Κεφάλαιο 6.5 – Η Σχετικότητα του Χρόνου — Λύσεις (σελ. 216-221)

ΦΥΣΙΚΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΛΥΣΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ασκήσεων Σχολικού Βιβλίου Κεφάλαιο 6.5 – Η Σχετικότητα του Χρόνου — Λύσεις (σελ. 216-221)

Κεφάλαιο 6.5 - Η Σχετικότητα του Χρόνου (σελ. 216-221) — Λύσεις

Άσκηση 6.4 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.218.6.4)

Εκφώνηση: Η χρονική διάρκεια ενός φυσικού φαινομένου στο αδρανειακό σύστημα Σ είναι Δt. Η χρονική διάρκεια Δt' του ίδιου φαινομένου, όταν αυτό παρατηρείται από το αδρανειακό σύστημα Σ' το οποίο κινείται ως προς το πρώτο με ταχύτητα u συγκρίσιμη με την ταχύτητα του φωτός, είναι α) ίση με Δt; β) μεγαλύτερη από Δt; γ) μικρότερη από Δt; Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

Σκέψη: Το φαινόμενο συμβαίνει σε ένα σημείο του Σ, οπότε η Δt είναι ο ίδιος χρόνος του φαινομένου. Κάθε άλλος αδρανειακός παρατηρητής, ως προς τον οποίο το σημείο αυτό κινείται, μετρά μεγαλύτερη διάρκεια (διαστολή του χρόνου).

Λύση:

Διαστολή του χρόνου: Δt' = Δt/√(1 − u²/c²).
Αφού 0 < u < c, ισχύει 0 < √(1 − u²/c²) < 1, άρα Δt' > Δt.

Απάντηση: Σωστή είναι η (β): Δt' > Δt. Η διάρκεια του φαινομένου στο σύστημα όπου αυτό συμβαίνει σε σταθερή θέση (ίδιος χρόνος) είναι η μικρότερη δυνατή· για τον παρατηρητή του Σ', ως προς τον οποίο το φαινόμενο κινείται με ταχύτητα u, η διάρκεια είναι Δt' = Δt/√(1 − u²/c²), δηλαδή μεγαλύτερη.

Πρόσεξε:

Η απάντηση προϋποθέτει ότι το φαινόμενο εξελίσσεται σε ένα σημείο ακίνητο ως προς το Σ, ώστε η Δt να είναι ο ίδιος χρόνος.

Άσκηση 6.5 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.218.6.5)

Εκφώνηση: Ένας παρατηρητής στο αδρανειακό σύστημα Σ διαπιστώνει ότι ένας φάρος ανάβει σε ίσα χρονικά διαστήματα. Θα διαπιστώσει το ίδιο και ένας παρατηρητής που βρίσκεται σε άλλο αδρανειακό σύστημα; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Σκέψη: Ο φάρος είναι ακίνητος στο Σ, άρα η περίοδος T₀ που μετρά ο παρατηρητής του Σ είναι ίδιος χρόνος. Ο άλλος παρατηρητής μετρά κάθε διάστημα διασταλμένο κατά τον ίδιο σταθερό παράγοντα γ.

Λύση:

Για τον παρατηρητή του Σ, κάθε διάστημα ανάμεσα σε δύο αναλαμπές είναι T₀ (ίδιος χρόνος, ο φάρος είναι ακίνητος).
Για παρατηρητή σε σύστημα Σ' που κινείται με σταθερή ταχύτητα u ως προς το Σ, κάθε τέτοιο διάστημα είναι T = T₀/√(1 − u²/c²).
Ο παράγοντας 1/√(1 − u²/c²) είναι ίδιος για όλα τα διαστήματα, αφού η u είναι σταθερή· άρα όλα τα διαστήματα T είναι μεταξύ τους ίσα, αλλά μεγαλύτερα από T₀.

Απάντηση: Ναι. Και ο παρατηρητής του άλλου αδρανειακού συστήματος θα διαπιστώσει ότι ο φάρος ανάβει σε ίσα χρονικά διαστήματα, γιατί κάθε διάστημα T₀ διαστέλλεται κατά τον ίδιο σταθερό παράγοντα: T = T₀/√(1 − u²/c²). Τα διαστήματα που θα μετρήσει θα είναι όμως μεγαλύτερα από αυτά που μετρά ο παρατηρητής του Σ (διαστολή του χρόνου), δηλαδή ο φάρος θα του φαίνεται να αναβοσβήνει πιο αργά.

Πρόσεξε:

Το «ίσα διαστήματα» διατηρείται επειδή η σχετική ταχύτητα των δύο αδρανειακών συστημάτων είναι σταθερή· αλλάζει μόνο η διάρκεια κάθε διαστήματος.

Άσκηση 6.9 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.219.6.9)

Εκφώνηση: Εφόσον ο χρόνος ζωής των μιονίων τούς επιτρέπει να διανύσουν περίπου 600 m προτού διασπασθούν, πώς κατορθώνουν να φτάσουν –από τα ανώτερα στρώματα της ατμόσφαιρας– στην επιφάνεια της Γης;

Σκέψη: Τα περίπου 600 m προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουμε την ταχύτητα των μιονίων (σχεδόν c) με τον ίδιο χρόνο ζωής τους. Επειδή όμως κινούνται με ταχύτητα πολύ κοντά στο c, πρέπει να λάβουμε υπόψη τη διαστολή του χρόνου (ή, ισοδύναμα, τη συστολή του μήκους).

Λύση:

Ο χρόνος ζωής του μιονίου στο σύστημα όπου είναι ακίνητο είναι ίδιος χρόνος Δt₀. Με ταχύτητα σχεδόν c διανύει στον χρόνο αυτό περίπου 600 m.
Για παρατηρητή στη Γη, ο χρόνος ζωής του μιονίου που κινείται με ταχύτητα u είναι Δt = Δt₀/√(1 − u²/c²), πολλές φορές μεγαλύτερος από Δt₀ όταν η u πλησιάζει το c.
Στον διασταλμένο αυτό χρόνο το μιόνιο διανύει απόσταση πολλές φορές μεγαλύτερη από 600 m, αρκετή για να φτάσει στην επιφάνεια της Γης.
Ισοδύναμα, για παρατηρητή που κινείται μαζί με το μιόνιο, το πάχος της ατμόσφαιρας έχει υποστεί συστολή L = L₀·√(1 − u²/c²) και είναι αρκετά μικρό ώστε να διανυθεί μέσα στον ίδιο χρόνο ζωής.

Απάντηση: Λόγω της διαστολής του χρόνου. Τα μιόνια κινούνται με ταχύτητα πολύ κοντά στην ταχύτητα του φωτός, οπότε για παρατηρητή στη Γη ο χρόνος ζωής τους είναι Δt = Δt₀/√(1 − u²/c²), πολύ μεγαλύτερος από τον ίδιο χρόνο ζωής Δt₀. Έτσι διανύουν απόσταση πολύ μεγαλύτερη από τα 600 m και φτάνουν στην επιφάνεια της Γης. Από τη σκοπιά του μιονίου, το ίδιο αποτέλεσμα εξηγείται με τη συστολή του μήκους: το πάχος της ατμόσφαιρας που «βλέπει» το μιόνιο είναι πολύ μικρότερο.

Πρόσεξε:

Τα 600 m υπολογίζονται με τον ίδιο χρόνο ζωής· ο παρατηρητής της Γης πρέπει να χρησιμοποιήσει τον διασταλμένο χρόνο.

Άσκηση 6.20 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.220.6.20)

Εκφώνηση: Επιβάτης διαστημοπλοίου που ταξιδεύει με ταχύτητα 0,99c κοιμάται για 5 min, σύμφωνα με το ρολόι του. Πόση ώρα κοιμήθηκε, σύμφωνα με παρατηρητή στη Γη;

Σκέψη: Τα 5 min τα μετρά το ρολόι του επιβάτη, που είναι ακίνητο ως προς αυτόν: είναι ίδιος χρόνος Δt₀. Ο παρατηρητής της Γης μετρά διασταλμένο χρόνο.

Λύση:

Δεδομένα: Δt₀ = 5 min, u = 0,99c.
√(1 − u²/c²) = √(1 − 0,9801) = √0,0199 ≈ 0,141.
Δt = Δt₀/√(1 − u²/c²) = 5 min/0,141 ≈ 35,5 min.

Απάντηση: Σύμφωνα με τον παρατηρητή στη Γη ο επιβάτης κοιμήθηκε Δt ≈ 35,5 min.

Πρόσεξε:

Ίδιος χρόνος είναι αυτός που μετρά το ρολόι του επιβάτη, γιατί ο ύπνος αρχίζει και τελειώνει στην ίδια θέση του διαστημοπλοίου.

Άσκηση 6.21 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.220.6.21)

Εκφώνηση: Ενοικιαστής ενός σχετικιστικού ποδηλάτου επιστρέφει το ποδήλατο μετά από μία ώρα όπως έδειξε το δικό του ρολόι. Στο γραφείο ενοικιάσεων επιμένουν ότι έλειψε δυο ώρες. Ποιά ήταν η ταχύτητά του;

Σκέψη: Η μία ώρα του ρολογιού του ποδηλάτη είναι ίδιος χρόνος Δt₀· οι δύο ώρες του γραφείου είναι ο διασταλμένος χρόνος Δt. Αγνοούμε τις επιταχύνσεις και θεωρούμε ότι το ποδήλατο κινείται με σταθερή κατά μέτρο ταχύτητα u.

Λύση:

Δεδομένα: Δt₀ = 1 h, Δt = 2 h.
Δt = Δt₀/√(1 − u²/c²) ⇒ √(1 − u²/c²) = Δt₀/Δt = 1/2.
1 − u²/c² = 1/4 ⇒ u²/c² = 3/4 ⇒ u = (√3/2)·c ≈ 0,87c.

Απάντηση: Η ταχύτητα του ποδηλάτη ήταν u = (√3/2)·c ≈ 0,87c.

Άσκηση 6.22 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.220.6.22)

Εκφώνηση: Θέλετε να ενοικιάσετε έναν πύραυλο - ταξί που ταξιδεύει με ταχύτητα 0,5c. Η χρέωση γίνεται με την ώρα. Πόσο τοις εκατό ακριβότερη θα είναι μια διαδρομή αν η ώρα του ταξιδιού μετρηθεί με το ρολόι του γραφείου ενοικίασης που εδρεύει στη Γη από ό,τι αν μετρηθεί με το ρολόι του πιλότου - ταξιτζή;

Σκέψη: Το ρολόι του πιλότου κινείται μαζί με τον πύραυλο και μετρά ίδιο χρόνο Δt₀· το ρολόι του γραφείου στη Γη μετρά διασταλμένο χρόνο Δt. Η χρέωση είναι ανάλογη του χρόνου, άρα η ποσοστιαία διαφορά κόστους ισούται με (Δt − Δt₀)/Δt₀.

Λύση:

√(1 − u²/c²) = √(1 − 0,25) = √0,75 ≈ 0,866.
Δt/Δt₀ = 1/0,866 ≈ 1,155.
(Δt − Δt₀)/Δt₀ = 1,155 − 1 = 0,155, δηλαδή 15,5%.

Απάντηση: Η διαδρομή θα είναι περίπου 15,5% ακριβότερη αν ο χρόνος μετρηθεί με το ρολόι του γραφείου στη Γη.

Άσκηση 6.28 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.221.6.28)

Εκφώνηση: Ο πληθυσμός ενός είδους βακτηριδίου διπλασιάζεται κάθε 20 μέρες. Δύο από αυτά τα βακτηρίδια τοποθετούνται σ’ ένα διαστημόπλοιο και ταξιδεύουν για 1000 γήινες ημέρες με ταχύτητα 0,995c ως προς τη Γη. Πόσα βακτηρίδια θα υπάρχουν μέσα στο διαστημόπλοιο όταν επιστρέψει στη Γη; Πόσα θα υπήρχαν αν το διαστημόπλοιο παρέμενε αυτές τις 1000 μέρες στη Γη; Αγνοήστε τις επιταχύνσεις και επιβραδύνσεις που πρέπει να υποστεί το διαστημόπλοιο στη διάρκεια του ταξιδιού.

Σκέψη: Οι 20 μέρες του διπλασιασμού είναι ίδιος χρόνος για τα βακτηρίδια. Οι 1000 γήινες ημέρες είναι ο χρόνος της Γης· στο διαστημόπλοιο περνά ο μικρότερος ίδιος χρόνος Δt₀ = Δt·√(1 − u²/c²). Ο αριθμός των διπλασιασμών είναι ο χρόνος που περνά για τα βακτηρίδια διά 20 μέρες.

Λύση:

√(1 − u²/c²) = √(1 − 0,995²) = √(1 − 0,990025) = √0,009975 ≈ 0,0999 ≈ 0,1.
Χρόνος στο διαστημόπλοιο: Δt₀ = 1000 μέρες · 0,0999 ≈ 100 μέρες.
Διπλασιασμοί στο διαστημόπλοιο: 100/20 = 5, άρα N = 2·2⁵ = 64 βακτηρίδια.
Αν έμεναν στη Γη: 1000/20 = 50 διπλασιασμοί, άρα N = 2·2⁵⁰ = 2⁵¹ βακτηρίδια.

Απάντηση: Όταν το διαστημόπλοιο επιστρέψει, μέσα του θα υπάρχουν 64 βακτηρίδια (για αυτά πέρασαν μόνο περίπου 100 μέρες, δηλαδή 5 διπλασιασμοί). Αν το διαστημόπλοιο είχε μείνει στη Γη, θα υπήρχαν 2·2⁵⁰ = 2⁵¹ βακτηρίδια (50 διπλασιασμοί).

Πρόσεξε:

Ο πληθυσμός ξεκινά από 2 βακτηρίδια, γι' αυτό μετά από n διπλασιασμούς είναι 2·2ⁿ = 2ⁿ⁺¹.

Άσκηση 6.31 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.222.6.31)

Εκφώνηση: Μια δέσμη ραδιενεργών σωματιδίων παρατηρείται καθώς διασχίζει το εργαστήριο. Βρέθηκε ότι κάθε σωματίδιο «ζει» κατά μέσο όρο για ένα χρονικό διάστημα 20 ns. Όταν τα ίδια σωματίδια βρίσκονται σε ηρεμία στο εργαστήριο, ζουν κατά μέσο όρο 7,5 ns. Ποια είναι η ταχύτητα των σωματιδίων της δέσμης; Δίνεται c = 3·10⁸ m/s.

Σκέψη: Τα 7,5 ns είναι ο ίδιος χρόνος ζωής Δt₀ (σωματίδια σε ηρεμία)· τα 20 ns είναι ο διασταλμένος χρόνος Δt που μετρά το εργαστήριο για τα κινούμενα σωματίδια.

Λύση: