Κεφάλαιο 3.5 – Η Διατήρηση Ενέργειας και η Εξίσωση του Bernoulli (σελ. 101-107) – Λύσεις

Κεφάλαιο 3.5 - Η Διατήρηση Ενέργειας και η Εξίσωση του Bernoulli (σελ. 101-107) — Λύσεις - Απαντήσεις

Άσκηση 3.11 (σελ. 104)

Τα πλοία δεν επιτρέπεται να κινούνται παράλληλα, σε μικρή μεταξύ τους απόσταση, γιατί «το ρεύμα τα σπρώχνει να πλησιάσουν πιο πολύ και υπάρχει κίνδυνος να συγκρουστούν». Πώς δικαιολογείται αυτή η πρόταση;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ο στενός δίαυλος νερού ανάμεσα στα δύο πλοία λειτουργεί σαν στένωση σωλήνα: εκεί το νερό αναγκάζεται να ρέει γρηγορότερα (εξίσωση συνέχειας), άρα (Bernoulli) η πίεση εκεί πέφτει σε σχέση με το ανοιχτό νερό στις εξωτερικές πλευρές.

Λύση:

1. Ο χώρος ανάμεσα στα δύο πλοία είναι στενότερος από τον ανοιχτό χώρο γύρω τους, άρα λειτουργεί σαν «στένωση» — εκεί, σύμφωνα με την εξίσωση συνέχειας, η ταχύτητα του νερού (ή αέρα) που περνά ανάμεσά τους είναι μεγαλύτερη.
2. Σύμφωνα με την εξίσωση του Bernoulli, όπου η ταχύτητα ροής είναι μεγαλύτερη, η πίεση είναι μικρότερη — άρα η πίεση ανάμεσα στα πλοία είναι μικρότερη από την πίεση στις εξωτερικές τους πλευρές.
3. Αυτή η διαφορά πίεσης δημιουργεί δύναμη που σπρώχνει τα δύο πλοία το ένα προς το άλλο, μειώνοντας την απόσταση μεταξύ τους και αυξάνοντας τον κίνδυνο σύγκρουσης.

Απάντηση: Στον στενό δίαυλο ανάμεσα στα δύο πλοία το νερό ρέει γρηγορότερα, άρα (Bernoulli) η πίεση εκεί είναι μικρότερη από την πίεση στις εξωτερικές πλευρές — η διαφορά πίεσης δημιουργεί δύναμη έλξης που τα πλησιάζει.

Άσκηση 3.12 (σελ. 104)

Εξηγήστε γιατί η στάθμη του νερού στο σωλήνα B είναι πιο χαμηλά από ό,τι στους σωλήνες A και Γ (σχήμα 3.24: οριζόντιος σωλήνας με στένωση στη θέση B ανάμεσα σε δύο πλατύτερες περιοχές A, Γ, με κατακόρυφα ανοιχτά πιεζόμετρα στα A, B, Γ).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Στη θέση B ο σωλήνας είναι στενότερος, άρα (εξίσωση συνέχειας) το νερό εκεί ρέει γρηγορότερα· κατά Bernoulli, μεγαλύτερη ταχύτητα σημαίνει μικρότερη πίεση. Η στάθμη σε κάθε πιεζόμετρο αντιστοιχεί στην τοπική πίεση του σωλήνα.

Λύση:

1. Στη θέση B η διατομή του σωλήνα είναι μικρότερη απ' ό,τι στα A και Γ, άρα από την εξίσωση συνέχειας (Aυ=σταθερό) η ταχύτητα ροής υB είναι μεγαλύτερη από τις υA, υΓ.
2. Σύμφωνα με την εξίσωση Bernoulli για οριζόντιο σωλήνα (p+½ρυ²=σταθερό), όπου η ταχύτητα είναι μεγαλύτερη η πίεση είναι μικρότερη — άρα pB<pA=pΓ.
3. Η στάθμη του νερού σε κάθε κατακόρυφο ανοιχτό πιεζόμετρο είναι ανάλογη της τοπικής πίεσης στο σημείο σύνδεσής του με τον κύριο σωλήνα· αφού pB είναι η μικρότερη, η στάθμη στο B είναι η χαμηλότερη.

Απάντηση: Στο στενότερο τμήμα B η ταχύτητα ροής είναι μεγαλύτερη (εξίσωση συνέχειας), άρα η πίεση εκεί είναι μικρότερη (εξίσωση Bernoulli) — γι' αυτό η στάθμη στο πιεζόμετρο B είναι χαμηλότερη απ' ό,τι στα A, Γ.

Άσκηση 3.13 (σελ. 104)

Γιατί οι πιλότοι προτιμούν να απογειώνουν τα αεροπλάνα αντίθετα στον άνεμο;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η δυναμική άνωση εξαρτάται από τη σχετική ταχύτητα του αέρα ως προς τις πτέρυγες, όχι από την ταχύτητα του αεροπλάνου ως προς το έδαφος.

Λύση:

1. Η άνωση που δέχονται οι πτέρυγες δημιουργείται από τη ροή του αέρα γύρω τους, άρα εξαρτάται από την ταχύτητα του αέρα ΣΕ ΣΧΕΣΗ ΜΕ το αεροπλάνο (σχετική ταχύτητα), όχι από την ταχύτητα του αεροπλάνου ως προς το έδαφος.
2. Όταν η απογείωση γίνεται αντίθετα στον άνεμο, η ταχύτητα του αέρα ως προς το αεροπλάνο είναι το άθροισμα της ταχύτητας του αεροπλάνου ως προς το έδαφος ΚΑΙ της ταχύτητας του ανέμου — άρα μεγαλύτερη σχετική ταχύτητα, άρα μεγαλύτερη άνωση, για την ΙΔΙΑ ταχύτητα τροχοδρόμησης στο έδαφος.
3. Έτσι το αεροπλάνο αποκτά την απαιτούμενη άνωση για απογείωση διανύοντας μικρότερη απόσταση (μικρότερο διάδρομο) και με μικρότερη ταχύτητα ως προς το έδαφος.

Απάντηση: Επειδή η δυναμική άνωση εξαρτάται από τη σχετική ταχύτητα αέρα-πτέρυγας· απογειώνοντας αντίθετα στον άνεμο, η σχετική αυτή ταχύτητα (άρα και η άνωση) αυξάνεται για την ίδια ταχύτητα τροχοδρόμησης, επιτρέποντας απογείωση σε μικρότερη απόσταση.

Άσκηση 3.14 (σελ. 104)

Ένα αεροπλάνο που πετάει με σταθερή οριζόντια ταχύτητα σε ύψος h δέχεται δυναμική άνωση A1. Το ίδιο αεροπλάνο όταν πετάει με την ίδια ταχύτητα σε ύψος 2h δέχεται δυναμική άνωση A2 για την οποία ισχύει: α) A1<A2, β) A1=A2, γ) A1>A2. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η δυναμική άνωση, μέσω της εξίσωσης Bernoulli, καθορίζεται από τη διαφορά ταχυτήτων ροής (άρα πιέσεων) πάνω/κάτω από την πτέρυγα, που εξαρτάται από την ταχύτητα του αέρα σχετικά με το αεροπλάνο και τη γεωμετρία της πτέρυγας — όχι από το απόλυτο υψόμετρο, εφόσον η ταχύτητα παραμένει η ίδια.

Λύση:

1. Η δυναμική άνωση προκύπτει από τη διαφορά πίεσης πάνω και κάτω από την πτέρυγα, η οποία (κατά Bernoulli) καθορίζεται από τη σχετική ταχύτητα ροής του αέρα γύρω από την πτέρυγα και τη μορφή της.
2. Εφόσον το αεροπλάνο πετά με την ΙΔΙΑ ταχύτητα και στις δύο περιπτώσεις, και η ανάλυση με την εξίσωση Bernoulli δεν εμπλέκει άμεσα το απόλυτο ύψος πτήσης (παρά μόνο τη ροή γύρω από την πτέρυγα), η δυναμική άνωση παραμένει η ίδια.

Απάντηση: Σωστή απάντηση: β) A1=A2 — η δυναμική άνωση εξαρτάται από την ταχύτητα (που είναι ίδια) και όχι από το απόλυτο ύψος πτήσης.

Πρόσεξε:

• Η απάντηση αγνοεί τη μεταβολή της πυκνότητας του αέρα με το υψόμετρο (στην πραγματικότητα η άνωση μειώνεται με το ύψος λόγω μείωσης της πυκνότητας ρ)· στο επίπεδο της σχολικής θεωρίας του Κεφαλαίου 3, όπου δεν εξετάζεται η μεταβολή της πυκνότητας του αέρα με το ύψος, θεωρούμε ρ σταθερό και η απάντηση είναι β).

Άσκηση 3.15 (σελ. 104)

Το σχήμα 3.25 παριστάνει έναν ακανόνιστο σωλήνα μέσα στον οποίο ρέει νερό, με σημεία A, B (σε σχεδόν οριζόντιο ανώτερο τμήμα, με το B σε ελαφρώς μεγαλύτερη διατομή από το A), Γ (σε κατακόρυφο κατερχόμενο τμήμα) και Δ (σε πλατύτερο οριζόντιο τμήμα χαμηλότερα). Να ταξινομήσετε τα σημεία A, B, Γ, Δ κατά τη σειρά με την οποία α) αυξάνεται η ταχύτητα ροής του νερού, β) αυξάνεται η πίεση.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η ταξινόμηση της ταχύτητας γίνεται από την εξίσωση συνέχειας (μικρότερη διατομή ⟹ μεγαλύτερη ταχύτητα), ενώ η ταξινόμηση της πίεσης απαιτεί την πλήρη εξίσωση Bernoulli (συνυπολογίζοντας και τη διαφορά ύψους y, όχι μόνο την ταχύτητα).

Λύση:

1. Ταχύτητα (εξίσωση συνέχειας, Aυ=σταθερό κατά μήκος της ροής): όσο μικρότερη είναι η διατομή σε ένα σημείο, τόσο μεγαλύτερη είναι εκεί η ταχύτητα ροής.
2. Πίεση (εξίσωση Bernoulli, p+½ρυ²+ρgy=σταθερό): εδώ επιδρούν ΔΥΟ παράγοντες — η ταχύτητα (μεγαλύτερη υ ⟹ μικρότερη p) ΚΑΙ το ύψος y (μεγαλύτερο y ⟹ μεγαλύτερη p, για ίδια υ), οπότε η τελική σειρά εξαρτάται από τον συνδυασμό τους.
3. Η ακριβής αριθμητική σειρά και για τα δύο ερωτήματα απαιτεί τις πραγματικές αναλογίες διατομών και υψών του σχήματος 3.25, οι οποίες δεν προσδιορίζονται αριθμητικά στο διαθέσιμο κείμενο (μόνο ποιοτική περιγραφή της γεωμετρίας).

Απάντηση: Η μέθοδος είναι σαφής: α) το σημείο με τη μικρότερη διατομή έχει τη μεγαλύτερη ταχύτητα (εξίσωση συνέχειας)· β) η πίεση καθορίζεται από τον συνδυασμό ταχύτητας ΚΑΙ ύψους (πλήρης εξίσωση Bernoulli). Η ακριβής αριθμητική σειρά των A,B,Γ,Δ απαιτεί τις ακριβείς διαστάσεις/ύψη του σχήματος 3.25, που δεν είναι διαθέσιμες σε αριθμητική μορφή.

(Ενδεικτική απάντηση.)

Πρόσεξε:

• Η εκφώνηση, όπως αποσπάστηκε από το πηγαίο κείμενο («Ταχύτητες τα σημεία A,B,Γ και Δ κατά τη σειρά με την οποία...»), φαίνεται να έχει απολεσθεί/παραφθαρεί σε σχέση με την αρχική διατύπωση του βιβλίου (πιθανώς «Να ταξινομήσετε τα σημεία...»)· η έννοια αποκαταστάθηκε λογικά. Λόγω έλλειψης αριθμητικών δεδομένων για τις διατομές/ύψη του σχήματος 3.25, δίνεται η μεθοδολογία αλλά όχι μία οριστική αριθμητική σειρά A,B,Γ,Δ.

Άσκηση 3.16 (σελ. 104)

Συμπληρώστε τις προτάσεις: Σύμφωνα με το νόμο του Bernoulli το άθροισμα της πίεσης, της .................... ενέργειας και .................... ενέργειας ανά μονάδα όγκου έχει την ίδια τιμή σε κάθε σημείο κατά μήκος μιας ρευματικής γραμμής. Ο νόμος του Bernoulli είναι έκφραση της αρχής .............. .......................... στα ρευστά.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ανάκληση της διατύπωσης της εξίσωσης Bernoulli, p+½ρυ²+ρgy=σταθερό, και της φυσικής της σημασίας ως αρχή διατήρησης ενέργειας.

Λύση:

1. Το άθροισμα p+½ρυ²+ρgy είναι σταθερό κατά μήκος ρευματικής γραμμής: p=πίεση, ½ρυ²=κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου, ρgy=δυναμική ενέργεια ανά μονάδα όγκου.
2. Η εξίσωση Bernoulli αποτελεί έκφραση της αρχής διατήρησης της ενέργειας στη ροή των ρευστών.

Απάντηση: ...κινητικής... ενέργειας και ...δυναμικής... ενέργειας... Ο νόμος του Bernoulli είναι έκφραση της αρχής διατήρησης της ενέργειας στα ρευστά.

Άσκηση 3.17 (σελ. 104)

Μέχρι ποιο ύψος θα φτάσει ο πίδακας του νερού (σχήμα 3.26: ανοιχτό δοχείο με νερό, σωλήνας από τον πυθμένα του που καμπυλώνει σε σχήμα U και καταλήγει σε κατακόρυφη έξοδο, από όπου εκτοξεύεται πίδακας προς τα πάνω); Θεωρήστε ότι η επιφάνεια του νερού στο δοχείο είναι πολύ μεγάλη και ότι η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα. Αιτιολογήστε την απάντησή σας.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Εφαρμόζοντας την εξίσωση Bernoulli ανάμεσα στην ελεύθερη επιφάνεια του δοχείου και στο σημείο εξόδου, και μετά ανάμεσα στην έξοδο και στο ανώτατο σημείο του πίδακα (όπου η ταχύτητα μηδενίζεται), προκύπτει ότι όλη η κινητική ενέργεια εξόδου μετατρέπεται ξανά σε δυναμική ενέργεια στο ίδιο ύψος με την αρχική ελεύθερη επιφάνεια.

Λύση:

1. Η ταχύτητα εξόδου του νερού από το κατακόρυφο στόμιο δίνεται από το θεώρημα Torricelli, υ=√(2gH), όπου H το βάθος του στομίου κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια του δοχείου.
2. Ο πίδακας, μόλις βγει, κινείται ως ελεύθερο σώμα κατακόρυφα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα υ, επιβραδυνόμενος λόγω βαρύτητας, ακριβώς όπως ένα σώμα σε ελεύθερη κατακόρυφη βολή.
3. Το μέγιστο ύψος ανόδου (όπου η ταχύτητα μηδενίζεται) δίνεται από hmax=υ²/(2g)=2gH/(2g)=H — δηλαδή, θεωρητικά (χωρίς απώλειες τριβής και χωρίς αντίσταση αέρα), ο πίδακας φτάνει ΑΚΡΙΒΩΣ στο ίδιο ύψος με την ελεύθερη επιφάνεια του νερού στο δοχείο.

Απάντηση: Θεωρητικά (χωρίς απώλειες και χωρίς αντίσταση αέρα), ο πίδακας φτάνει ακριβώς στο ίδιο ύψος με την ελεύθερη επιφάνεια του νερού μέσα στο δοχείο — άμεση συνέπεια της διατήρησης της ενέργειας (εξίσωση Bernoulli/θεώρημα Torricelli).

Άσκηση Δ.1 (σελ. 101)

Πειραματική δραστηριότητα: Κρατήστε στα χέρια σας δύο φύλλα χαρτιού ώστε να κρέμονται κατακόρυφα, με τις επιφάνειές τους παράλληλες. Φυσήξτε ανάμεσό τους. Θα τα δείτε να πλησιάζουν. Πώς εξηγείται το φαινόμενο;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Πρόκειται για πειραματική επίδειξη της εξίσωσης Bernoulli — δεν έχει μοναδική αριθμητική λύση, αλλά αναμενόμενο ποιοτικό αποτέλεσμα.

Λύση:

1. Φυσώντας ανάμεσα στα δύο φύλλα χαρτιού, δημιουργούμε εκεί ρεύμα αέρα με μεγάλη ταχύτητα.
2. Στον υπόλοιπο χώρο, εκτός από την περιοχή ανάμεσα στα φύλλα, ο αέρας παραμένει (σχεδόν) ακίνητος, με πίεση ίση με την ατμοσφαιρική.
3. Σύμφωνα με την εξίσωση Bernoulli, στην περιοχή όπου η ταχύτητα του αέρα είναι μεγαλύτερη (ανάμεσα στα φύλλα) η πίεση είναι μικρότερη από την ατμοσφαιρική πίεση που επικρατεί στις εξωτερικές πλευρές των φύλλων.
4. Η μεγαλύτερη εξωτερική πίεση σπρώχνει τα δύο φύλλα το ένα προς το άλλο — γι' αυτό τα βλέπουμε να πλησιάζουν.

Απάντηση: Ο αέρας που φυσάμε ανάμεσα στα φύλλα αποκτά μεγάλη ταχύτητα, άρα (Bernoulli) εκεί η πίεση πέφτει κάτω από την ατμοσφαιρική· η μεγαλύτερη πίεση στις εξωτερικές πλευρές σπρώχνει τα φύλλα να πλησιάσουν.

(Ενδεικτική απάντηση.)

Άσκηση Δ.2 (σελ. 102)

Πειραματική δραστηριότητα (σχήμα 3.18): Τοποθετήστε την άκρη μίας χάρτινης λουρίδας ανάμεσα στις σελίδες ενός βιβλίου. Κρατήστε το βιβλίο και φυσήξτε με δύναμη πάνω από τη χάρτινη λουρίδα. Η λουρίδα ανυψώνεται και μάλιστα περισσότερο όταν φυσάμε πιο δυνατά. Τι εξήγηση δίνετε;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ίδια αρχή με τη δυναμική άνωση πτέρυγας: ροή αέρα με μεγάλη ταχύτητα πάνω από μια επιφάνεια δημιουργεί εκεί χαμηλότερη πίεση (Bernoulli).

Λύση:

1. Φυσώντας πάνω από τη λουρίδα, ο αέρας εκεί αποκτά μεγάλη ταχύτητα, ενώ ο αέρας κάτω από τη λουρίδα παραμένει σχεδόν ακίνητος (ατμοσφαιρική πίεση).
2. Κατά Bernoulli, η πίεση πάνω από τη λουρίδα (όπου η ταχύτητα είναι μεγάλη) είναι μικρότερη από την πίεση κάτω από αυτήν — η διαφορά πίεσης δημιουργεί καθαρή δύναμη προς τα πάνω, που ανυψώνει τη λουρίδα.
3. Όσο πιο δυνατά φυσάμε, τόσο μεγαλύτερη είναι η ταχύτητα του αέρα πάνω από τη λουρίδα, άρα τόσο μεγαλύτερη η πτώση πίεσης εκεί και τόσο μεγαλύτερη η δύναμη ανύψωσης — γι' αυτό η λουρίδα ανυψώνεται περισσότερο.

Απάντηση: Ο αέρας που φυσάμε πάνω από τη λουρίδα έχει μεγάλη ταχύτητα, άρα (Bernoulli) χαμηλότερη πίεση από τον ακίνητο αέρα κάτω από αυτήν· η διαφορά πίεσης την ανυψώνει, και ανυψώνεται περισσότερο όσο πιο δυνατά φυσάμε.

(Ενδεικτική απάντηση.)

Άσκηση Δ.3 (σελ. 102)

Πειραματική δραστηριότητα: Στην άκρη ενός νήματος στερεώστε ένα μπαλάκι του πινγκ-πονγκ. Κρατώντας την άλλη άκρη του νήματος πλησιάστε το μπαλάκι κοντά στο νερό μιας βρύσης. Το μπαλάκι κινείται προς τη μεριά της φλέβας του νερού; Πώς εξηγείται αυτό;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το κινούμενο νερό/αέρας γύρω από τη φλέβα δημιουργεί τοπική μείωση πίεσης, όμοια με τη λογική της εξίσωσης Bernoulli.

Λύση:

1. Κοντά στη φλέβα του τρεχούμενου νερού, το ρευστό (νερό ή/και παρασυρόμενος αέρας) κινείται με μεγάλη ταχύτητα.
2. Στην πλευρά του μπαλακιού που είναι πιο κοντά στη φλέβα, η τοπική πίεση είναι μικρότερη απ' ό,τι στην απέναντι πλευρά, όπου το ρευστό (αέρας) είναι σχεδόν ακίνητο.
3. Η διαφορά πίεσης δημιουργεί καθαρή δύναμη που σπρώχνει το μπαλάκι ΠΡΟΣ τη φλέβα — το μπαλάκι «έλκεται» προς το νερό, αντί να απωθείται.

Απάντηση: Ναι, το μπαλάκι κινείται προς τη φλέβα: κοντά στο τρεχούμενο νερό η τοπική πίεση είναι μικρότερη (Bernoulli), οπότε η μεγαλύτερη πίεση στην απέναντι πλευρά το σπρώχνει προς τη φλέβα.

(Ενδεικτική απάντηση.)

Άσκηση Δ.4 (σελ. 102)

Πειραματική δραστηριότητα (σχήμα 3.19): Τοποθετήστε ένα καλαμάκι μέσα σε ένα ποτήρι με νερό. Με ένα άλλο καλαμάκι φυσήξτε στην πάνω άκρη του πρώτου. Θα προκληθεί ψεκασμός. Πώς εξηγείται το φαινόμενο; Είναι το ίδιο εύκολος ο ψεκασμός για οποιαδήποτε απόσταση h (ύψος του πάνω άκρου του κατακόρυφου καλαμιού πάνω από την επιφάνεια του νερού); Ελέγξτε το πειραματικά. Πώς το αιτιολογείτε;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το οριζόντιο ρεύμα αέρα πάνω από το κατακόρυφο καλαμάκι δημιουργεί τοπική πτώση πίεσης (Bernoulli), που ανεβάζει το νερό μέσα στο καλαμάκι έως ότου το παρασύρει το ρεύμα αέρα και το ψεκάσει — λειτουργία ίδια με εξαερωτήρα/αρωματοψεκαστήρα.

Λύση:

1. Φυσώντας οριζόντια πάνω από το ανοιχτό επάνω άκρο του κατακόρυφου καλαμιού, δημιουργούμε εκεί ρεύμα αέρα μεγάλης ταχύτητας.
2. Κατά Bernoulli, η πίεση στο σημείο αυτό (πάνω από το καλαμάκι) γίνεται μικρότερη από την ατμοσφαιρική πίεση που επικρατεί στην ελεύθερη επιφάνεια του νερού μέσα στο ποτήρι.
3. Η διαφορά πίεσης (ατμοσφαιρική στην επιφάνεια του ποτηριού, μειωμένη στην κορυφή του καλαμιού) σπρώχνει το νερό να ανέβει μέσα στο καλαμάκι· φτάνοντας στην κορυφή, το νερό παρασύρεται και διασκορπίζεται (ψεκάζεται) από το οριζόντιο ρεύμα αέρα.
4. Ο ψεκασμός ΔΕΝ είναι εξίσου εύκολος για κάθε h: όσο μεγαλύτερο είναι το h, τόσο μεγαλύτερη είναι η υδροστατική «αντίσταση» (βάρος της στήλης νερού που πρέπει να ανυψωθεί, ρgh) που πρέπει να ξεπεράσει η πτώση πίεσης Δp=½ραέραυ²αέρα του ρεύματος αέρα· αν το h ξεπεράσει ένα όριο για δεδομένη ένταση φυσήματος, η απαιτούμενη πτώση πίεσης δεν επαρκεί και ο ψεκασμός σταματά να λειτουργεί.

Απάντηση: Το ρεύμα αέρα πάνω από το καλαμάκι μειώνει τοπικά την πίεση (Bernoulli), γεγονός που αναγκάζει το νερό να ανέβει και να ψεκαστεί· ο ψεκασμός δυσκολεύει όσο μεγαλώνει το h, αφού απαιτείται μεγαλύτερη πτώση πίεσης για να «σηκωθεί» μεγαλύτερη στήλη νερού.

(Ενδεικτική απάντηση.)

Άσκηση 3.23 (σελ. 105)

Η φλέβα του νερού της βρύσης γίνεται στενότερη καθώς το νερό πέφτει. Η διατομή της φλέβας είναι A1=1,2 cm² κοντά στο στόμιο της βρύσης και A2=0,4 cm² σε απόσταση h=4 cm από αυτό. Υπολογίστε την παροχή της βρύσης. Δίνεται g=10 m/s².

Σκέψη / Μεθοδολογία: Συνδυάζουμε την εξίσωση συνέχειας (Π=A1υ1=A2υ2) με την κινηματική της ελεύθερης πτώσης (υ2²=υ1²+2gh, αφού η φλέβα πέφτει ελεύθερα).

Λύση:

1. Από την εξίσωση συνέχειας: υ1=Π/A1, υ2=Π/A2.
2. Από την ελεύθερη πτώση της φλέβας: υ2²=υ1²+2gh ⟹ (Π/A2)²=(Π/A1)²+2gh ⟹ Π²(1/A2²−1/A1²)=2gh.
3. Αντικαθιστώντας A1=1,2×10⁻⁴ m², A2=0,4×10⁻⁴ m², h=0,04 m, g=10 m/s²: 1/A2²=6,25×10⁸, 1/A1²≈6,944×10⁷, διαφορά≈5,556×10⁸.
4. 2gh=2×10×0,04=0,8. Π²=0,8/5,556×10⁸≈1,44×10⁻⁹ ⟹ Π=√(1,44×10⁻⁹)≈3,79×10⁻⁵ m³/s=1,2√10×10⁻⁵ m³/s.

Απάντηση: Η παροχή της βρύσης είναι Π=1,2√10×10⁻⁵ m³/s ≈ 3,79×10⁻⁵ m³/s.

Άσκηση 3.24 (σελ. 105)

Ανοικτή δεξαμενή που περιέχει νερό έχει στο πλευρικό τοίχωμά της, σε βάθος h=1,8 m κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού, βρύση διατομής A=0,5 cm². Πόση ώρα χρειάζεται για να γεμίσουμε ένα δοχείο όγκου 1 L από τη βρύση; Δίνεται g=10 m/s².

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η ταχύτητα εκροής δίνεται από το θεώρημα Torricelli, υ=√(2gh)· από αυτήν υπολογίζουμε την παροχή Π=Aυ και μετά τον χρόνο t=V/Π.

Λύση:

1. υ=√(2gh)=√(2×10×1,8)=√36=6 m/s.
2. Π=A·υ=0,5×10⁻⁴ m²×6 m/s=3×10⁻⁴ m³/s.
3. t=V/Π=(1×10⁻³ m³)/(3×10⁻⁴ m³/s)=3,33 s.

Απάντηση: Χρειάζονται περίπου t≈3,33 s.

Άσκηση 3.25 (σελ. 106)

Νερό ρέει σε οριζόντιο σωλήνα (σχήμα 3.27). Η διατομή του σωλήνα στη θέση A είναι A1=10⁻² m² και στη θέση B γίνεται A2=A1/2. Η παροχή του σωλήνα είναι Π=2×10⁻² m³/s. Να βρείτε τη διαφορά της πίεσης του νερού ανάμεσα στα σημεία A και B. Δίνεται η πυκνότητα του νερού ρ=10³ kg/m³.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Υπολογίζουμε τις ταχύτητες από την παροχή (υ=Π/A) και εφαρμόζουμε την εξίσωση Bernoulli για οριζόντιο σωλήνα, p+½ρυ²=σταθερό.

Λύση:

1. υ1=Π/A1=2×10⁻²/10⁻²=2 m/s. A2=A1/2=0,5×10⁻² m² ⟹ υ2=Π/A2=2×10⁻²/0,5×10⁻²=4 m/s.
2. Bernoulli (οριζόντιος σωλήνας): p1+½ρυ1²=p2+½ρυ2² ⟹ p1−p2=½ρ(υ2²−υ1²)=0,5×10³×(16−4)=0,5×10³×12=6000 Pa.

Απάντηση: Η πίεση στο A είναι μεγαλύτερη από την πίεση στο B κατά Δp=6000 Pa.

Άσκηση 3.26 (σελ. 106)

Νερό που κινείται μέσα σε οριζόντιο σωλήνα (σχήμα 3.28) βγαίνει από το άκρο A με ταχύτητα υ=10 m/s. Το εμβαδόν διατομής του σωλήνα στα σημεία A και B είναι 16 cm² και 20 cm², αντίστοιχα. α) Πόσα m³ νερού δίνει ο σωλήνας σε μία ώρα; β) Ποια η πίεση στο σημείο B; Η πυκνότητα του νερού είναι ρ=10³ kg/m³. Θεωρήστε την ατμοσφαιρική πίεση 10⁵ Pa.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Υπολογίζουμε πρώτα την παροχή από τα δεδομένα στο A (έξοδος, όπου p=ατμοσφαιρική), μετά την ταχύτητα στο B από την εξίσωση συνέχειας, και τέλος την πίεση στο B από την εξίσωση Bernoulli.

Λύση:

1. Π=AA·υA=16×10⁻⁴ m²×10 m/s=1,6×10⁻² m³/s.
2. α) Όγκος σε 1 ώρα (3600 s): V=Π×3600=1,6×10⁻²×3600=57,6 m³.
3. υB=Π/AB=1,6×10⁻²/(20×10⁻⁴)=1,6×10⁻²/2×10⁻³=8 m/s.
4. Bernoulli (οριζόντιος σωλήνας, στο A η πίεση είναι η ατμοσφαιρική αφού είναι η έξοδος): pB+½ρυB²=pA+½ρυA² ⟹ pB=pA+½ρ(υA²−υB²)=10⁵+0,5×10³×(100−64)=10⁵+18000=118000 Pa.

Απάντηση: α) Ο σωλήνας δίνει V=57,6 m³ νερού σε μία ώρα. β) Η πίεση στο B είναι pB=118 kPa.

Άσκηση 3.27 (σελ. 106)

Μια αντλία χρησιμοποιείται για την άντληση νερού από πηγάδι βάθους 5 m. Το νερό βγαίνει από την αντλία με σωλήνα διατομής 10 cm² και με ταχύτητα υ=20 m/s. Υπολογίστε την ισχύ της αντλίας. Δίνεται η πυκνότητα του νερού ρ=10³ kg/m³ και g=10 m/s².

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η αντλία προσφέρει στο νερό, ανά μονάδα χρόνου, την κινητική ενέργεια που αποκτά (από ηρεμία σε ταχύτητα υ) και τη δυναμική ενέργεια που αποκτά ανεβαίνοντας κατά h=5 m — η ισχύς είναι το άθροισμα αυτών των ρυθμών, εκφρασμένο μέσω της μαζικής παροχής.

Λύση:

1. Παροχή: Π=A·υ=10×10⁻⁴ m²×20 m/s=2×10⁻² m³/s. Μαζική παροχή: ṁ=ρΠ=10³×2×10⁻²=20 kg/s.
2. Ισχύς = ρυθμός προσφοράς κινητικής + δυναμικής ενέργειας: P=ṁ(½υ²+gh)=20×(½×20²+10×5)=20×(200+50)=20×250=5000 W.

Απάντηση: Η ισχύς της αντλίας είναι P=5000 W=5 kW.

Άσκηση 3.28 (σελ. 106)

Μια ανοιχτή δεξαμενή νερού, μεγάλου όγκου, βρίσκεται ψηλά πάνω από το έδαφος (σχήμα 3.29). Όταν χρησιμοποιούμε νερό της δεξαμενής η ταχύτητα του νερού, σε κάποιο σημείο A, στο σωλήνα που βρίσκεται στο έδαφος, είναι υ=12 m/s. Υπολογίστε την πίεση στο σημείο A. Δίνεται ότι η στάθμη του νερού βρίσκεται σε ύψος h=10 m πάνω από το έδαφος. Η πυκνότητα του νερού είναι ρ=10³ kg/m³, η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s² και η ατμοσφαιρική πίεση 10⁵ Pa.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Εφαρμόζουμε την εξίσωση Bernoulli ανάμεσα στην ελεύθερη επιφάνεια της δεξαμενής (μεγάλη επιφάνεια ⟹ υ≈0, p=ατμοσφαιρική, ύψος h) και στο σημείο A στο έδαφος (ύψος 0, ζητούμενη πίεση pA, ταχύτητα υ).

Λύση:

1. Bernoulli: pE+ρghE+½ρυE²=pA+ρghA+½ρυA², με hE=h=10 m, hA=0, υE≈0, pE=10⁵ Pa.
2. 10⁵+10³×10×10+0=pA+0+0,5×10³×12² ⟹ 10⁵+10⁵=pA+72000 ⟹ 2×10⁵=pA+72000.
3. pA=200000−72000=128000 Pa.

Απάντηση: Η πίεση στο σημείο A είναι pA=128×10³ Pa=128 kPa.

Άσκηση 3.29 (σελ. 106)

Στο δοχείο Δ πέφτει συνέχεια νερό από τη βρύση B (σχήμα 3.30). Το δοχείο δε μπορεί να γεμίσει επειδή αδειάζει νερό από το πλευρικό άνοιγμα A. Αν η παροχή της βρύσης είναι 22 cm³/s και το εμβαδόν του ανοίγματος 0,1 cm², να βρείτε σε ποιο ύψος h πάνω από το σημείο A θα σταθεροποιηθεί η ελεύθερη επιφάνεια. Δίνεται g=10 m/s².

Σκέψη / Μεθοδολογία: Στη σταθεροποιημένη (μόνιμη) κατάσταση, η εκροή από το άνοιγμα A ισούται με την εισροή από τη βρύση. Η ταχύτητα εκροής δίνεται από το θεώρημα Torricelli, υ=√(2gh).

Λύση:

1. Στη σταθερή στάθμη, εκροή = εισροή: Πεκρ=ΠΒ=22 cm³/s=22×10⁻⁶ m³/s.
2. υ=Πεκρ/A=22×10⁻⁶/(0,1×10⁻⁴)=22×10⁻⁶/10⁻⁵=2,2 m/s.
3. Από Torricelli: υ=√(2gh) ⟹ h=υ²/(2g)=(2,2)²/(20)=4,84/20=0,242 m=24,2 cm.

Απάντηση: Η στάθμη σταθεροποιείται σε ύψος h≈24,2 cm πάνω από το άνοιγμα A.

Πρόσεξε:

• Στο πηγαίο κείμενο του βιβλίου το εμβαδόν του ανοίγματος αναγράφεται ως «1 cm²». Με A=1 cm² προκύπτει h=(22/100)²/20 m=0,00242 m=0,242 cm, τιμή ασύμβατη με την επίσημη απάντηση του βιβλίου (24,2 cm). Αντίθετα, με A=0,1 cm² (πιθανή απώλεια του δεκαδικού «0,» κατά την ψηφιοποίηση/OCR) η λύση αναπαράγει ακριβώς την επίσημη απάντηση 24,2 cm — γι' αυτό χρησιμοποιήθηκε εδώ η διορθωμένη τιμή A=0,1 cm².

Άσκηση 3.30 (σελ. 107)

Ένα δοχείο με κατακόρυφα τοιχώματα (σχήμα 3.31) περιέχει νερό μέχρι ύψος h. Σε ποιο ύψος (x) από τον πυθμένα πρέπει να τρυπήσουμε το δοχείο, ώστε η φλέβα που θα δημιουργηθεί να συναντά το έδαφος στη μεγαλύτερη δυνατή απόσταση από τη βάση του δοχείου;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η ταχύτητα εκροής από οπή σε ύψος x (βάθος h−x κάτω από την επιφάνεια) δίνεται από το θεώρημα Torricelli· η φλέβα εκτελεί στη συνέχεια οριζόντια βολή από ύψος x. Το βεληνεκές R(x) μεγιστοποιείται ως προς x με παραγώγιση.

Λύση:

1. Ταχύτητα εκροής: υ=√(2g(h−x)) (Torricelli, βάθος οπής κάτω από την επιφάνεια = h−x).
2. Χρόνος πτώσης από ύψος x στο έδαφος (οριζόντια βολή): x=½gt² ⟹ t=√(2x/g).
3. Βεληνεκές: R=υ·t=√(2g(h−x))·√(2x/g)=√(4x(h−x))=2√(x(h−x)).
4. Μεγιστοποιούμε το γινόμενο x(h−x) ως προς x: d/dx[x(h−x)]=h−2x=0 ⟹ x=h/2 (μέγιστο, αφού η δεύτερη παράγωγος είναι αρνητική).

Απάντηση: Η οπή πρέπει να ανοιχτεί στο μέσο του ύψους του νερού, x=h/2, ώστε η φλέβα να φτάνει στη μέγιστη δυνατή απόσταση.

Άσκηση 3.31 (σελ. 107)

Ποσότητα νερού είναι αποθηκευμένη σε ανοικτό κυλινδρικό δοχείο. Το ύψος του νερού στο δοχείο είναι h=1 m. Το δοχείο έχει μια τρύπα στο πλευρικό του τοίχωμα, σε απόσταση 20 cm κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού. Να υπολογίσετε: α) Την ταχύτητα με την οποία βγαίνει το νερό από την τρύπα. β) Πόσο απέχει από το δοχείο το σημείο του δαπέδου στο οποίο φτάνει η φλέβα του νερού. γ) Σε ποιο ύψος από τη βάση του δοχείου πρέπει να ανοιχτεί δεύτερη τρύπα, ώστε η φλέβα του νερού που βγαίνει από αυτή να πέφτει στο ίδιο σημείο με την προηγούμενη. δ) Σε ποιο ύψος από τη βάση του κυλίνδρου πρέπει να ανοίξουμε τρύπα ώστε η φλέβα του νερού να φτάνει στο δάπεδο στη μεγαλύτερη δυνατή απόσταση από το δοχείο. Δίνεται g=10 m/s².

Σκέψη / Μεθοδολογία: Torricelli για την ταχύτητα εκροής, οριζόντια βολή για το βεληνεκές, συμμετρία της συνάρτησης βεληνεκούς R(x)=2√(x(h−x)) ως προς x=h/2 για το ερώτημα (γ), και παραγώγιση (ή απευθείας η γνωστή σχέση x=h/2) για το (δ).

Λύση:

1. α) Βάθος οπής κάτω από την επιφάνεια: 0,2 m. υ=√(2g×0,2)=√(2×10×0,2)=√4=2 m/s.
2. β) Ύψος οπής από τη βάση: x1=h−0,2=1−0,2=0,8 m. Χρόνος πτώσης: t=√(2x1/g)=√(2×0,8/10)=√0,16=0,4 s. Βεληνεκές: R=υ·t=2×0,4=0,8 m.
3. γ) Το βεληνεκές R(x)=2√(x(h−x)) είναι συμμετρικό ως προς x=h/2, δηλαδή R(x)=R(h−x). Η δεύτερη τρύπα πρέπει να είναι στο ύψος x2=h−x1=1−0,8=0,2 m, ώστε R(x2)=R(x1)=0,8 m.
4. δ) Το μέγιστο βεληνεκές επιτυγχάνεται στο x=h/2=1/2=0,5 m (βλ. §3.30).

Απάντηση: α) υ=2 m/s. β) R=0,8 m. γ) Δεύτερη τρύπα στο x2=0,2 m από τη βάση. δ) Μέγιστο βεληνεκές για τρύπα στο x=0,5 m από τη βάση.