Κεφάλαιο 4.8 – Διατήρηση της Στροφορμής – Λύσεις (σελ. 138-147)

Κεφάλαιο 4.8 - Διατήρηση της Στροφορμής (σελ. 138-147)

Άσκηση 4.24

Εκφώνηση: Καλλιτέχνης του πατινάζ περιστρέφεται με απλωμένα χέρια και στη συνέχεια τα συμπτύσσει. Ποια πρόταση είναι σωστή: α) η ροπή αδράνειάς του αυξάνεται, β) η στροφορμή του αυξάνεται, γ) η συχνότητα περιστροφής του αυξάνεται, δ) παύει να περιστρέφεται.

Λύση:

• Καμία εξωτερική ροπή δεν ασκείται (ο άξονας είναι κατακόρυφος, οι εσωτερικές δυνάμεις δεν παράγουν συνολική ροπή) ⇒ L=Iω διατηρείται σταθερή.
• Συμπτύσσοντας τα χέρια, η μάζα πλησιάζει τον άξονα, άρα η ροπή αδράνειας I μειώνεται.
• Αφού L=Iω=σταθ. και το I μειώνεται, το ω (άρα και η συχνότητα περιστροφής) πρέπει να αυξηθεί.

Απάντηση: Η συχνότητα περιστροφής του αυξάνεται (επιλογή γ) — η στροφορμή παραμένει σταθερή, ενώ η ροπή αδράνειας μειώνεται.

Άσκηση 4.25

Εκφώνηση: Αν έλιωναν οι πολικοί πάγοι, θα ανέβαινε λίγο η στάθμη της θάλασσας. Τι επίπτωση θα είχε αυτό στη συχνότητα περιστροφής της Γης γύρω από τον άξονά της; Αιτιολογήστε.

Λύση:

• Η μάζα του νερού από τους πόλους (πολύ κοντά στον άξονα περιστροφής, μικρή συνεισφορά στην I) μετακινείται και κατανέμεται σε όλους τους ωκεανούς, αυξάνοντας τη μέση απόσταση από τον άξονα — η ροπή αδράνειας της Γης I αυξάνεται ελαφρώς.
• Η στροφορμή της Γης διατηρείται σταθερή (καμία σημαντική εξωτερική ροπή), άρα L=Iω=σταθ.
• Αφού το I αυξάνεται, το ω (και η συχνότητα περιστροφής) πρέπει να μειωθεί.

Απάντηση: Η συχνότητα περιστροφής της Γης θα μειωνόταν ελαφρώς (η μέρα θα γινόταν λίγο μεγαλύτερη), γιατί η ροπή αδράνειας της Γης θα αυξανόταν καθώς η μάζα του νερού απομακρύνεται από τον άξονα περιστροφής, ενώ η στροφορμή της παραμένει σταθερή.

Άσκηση 4.26

Εκφώνηση: Παιδί σε περιστρεφόμενο (χωρίς τριβές) κάθισμα κρατά κατακόρυφα τον άξονα ενός περιστρεφόμενου τροχού ποδηλάτου. Τι θα συμβεί αν το παιδί στρέψει τον άξονα κατά 180°; Γιατί η δύναμη που απαιτείται είναι πολύ μεγαλύτερη από ό,τι αν ο τροχός ήταν ακίνητος;

Λύση:

• Πριν την αναστροφή, η στροφορμή L_τροχού είναι οριζόντια· δεν υπάρχει καμία κατακόρυφη συνιστώσα στροφορμής στο σύστημα.
• Στρέφοντας τον άξονα κατά 180°, το παιδί αντιστρέφει τη φορά της (οριζόντιας) στροφορμής του τροχού· επειδή δεν ασκείται εξωτερική ροπή ως προς τον κατακόρυφο άξονα (τριβές αμελητέες), το κάθισμα+παιδί αρχίζουν να περιστρέφονται ώστε η συνολική στροφορμή να παραμείνει διατηρημένη.
• Η μεγάλη απαιτούμενη δύναμη οφείλεται στο ότι το παιδί πρέπει να μεταβάλει (να αντιστρέψει) μια σημαντική στροφορμή L_τροχού μέσα σε μικρό χρονικό διάστημα — μεγάλος ρυθμός μεταβολής dL/dt σημαίνει μεγάλη απαιτούμενη ροπή, άρα και δύναμη· όταν ο τροχός είναι ακίνητος, δεν υπάρχει στροφορμή προς αντιστροφή.

Απάντηση: Το κάθισμα με το παιδί αρχίζει να περιστρέφεται (προς την αντίθετη φορά) ώστε η συνολική στροφορμή του συστήματος να διατηρηθεί σταθερή (μηδενική). Η απαιτούμενη δύναμη είναι μεγαλύτερη επειδή το παιδί πρέπει να αντιστρέψει τη (μη μηδενική) στροφορμή του περιστρεφόμενου τροχού, κάτι που απαιτεί μεγάλη ροπή (dL/dt), ενώ με ακίνητο τροχό δεν υπάρχει στροφορμή προς μεταβολή.

Άσκηση 4.27

Εκφώνηση: Οριζόντιος δίσκος 1 στρέφεται με ω γύρω από κατακόρυφο άξονα. Πάνω του αφήνονται να πέσουν δύο όμοιοι δίσκοι 2 και 3 (ακίνητοι). Η γωνιακή ταχύτητα του συστήματος θα είναι: α) ω, β) 2ω, γ) 3ω, δ) ω/2, ε) ω/3.

Λύση:

• Αρχική στροφορμή: L_αρχ=I₁ω (μόνο ο δίσκος 1 περιστρέφεται).
• Τελική ροπή αδράνειας: I_ολ=I₁+I₁+I₁=3I₁ (οι τρεις όμοιοι δίσκοι περιστρέφονται μαζί).
• Διατήρηση στροφορμής: I₁ω=3I₁·ω_τελ ⇒ ω_τελ=ω/3.

Απάντηση: ω_τελ = ω/3 (επιλογή ε).

Άσκηση 4.49

Εκφώνηση: Οριζόντιος δίσκος ακτίνας 20 cm και μάζας 1 kg στρέφεται με συχνότητα 2 Hz γύρω από κατακόρυφο άξονα από το κέντρο του. Λάσπη μάζας 100 g πέφτει και κολλάει στο δίσκο σε απόσταση 10 cm από τον άξονα. Υπολογίστε τη νέα συχνότητα. Δίνεται I=½MR².

Λύση:

• I_δίσκου=½·1·0,2²=0,02 kg·m². I_λάσπης=0,1·0,1²=0,001 kg·m².
• Διατήρηση στροφορμής (ω=2πf, οι σταθερές 2π απλοποιούνται): I_δίσκου·f₁=(I_δίσκου+I_λάσπης)·f₂.
• 0,02·2=(0,02+0,001)·f₂ ⇒ f₂=0,04/0,021≈1,9 Hz.

Απάντηση: f₂ ≈ 1,9 Hz.

Άσκηση 4.60

Εκφώνηση: Οριζόντια ράβδος μήκους L=1 m και μάζας M=0,6 kg στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα στο μέσον της, με I_ράβδου=ML²/12. Σε απόσταση r=0,2 m από τον άξονα βρίσκονται δύο μεταλλικοί δακτύλιοι μάζας m=0,1 kg έκαστος, συνδεδεμένοι με νήμα. Το σύστημα στρέφεται με f₁=10 Hz. Το νήμα σπάει και οι δακτύλιοι ωθούνται (λόγω αδράνειας) στα άκρα της ράβδου. Υπολογίστε τη νέα συχνότητα.

Λύση:

• I_ράβδου=ML²/12=0,6·1/12=0,05 kg·m² (σταθερή σε όλη τη διαδικασία).
• Αρχική ροπή αδράνειας δακτυλίων: I_δ,αρχ=2m·r²=2·0,1·0,2²=0,008 kg·m². I_ολ,αρχ=0,05+0,008=0,058 kg·m².
• Τελική ροπή αδράνειας δακτυλίων (στα άκρα, απόσταση L/2=0,5m): I_δ,τελ=2·0,1·0,5²=0,05 kg·m². I_ολ,τελ=0,05+0,05=0,10 kg·m².
• Διατήρηση στροφορμής: I_ολ,αρχ·f₁=I_ολ,τελ·f₂ ⇒ f₂=0,058·10/0,10=5,8 Hz.

Απάντηση: f₂ = 5,8 Hz.

Προσοχή:

• Το αντίστοιχο πρόβλημα στην ενότητα «Ασκήσεις» της πηγής (id d79070f7) είναι κομμένο στη μέση της πρότασης — χρησιμοποιήθηκε η πλήρης, ταυτόσημη εκδοχή από την ενότητα «Προβλήματα» ως αυθεντική.

Άσκηση 4.71

Εκφώνηση: Ηλεκτρικό τρενάκι μάζας m=2 kg κινείται πάνω σε μεγάλο οριζόντιο τροχό που στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα. Αρχικά και τα δύο ακίνητα. Το τρενάκι αρχίζει να κινείται με ταχύτητα υ=8,4 m/s (ως προς το έδαφος). Δίνεται I_τροχού=11,52 kg·m², R=1,2 m (απόσταση τρενακιού από άξονα). Υπολογίστε τη γωνιακή ταχύτητα του τροχού.

Λύση:

• Αρχική συνολική στροφορμή = 0 (όλα ακίνητα).
• Διατήρηση στροφορμής: m·υ·R = I_τροχού·ω (σε μέτρο, με αντίθετες φορές).
• ω = mυR/I_τροχού = 2·8,4·1,2/11,52 = 20,16/11,52 = 1,75 rad/s.

Απάντηση: ω = 1,75 rad/s (ο τροχός στρέφεται αντίθετα από την κίνηση του τρενακιού).