Κεφάλαιο 4.8 – Διατήρηση της Στροφορμής – Λύσεις (σελ. 138-147)

ΦΥΣΙΚΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΛΥΣΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ασκήσεων Σχολικού Βιβλίου Κεφάλαιο 4.8 – Διατήρηση της Στροφορμής – Λύσεις (σελ. 138-147)

Κεφάλαιο 4.8 - Διατήρηση της Στροφορμής (σελ. 138-147)

Άσκηση 4.24

Εκφώνηση: Καλλιτέχνης του πατινάζ περιστρέφεται με απλωμένα χέρια και στη συνέχεια τα συμπτύσσει. Ποια πρόταση είναι σωστή: α) η ροπή αδράνειάς του αυξάνεται, β) η στροφορμή του αυξάνεται, γ) η συχνότητα περιστροφής του αυξάνεται, δ) παύει να περιστρέφεται.

Λύση:

Καμία εξωτερική ροπή δεν ασκείται (ο άξονας είναι κατακόρυφος, οι εσωτερικές δυνάμεις δεν παράγουν συνολική ροπή) ⇒ L=Iω διατηρείται σταθερή.
Συμπτύσσοντας τα χέρια, η μάζα πλησιάζει τον άξονα, άρα η ροπή αδράνειας I μειώνεται.
Αφού L=Iω=σταθ. και το I μειώνεται, το ω (άρα και η συχνότητα περιστροφής) πρέπει να αυξηθεί.

Απάντηση: Η συχνότητα περιστροφής του αυξάνεται (επιλογή γ) — η στροφορμή παραμένει σταθερή, ενώ η ροπή αδράνειας μειώνεται.

Άσκηση 4.25

Εκφώνηση: Αν έλιωναν οι πολικοί πάγοι, θα ανέβαινε λίγο η στάθμη της θάλασσας. Τι επίπτωση θα είχε αυτό στη συχνότητα περιστροφής της Γης γύρω από τον άξονά της; Αιτιολογήστε.

Λύση:

Η μάζα του νερού από τους πόλους (πολύ κοντά στον άξονα περιστροφής, μικρή συνεισφορά στην I) μετακινείται και κατανέμεται σε όλους τους ωκεανούς, αυξάνοντας τη μέση απόσταση από τον άξονα — η ροπή αδράνειας της Γης I αυξάνεται ελαφρώς.
Η στροφορμή της Γης διατηρείται σταθερή (καμία σημαντική εξωτερική ροπή), άρα L=Iω=σταθ.
Αφού το I αυξάνεται, το ω (και η συχνότητα περιστροφής) πρέπει να μειωθεί.

Απάντηση: Η συχνότητα περιστροφής της Γης θα μειωνόταν ελαφρώς (η μέρα θα γινόταν λίγο μεγαλύτερη), γιατί η ροπή αδράνειας της Γης θα αυξανόταν καθώς η μάζα του νερού απομακρύνεται από τον άξονα περιστροφής, ενώ η στροφορμή της παραμένει σταθερή.

Άσκηση 4.26

Εκφώνηση: Ένα παιδί κάθεται σε κάθισμα το οποίο μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές. Στα χέρια του κρατάει κατακόρυφα τον άξονα ενός τροχού ποδηλάτου. Ο τροχός στρέφεται. Αρχικά το παιδί και το κάθισμα είναι ακίνητα. Τι θα συμβεί, αν το παιδί στρέψει τον άξονα κατά 180°; Εάν πραγματοποιούσατε το πείραμα, θα διαπιστώνατε ότι η δύναμη που απαιτείται για να γυρίσει ανάποδα ο τροχός, όταν στρέφεται, είναι πολύ μεγαλύτερη από τη δύναμη που θα χρειαζόταν αν ήταν ακίνητος. Πώς το εξηγείτε;

Λύση:

Αρχικά το παιδί και το κάθισμα είναι ακίνητα, οπότε η στροφορμή του συστήματος είναι η στροφορμή \(L\) του τροχού, κατακόρυφη.
Όταν το παιδί στρέψει τον άξονα κατά 180°, ο τροχός στρέφεται ανάποδα και η στροφορμή του γίνεται \(-L\).
Από τη διατήρηση της στροφορμής: \(L = -L + L_{\pi}\), άρα το παιδί με το κάθισμα αποκτά στροφορμή \(L_{\pi} = 2L\). Αρχίζουν λοιπόν να περιστρέφονται με φορά ίδια με την αρχική φορά περιστροφής του τροχού.
Για να γυρίσει ανάποδα ο στρεφόμενος τροχός, πρέπει η στροφορμή του να μεταβληθεί κατά \(\Delta L = 2L\). Σύμφωνα με τον θεμελιώδη νόμο \(\tau = \Delta L/\Delta t\), αυτό απαιτεί ροπή, άρα και μεγάλη δύναμη από τα χέρια του παιδιού. Αν ο τροχός ήταν ακίνητος, δεν θα είχε στροφορμή και η αναστροφή του θα απαιτούσε πολύ μικρότερη δύναμη.

Απάντηση: Αρχικά η στροφορμή του συστήματος είναι \(L\) (του τροχού, κατακόρυφη) και διατηρείται, αφού δεν υπάρχει εξωτερική ροπή ως προς τον κατακόρυφο άξονα. Όταν ο άξονας στραφεί κατά 180°, η στροφορμή του τροχού γίνεται \(-L\), άρα το παιδί με το κάθισμα αποκτούν στροφορμή \(2L\) και αρχίζουν να περιστρέφονται με την αρχική φορά περιστροφής του τροχού. Η μεγάλη δύναμη χρειάζεται επειδή πρέπει να μεταβληθεί η στροφορμή του τροχού κατά \(2L\) (\(\tau = \Delta L/\Delta t\)), ενώ ο ακίνητος τροχός δεν έχει στροφορμή.

Πρόσεξε:

Ο άξονας του τροχού είναι κατακόρυφος: η στροφορμή του τροχού έχει την ίδια διεύθυνση με τον άξονα περιστροφής του καθίσματος, γι' αυτό η αναστροφή της θέτει σε περιστροφή το κάθισμα.

Άσκηση 4.27

Εκφώνηση: Οριζόντιος δίσκος 1 στρέφεται με ω γύρω από κατακόρυφο άξονα. Πάνω του αφήνονται να πέσουν δύο όμοιοι δίσκοι 2 και 3 (ακίνητοι). Η γωνιακή ταχύτητα του συστήματος θα είναι: α) ω, β) 2ω, γ) 3ω, δ) ω/2, ε) ω/3.

Λύση:

Αρχική στροφορμή: L_αρχ=I₁ω (μόνο ο δίσκος 1 περιστρέφεται).
Τελική ροπή αδράνειας: I_ολ=I₁+I₁+I₁=3I₁ (οι τρεις όμοιοι δίσκοι περιστρέφονται μαζί).
Διατήρηση στροφορμής: I₁ω=3I₁·ω_τελ ⇒ ω_τελ=ω/3.

Απάντηση: ω_τελ = ω/3 (επιλογή ε).

Άσκηση 4.49

Εκφώνηση: Οριζόντιος δίσκος ακτίνας 20 cm και μάζας 1 kg στρέφεται με συχνότητα 2 Hz γύρω από κατακόρυφο άξονα από το κέντρο του. Λάσπη μάζας 100 g πέφτει και κολλάει στο δίσκο σε απόσταση 10 cm από τον άξονα. Υπολογίστε τη νέα συχνότητα. Δίνεται I=½MR².

Λύση:

I_δίσκου=½·1·0,2²=0,02 kg·m². I_λάσπης=0,1·0,1²=0,001 kg·m².
Διατήρηση στροφορμής (ω=2πf, οι σταθερές 2π απλοποιούνται): I_δίσκου·f₁=(I_δίσκου+I_λάσπης)·f₂.
0,02·2=(0,02+0,001)·f₂ ⇒ f₂=0,04/0,021≈1,9 Hz.

Απάντηση: f₂ ≈ 1,9 Hz.

Άσκηση 4.60

Εκφώνηση: Οριζόντια ράβδος μήκους L=1 m και μάζας M=0,6 kg στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα στο μέσον της, με I_ράβδου=ML²/12. Σε απόσταση r=0,2 m από τον άξονα βρίσκονται δύο μεταλλικοί δακτύλιοι μάζας m=0,1 kg έκαστος, συνδεδεμένοι με νήμα. Το σύστημα στρέφεται με f₁=10 Hz. Το νήμα σπάει και οι δακτύλιοι ωθούνται (λόγω αδράνειας) στα άκρα της ράβδου. Υπολογίστε τη νέα συχνότητα.

Λύση:

I_ράβδου=ML²/12=0,6·1/12=0,05 kg·m² (σταθερή σε όλη τη διαδικασία).
Αρχική ροπή αδράνειας δακτυλίων: I_δ,αρχ=2m·r²=2·0,1·0,2²=0,008 kg·m². I_ολ,αρχ=0,05+0,008=0,058 kg·m².
Τελική ροπή αδράνειας δακτυλίων (στα άκρα, απόσταση L/2=0,5m): I_δ,τελ=2·0,1·0,5²=0,05 kg·m². I_ολ,τελ=0,05+0,05=0,10 kg·m².
Διατήρηση στροφορμής: I_ολ,αρχ·f₁=I_ολ,τελ·f₂ ⇒ f₂=0,058·10/0,10=5,8 Hz.

Απάντηση: f₂ = 5,8 Hz.

Άσκηση 4.71

Εκφώνηση: Ηλεκτρικό τρενάκι μάζας m=2 kg κινείται πάνω σε μεγάλο οριζόντιο τροχό που στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα. Αρχικά και τα δύο ακίνητα. Το τρενάκι αρχίζει να κινείται με ταχύτητα υ=8,4 m/s (ως προς το έδαφος). Δίνεται I_τροχού=11,52 kg·m², R=1,2 m (απόσταση τρενακιού από άξονα). Υπολογίστε τη γωνιακή ταχύτητα του τροχού.

Λύση: