Κεφάλαιο 5.8 – Προώθηση του Πυραύλου (σελ. 181-184) – Λύσεις

Κεφάλαιο 5.8 - Προώθηση του Πυραύλου (σελ. 181-184) — Λύσεις - Απαντήσεις

Άσκηση 5.18 (σελ. 184)

Η προώθηση του πυραύλου στηρίζεται α) στην αρχή διατήρησης της ενέργειας, β) στο νόμο δράσης-αντίδρασης, γ) στην αρχή διατήρησης της ορμής, δ) στην αρχή διατήρησης της στροφορμής. Επιλέξτε τις σωστές απαντήσεις.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η κίνηση του πυραύλου εξηγείται με τη διατήρηση της ορμής του συστήματος πυραύλου+καυσαερίων (μονωμένο σύστημα στο διάστημα)· ισοδύναμα, μπορεί να περιγραφεί μέσω δράσης-αντίδρασης μεταξύ πυραύλου και εκτοξευόμενων αερίων.

Λύση:

1. α) Λάθος — η κινητική ενέργεια του συστήματος αυξάνεται (προέρχεται από τη χημική ενέργεια καυσίμου), δεν διατηρείται σταθερή.
2. β) Σωστό — τα αέρια ωθούνται προς τα πίσω (δράση), ο πύραυλος ωθείται προς τα εμπρός (αντίδραση).
3. γ) Σωστό — η ολική ορμή πυραύλου+καυσαερίων διατηρείται σταθερή (αρχικά μηδενική, αν ο πύραυλος ξεκινά ακίνητος στο διάστημα).
4. δ) Λάθος — η στροφορμή δεν σχετίζεται με την ευθύγραμμη προώθηση του πυραύλου.

Απάντηση: β) και γ) — η προώθηση του πυραύλου στηρίζεται τόσο στο νόμο δράσης-αντίδρασης όσο και (ισοδύναμα) στην αρχή διατήρησης της ορμής.

Άσκηση 5.37 (σελ. 183)

Τα καυσαέρια βγαίνουν από ένα πύραυλο που κινείται στο διάστημα με ρυθμό dm/dt=140 kg/s και σχετική ταχύτητα u=1000 m/s ως προς τον πύραυλο. Να υπολογίσετε την προωστική δύναμη του πυραύλου και την επιτάχυνσή του κάποια χρονική στιγμή που η μάζα του είναι M=10 ton.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η προωστική δύναμη δίνεται από τη σχέση F=u·(dm/dt). Η επιτάχυνση προκύπτει από τον 2ο νόμο του Newton, α=F/M, με τη στιγμιαία μάζα του πυραύλου.

Λύση:

1. F=u·(dm/dt)=1000×140=140.000 N.
2. M=10 ton=10.000 kg.
3. α=F/M=140.000/10.000=14 m/s².

Απάντηση: Η προωστική δύναμη είναι F=140.000 N και η επιτάχυνση εκείνη τη στιγμή α=14 m/s².

Άσκηση 5.38 (σελ. 183)

Ένας πύραυλος ταξιδεύει στο διάστημα και κάποια χρονική στιγμή έχει μάζα 4000 kg, μαζί με τα καύσιμά του. Η ταχύτητα με την οποία εκτοξεύονται τα καυσαέρια είναι 1500 m/s ως προς τον πύραυλο. Πόσα kg καυσαερίων πρέπει να αποβάλλει ανά δευτερόλεπτο ο πύραυλος ώστε να αποκτήσει στιγμιαία επιτάχυνση 15 m/s²;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Από τον 2ο νόμο του Newton, F=Mα, και τη σχέση προωστικής δύναμης F=u·(dm/dt), λύνουμε ως προς dm/dt.

Λύση:

1. F=Mα=4000×15=60.000 N.
2. dm/dt=F/u=60.000/1500=40 kg/s.

Απάντηση: Ο πύραυλος πρέπει να αποβάλλει 40 kg καυσαερίων ανά δευτερόλεπτο.

Άσκηση 5.46 (σελ. 181)

Αερόστατο μάζας M αιωρείται (ισορροπεί) σε ύψος H από το έδαφος. Από το αερόστατο κρέμεται μια ανεμόσκαλα που φτάνει μέχρι το έδαφος. Στο κάτω άκρο της ανεμόσκαλας στέκει άνθρωπος με μάζα m. Αν ο άνθρωπος αρχίσει να σκαρφαλώνει, υπολογίστε πόσο θα κατέβει το αερόστατο μέχρι να φτάσει σ' αυτό. Δίνονται M, m, H.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Όσο ο άνθρωπος σκαρφαλώνει, η άνωση εξακολουθεί να ισορροπεί το ολικό βάρος (το αερόστατο παραμένει σε ισορροπία σε κάθε στιγμή), άρα δεν υπάρχει καθαρή εξωτερική δύναμη στο σύστημα άνθρωπος-αερόστατο, οπότε το κέντρο μάζας του συστήματος παραμένει ακίνητο — ίδια λογική με την προώθηση πυραύλου (εσωτερική ανακατανομή μάζας χωρίς μεταβολή ΚΜ).

Λύση:

1. Έστω a η απόσταση που ανεβαίνει ο άνθρωπος (ως προς το έδαφος) και b η απόσταση που κατεβαίνει το αερόστατο (ως προς το έδαφος), με a+b=H (ο άνθρωπος κλείνει όλο το κενό H μέχρι να φτάσει στο αερόστατο).
2. Διατήρηση θέσης ΚΜ (κατακόρυφα, μηδενική καθαρή εξωτερική δύναμη): m·a=M·b (η άνοδος του ανθρώπου εξισορροπείται από την κάθοδο του αερόστατου, σταθμισμένη με τις μάζες).
3. Από a+b=H: a=H-b. Αντικαθιστούμε: m(H-b)=Mb ⇒ mH-mb=Mb ⇒ mH=b(M+m) ⇒ b=mH/(M+m).

Απάντηση: Το αερόστατο θα κατέβει κατά b=mH/(M+m).