Κεφάλαιο 6.4 – Χωροχρόνος — Λύσεις (σελ. 216-218)

Κεφάλαιο 6.4 - Χωροχρόνος (σελ. 216-218) — Λύσεις

Άσκηση 6.3 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.217.6.3)

Εκφώνηση: Συγκρίνετε τα αποτελέσματα που λαμβάνονται για μετρήσεις μήκους και χρόνου από παρατηρητές σε συστήματα αναφοράς των οποίων η σχετική ταχύτητα είναι c. Με ποια έννοια, από την άποψη αυτή, το c γίνεται οριακή ταχύτητα;

Σκέψη: Εξετάζουμε τι γίνεται στις σχέσεις της διαστολής του χρόνου και της συστολής του μήκους όταν η σχετική ταχύτητα u πλησιάζει το c.

Λύση:

• Διαστολή του χρόνου: Δt = Δt₀/√(1 − u²/c²). Όταν u → c, ο παρονομαστής τείνει στο μηδέν και Δt → ∞.
• Συστολή του μήκους: L = L₀·√(1 − u²/c²). Όταν u → c, L → 0.
• Για u = c οι σχέσεις δεν δίνουν πεπερασμένα αποτελέσματα με φυσικό νόημα.

Απάντηση: Καθώς η σχετική ταχύτητα δύο συστημάτων πλησιάζει το c, ένα χρονικό διάστημα που μετρά ο ένας παρατηρητής φαίνεται στον άλλον να τείνει στο άπειρο («ο χρόνος σταματά»), ενώ ένα μήκος στη διεύθυνση της κίνησης φαίνεται να τείνει στο μηδέν. Για σχετική ταχύτητα ίση με c οι μετρήσεις θα έχαναν κάθε φυσικό νόημα. Με αυτή την έννοια το c είναι οριακή ταχύτητα: κανένα σώμα με μάζα και κανένα σύστημα αναφοράς δεν μπορεί να φτάσει ή να ξεπεράσει την ταχύτητα του φωτός ως προς άλλο αδρανειακό σύστημα.

Πρόσεξε:

• Με ταχύτητα c κινείται μόνο το φως (σωματίδια χωρίς μάζα)· ένα σώμα με μάζα θα χρειαζόταν άπειρη ενέργεια για να φτάσει το c.

Άσκηση 6.12 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.219.6.12)

Εκφώνηση: Υποθέστε ότι ένα βαγόνι κινείται με ταχύτητα u, που πλησιάζει την ταχύτητα του φωτός. Στο μέσον αυτού του βαγονιού παράγονται ταυτόχρονα δύο φωτεινοί παλμοί. Οι παλμοί διαδίδονται κατά τη διεύθυνση x, που συμπίπτει με τη διεύθυνση της κίνησης του βαγονιού, σε αντίθετες κατευθύνσεις, και φτάνουν στις δυο απέναντι πλευρές του βαγονιού A και B. (Σχήμα 6-21: το βαγόνι κινείται προς τα δεξιά· η πλευρά A είναι η μπροστινή και η B η πίσω.) Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι ορθές; α) Ένας παρατηρητής που βρίσκεται μέσα στο βαγόνι βρίσκει ότι οι δυο παλμοί φτάνουν ταυτόχρονα στις πλευρές A και B του βαγονιού. β) Ένας παρατηρητής που βρίσκεται μέσα στο βαγόνι βρίσκει ότι ο παλμός που διαδίδεται προς το B φτάνει πρώτος. γ) Ένας παρατηρητής ακίνητος στο σταθμό βρίσκει ότι οι δυο παλμοί φτάνουν ταυτόχρονα στις πλευρές A και B του βαγονιού. δ) Ο παρατηρητής που βρίσκεται στο σταθμό βρίσκει ότι ο παλμός που διαδίδεται προς το A κινείται με μεγαλύτερη ταχύτητα από αυτόν που ταξιδεύει προς το B. ε) Ο παρατηρητής που βρίσκεται στο σταθμό βρίσκει ότι ο παλμός που διαδίδεται προς το B φτάνει πρώτος.

Σκέψη: Για τον παρατηρητή του βαγονιού η πηγή είναι ακίνητη στο μέσο, οπότε ισχύει συμμετρία. Για τον παρατηρητή του σταθμού εφαρμόζουμε το 2ο αξίωμα: και οι δύο παλμοί κινούνται με c, όμως οι πλευρές A και B μετακινούνται όσο διαδίδεται το φως.

Λύση:

• Παρατηρητής στο βαγόνι: οι αποστάσεις από την πηγή ως τις A και B είναι ίσες και οι δύο παλμοί κινούνται με c, άρα φτάνουν ταυτόχρονα. Η (α) είναι ορθή, η (β) λανθασμένη.
• Παρατηρητής στο σταθμό: και οι δύο παλμοί κινούνται με την ίδια ταχύτητα c (2ο αξίωμα), άρα η (δ) είναι λανθασμένη.
• Όσο διαδίδονται οι παλμοί, η πίσω πλευρά B πλησιάζει τον παλμό που κινείται προς αυτήν, ενώ η μπροστινή πλευρά A απομακρύνεται από τον δικό της παλμό. Ο παλμός προς το B διανύει μικρότερη απόσταση και φτάνει πρώτος: η (ε) είναι ορθή, η (γ) λανθασμένη.

Απάντηση: Ορθές είναι οι προτάσεις (α) και (ε). Για τον παρατηρητή μέσα στο βαγόνι οι παλμοί φτάνουν ταυτόχρονα στις A και B. Για τον παρατηρητή του σταθμού, ο παλμός προς την πίσω πλευρά B φτάνει πρώτος, επειδή η B κινείται προς αυτόν, ενώ και οι δύο παλμοί έχουν την ίδια ταχύτητα c. Δύο γεγονότα ταυτόχρονα σε ένα σύστημα αναφοράς δεν είναι απαραίτητα ταυτόχρονα σε άλλο (σχετικότητα του ταυτόχρονου).

Πρόσεξε:

• Η (δ) είναι παγίδα: η ταχύτητα του φωτός δεν αλλάζει· αλλάζει μόνο η απόσταση που διανύει κάθε παλμός ως την πλευρά του βαγονιού.