Κεφάλαιο 4.2 – Οι Κινήσεις των Στερεών Σωμάτων – Λύσεις (σελ. 134)

Κεφάλαιο 4.2 - Οι Κινήσεις των Στερεών Σωμάτων (σελ. 134)

Άσκηση 4.1

Εκφώνηση: Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής ενός τροχού μεταβάλλεται με τον χρόνο όπως στο σχήμα 4.40α (ω αυξάνεται γραμμικά από το 0, παραμένει σταθερή για ένα διάστημα, μετά μηδενίζεται απότομα). Ποιο διάγραμμα (β, γ, δ, ε) παριστάνει τη γωνιακή επιτάχυνση σε συνάρτηση με τον χρόνο;

Λύση:

• Στο 1ο στάδιο το ω αυξάνεται γραμμικά ⟹ σταθερή θετική κλίση ⟹ α_γων = σταθερή θετική τιμή.
• Στο 2ο στάδιο το ω είναι σταθερό ⟹ κλίση μηδέν ⟹ α_γων = 0.
• Στο 3ο στάδιο το ω μειώνεται απότομα στο μηδέν ⟹ αρνητική κλίση ⟹ α_γων = σταθερή αρνητική τιμή.
• Άρα το ζητούμενο διάγραμμα πρέπει να δείχνει τρία διαδοχικά σταθερά επίπεδα: θετικό, μηδέν, αρνητικό — αυτό είναι το διάγραμμα (δ).

Απάντηση: Το διάγραμμα (δ), που δείχνει βηματική συνάρτηση με σταθερή θετική τιμή, μηδέν, και σταθερή αρνητική τιμή στα τρία αντίστοιχα χρονικά διαστήματα.

Προσοχή:

• Η γωνιακή επιτάχυνση είναι η κλίση του ω(t), όχι η ίδια η τιμή του ω — μην μπερδεύεται σταθερό ω (κλίση μηδέν) με μηδενικό ω.

Άσκηση 4.2

Εκφώνηση: Ένα σώμα κάνει ομαλή στροφική κίνηση. Ποια είναι η γωνιακή του επιτάχυνση;

Λύση:

• Αφού ω = σταθερή, ο ρυθμός μεταβολής της dω/dt είναι μηδέν.

Απάντηση: Μηδέν (α_γων = 0), αφού στην ομαλή στροφική κίνηση η γωνιακή ταχύτητα είναι σταθερή.

Άσκηση 4.3

Εκφώνηση: Δίσκος στρέφεται γύρω από άξονα από το κέντρο του, κάθετο στο επίπεδό του. Το διάγραμμα ω(t) (σχ. 4.41) δείχνει: αύξηση από 0 έως t₂, σταθερό ω από t₂ έως t₃, μείωση έως μηδενισμό στο t₄. α) Η γωνιακή επιτάχυνση στο t₁-t₂ αυξάνεται. β) Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης στο t₄ είναι μικρότερο απ' ό,τι στο t₁. γ) Στο t₁ η γωνιακή επιτάχυνση έχει αντίθετη κατεύθυνση απ' ό,τι στο t₄. δ) Στο t₃ η γωνιακή επιτάχυνση έχει μέτρο μεγαλύτερο απ' ό,τι στο t₁. Ποια πρόταση είναι σωστή;

Λύση:

• Στο διάστημα t₁-t₂ η κλίση του ω(t) είναι σταθερή (ευθεία γραμμή) — δεν 'αυξάνεται', άρα η (α) είναι λάθος.
• Στο διάστημα t₃-t₄ η κλίση είναι αρνητική (ω μειώνεται προς το 0) — η στιγμή t₄ βρίσκεται μέσα σε αυτό το διάστημα, όπου η α_γων έχει σταθερό (μη μηδενικό) αρνητικό μέτρο, ίδιο με κάθε άλλη στιγμή του ίδιου διαστήματος — άρα δεν είναι μικρότερο από το μέτρο στο t₁ εξ ορισμού· αυτό εξαρτάται από τις συγκεκριμένες κλίσεις, οπότε η (β) δεν επιβεβαιώνεται γενικά.
• Στα διαστήματα t₁-t₂ (αύξηση ω) και t₃-t₄ (μείωση ω) οι κλίσεις έχουν αντίθετο πρόσημο — η μία θετική, η άλλη αρνητική — άρα τα διανύσματα της γωνιακής επιτάχυνσης έχουν πράγματι αντίθετη φορά.
• Στο t₃ (μέσα στο σταθερό τμήμα ή ακριβώς στην αρχή της πτώσης) δεν υπάρχει λόγος το μέτρο της α_γων να είναι μεγαλύτερο απ' ό,τι στο t₁, αφού και τα δύο τμήματα είναι ευθύγραμμα με σταθερή (όχι απαραίτητα ίδια, αλλά όχι συγκρίσιμη χωρίς αριθμητικά δεδομένα) κλίση.
• Άρα η μόνη πρόταση που ισχύει οπωσδήποτε από τη γεωμετρία του γραφήματος είναι η (γ).

Απάντηση: Σωστή είναι η πρόταση (γ): τη χρονική στιγμή t₁ το διάνυσμα της γωνιακής επιτάχυνσης έχει αντίθετη κατεύθυνση από ό,τι τη στιγμή t₄, αφού στο πρώτο διάστημα το ω αυξάνεται (θετική α_γων) ενώ στο δεύτερο μειώνεται (αρνητική α_γων).

Προσοχή:

• Χωρίς συγκεκριμένες αριθμητικές τιμές κλίσεων, οι προτάσεις (β) και (δ) που συγκρίνουν μέτρα δεν μπορούν να τεκμηριωθούν με βεβαιότητα — μόνο η (γ), που αφορά φορά/πρόσημο, προκύπτει άμεσα από τη μορφή του γραφήματος.

Άσκηση 4.4

Εκφώνηση: Στερεό στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα. Δύο στοιχειώδεις μάζες του βρίσκονται σε διαφορετικές αποστάσεις από τον άξονα. Ποια από τα μεγέθη α) γραμμική ταχύτητα, β) γωνιακή ταχύτητα, γ) γωνιακή επιτάχυνση, δ) κεντρομόλος επιτάχυνση, έχουν την ίδια τιμή για τις δύο μάζες;

Λύση:

• Η γωνιακή ταχύτητα ω είναι κοινή για όλα τα σημεία ενός άκαμπτου στερεού.
• Η γωνιακή επιτάχυνση α_γων = dω/dt είναι επίσης κοινή, αφού προκύπτει από το κοινό ω(t).
• Η γραμμική ταχύτητα υ=ωr εξαρτάται από την απόσταση r — διαφέρει για τις δύο μάζες.
• Η κεντρομόλος επιτάχυνση α_κ=ω²r εξαρτάται επίσης από το r — διαφέρει.

Απάντηση: Ίδια τιμή έχουν η γωνιακή ταχύτητα (β) και η γωνιακή επιτάχυνση (γ). Η γραμμική ταχύτητα (α) και η κεντρομόλος επιτάχυνση (δ) διαφέρουν, αφού εξαρτώνται από την απόσταση r από τον άξονα.