα ρηχά σημεία.
Η παροχή ΔΕΝ είναι μεγαλύτερη στις ρηχές περιοχές· είναι ακριβώς η ίδια παντού κατά μήκος του ποταμού (εφόσον δεν υπάρχουν παραπόταμοι ή απώλειες) — αυτή η σταθερότητα της παροχής είναι ακριβώς ο λόγος που η ταχύτητα αυξάνεται όπου το βάθος μειώνεται.

Απάντηση: Το νερό κινείται πιο γρήγορα στα ρηχά σημεία επειδή εκεί το εμβαδόν διατομής είναι μικρότερο, και η εξίσωση συνέχειας (Aυ=σταθερό) επιβάλλει μεγαλύτερη ταχύτητα. Η παροχή ΔΕΝ είναι μεγαλύτερη εκεί — είναι η ΙΔΙΑ σε όλο το μήκος του ποταμού.

Άσκηση 3.9 (σελ. 103)

Η διατομή του σωλήνα στην περιοχή A είναι τετραπλάσια της διατομής του στην περιοχή B. 1) Σε ένα δευτερόλεπτο από τη διατομή A διέρχονται 8 cm³. Στον ίδιο χρόνο από τη διατομή B διέρχονται α) 8 cm³ β) 16 cm³ γ) 32 cm³ δ) 4 cm³ ε) 2 cm³. 2) Η ταχύτητα υ1 του νερού στην περιοχή A είναι 10 cm/s. Η ταχύτητα στην περιοχή B είναι α) 2,5 cm/s β) 5 cm/s γ) 10 cm/s δ) 20 cm/s ε) 40 cm/s. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Εφαρμογή της εξίσωσης συνέχειας AAυA=ABυB σε δύο διατομές του ίδιου σωλήνα (ασυμπίεστο ρευστό, μόνιμη ροή· ο ίδιος όγκος περνάει από κάθε διατομή στον ίδιο χρόνο).

Λύση:

1. Επειδή το ρευστό είναι ασυμπίεστο και η ροή μόνιμη, ο ΙΔΙΟΣ όγκος υγρού περνάει από κάθε διατομή στον ίδιο χρόνο (διατήρηση της ύλης) — άρα από το B περνούν επίσης 8 cm³ στο ίδιο δευτερόλεπτο. Σωστή απάντηση: α).
1. AA·υA=AB·υB, και AA=4·AB, άρα υB=υA·(AA/AB)=10×4=40 cm/s. Σωστή απάντηση: ε).

Απάντηση: 1) α) 8 cm³. 2) ε) 40 cm/s.

Άσκηση 3.10 (σελ. 103)

Όταν θέλουμε να φτάσει μακριά το νερό που βγαίνει από το λάστιχο του ποτίσματος κλείνουμε με το δάχτυλό μας ένα μέρος της διατομής του ή πιέζουμε την άκρη του. Πώς εξηγείται αυτό;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Εφαρμογή της εξίσωσης συνέχειας: μειώνοντας το εμβαδόν εξόδου A, αυξάνεται η ταχύτητα εξόδου υ (η παροχή που παρέχει το δίκτυο ύδρευσης παραμένει περίπου σταθερή).

Λύση:

Κλείνοντας μερικώς το άκρο του λάστιχου με το δάχτυλο, μειώνουμε το εμβαδόν εξόδου A της φλέβας του νερού.
Επειδή η παροχή Π=Aυ που τροφοδοτεί το λάστιχο παραμένει (περίπου) σταθερή, η μείωση του A συνεπάγεται αύξηση της ταχύτητας εξόδου υ, σύμφωνα με την εξίσωση συνέχειας.
Η μεγαλύτερη ταχύτητα εκροής δίνει στο νερό μεγαλύτερη αρχική ταχύτητα ως βλήμα, άρα φτάνει σε μεγαλύτερη απόσταση (μεγαλύτερο βεληνεκές).

Απάντηση: Μειώνοντας τη διατομή εξόδου αυξάνουμε την ταχύτητα εκροής του νερού (εξίσωση συνέχειας, Aυ=σταθερό), οπότε το νερό εκτοξεύεται πιο μακριά.

Προηγούμενο Στοιχείο

Επιστροφή στην Ενότητα

Επόμενο Στοιχείο