Κεφάλαιο 6.6 – Η Σχετικότητα του Μήκους — Λύσεις (σελ. 217-220)

Κεφάλαιο 6.6 - Η Σχετικότητα του Μήκους (σελ. 217-220) — Λύσεις

Άσκηση 6.6 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.218.6.6)

Εκφώνηση: Ένα διαστημόπλοιο απομακρύνεται από τη Γη με ταχύτητα που πλησιάζει την ταχύτητα του φωτός. Ένας παρατηρητής ακίνητος στη Γη, μετράει το μήκος του διαστημόπλοιου. Το ίδιο κάνει και ένας παρατηρητής μέσα στο διαστημόπλοιο. Συμφωνούν τα αποτελέσματα των μετρήσεών τους; Αν όχι, ποιος βρίσκει μεγαλύτερη τιμή για το μήκος;

Σκέψη: Ο παρατηρητής μέσα στο διαστημόπλοιο είναι ακίνητος ως προς αυτό και μετρά το ίδιο μήκος L₀. Ο παρατηρητής της Γης μετρά το μήκος ενός κινούμενου σώματος στη διεύθυνση της κίνησής του, άρα μετρά συστολή μήκους.

Λύση:

• Παρατηρητής στο διαστημόπλοιο: μετρά το ίδιο μήκος L₀.
• Παρατηρητής στη Γη: μετρά L = L₀·√(1 − u²/c²).
• Αφού u κοντά στο c, √(1 − u²/c²) < 1, άρα L < L₀.

Απάντηση: Όχι, τα αποτελέσματα δεν συμφωνούν. Ο παρατηρητής μέσα στο διαστημόπλοιο μετρά το ίδιο μήκος L₀, ενώ ο παρατηρητής της Γης μετρά μικρότερο μήκος L = L₀·√(1 − u²/c²) (συστολή του μήκους). Μεγαλύτερη τιμή βρίσκει ο παρατηρητής μέσα στο διαστημόπλοιο.

Πρόσεξε:

• Η συστολή αφορά μόνο τη διάσταση που είναι παράλληλη στη διεύθυνση της κίνησης· το μήκος του διαστημοπλοίου είναι αυτή η διάσταση.

Άσκηση 6.7 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.218.6.7)

Εκφώνηση: Συστολή μήκους είναι το φαινόμενο κατά το οποίο: α) Ο παρατηρητής της Γης διαπιστώνει ότι το διαστημόπλοιο που ταξιδεύει έχει μικρότερο μήκος από αυτό που είχε όταν το μέτρησε ακίνητο στη Γη. β) Ο αστροναύτης διαπιστώνει ότι στη διάρκεια του ταξιδιού του το διαστημόπλοιο έχει μικρότερο μήκος από αυτό που είχε όταν το μέτρησε ακίνητο στη Γη. Ποια από τις προτάσεις είναι ορθή;

Σκέψη: Συστολή μήκους μετρά παρατηρητής ως προς τον οποίο το αντικείμενο κινείται. Ο αστροναύτης είναι πάντα ακίνητος ως προς το διαστημόπλοιό του.

Λύση:

• Για τον παρατηρητή της Γης το διαστημόπλοιο κινείται, άρα μετρά L = L₀·√(1 − u²/c²) < L₀: η (α) είναι ορθή.
• Ο αστροναύτης είναι ακίνητος ως προς το διαστημόπλοιο και μετρά πάντα το ίδιο μήκος L₀, όπως και όταν ήταν στη Γη. Επιπλέον, σύμφωνα με το 1ο αξίωμα, κανένα πείραμα μέσα στο διαστημόπλοιο δεν μπορεί να δείξει την κίνησή του: η (β) είναι λανθασμένη.

Απάντηση: Ορθή είναι η (α). Συστολή μήκους διαπιστώνει ο παρατηρητής της Γης, για τον οποίο το διαστημόπλοιο κινείται. Ο αστροναύτης, ακίνητος ως προς το διαστημόπλοιο, μετρά κατά τη διάρκεια του ταξιδιού το ίδιο μήκος που είχε μετρήσει στη Γη.

Άσκηση 6.8 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.219.6.8)

Εκφώνηση: Ακίνητος παρατηρητής A μετράει τις διαστάσεις ενός αντικειμένου ακίνητου ως προς αυτόν και συμπεραίνει ότι πρόκειται για κύβο ακμής d. Ένας δεύτερος παρατηρητής B, που κινείται με ταχύτητα η οποία πλησιάζει την ταχύτητα του φωτός, σε διεύθυνση παράλληλη σε μια ακμή του στερεού, θα καταλήξει στο συμπέρασμα ότι: α) πρόκειται για κύβο με ακμή d. β) πρόκειται για κύβο με ακμή μικρότερη από d. γ) πρόκειται για κύβο με ακμή μεγαλύτερη από d. δ) οι δύο διαστάσεις του στερεού είναι d αλλά η τρίτη είναι μεγαλύτερη. ε) οι δύο διαστάσεις του στερεού είναι d αλλά η τρίτη είναι μικρότερη. Επιλέξτε το σωστό.

Σκέψη: Για τον παρατηρητή B ο κύβος κινείται. Η συστολή μήκους συμβαίνει μόνο στη διεύθυνση της κίνησης· οι διαστάσεις κάθετα σε αυτήν δεν αλλάζουν.

Λύση:

• Η ακμή που είναι παράλληλη στη σχετική ταχύτητα γίνεται d' = d·√(1 − u²/c²) < d.
• Οι δύο ακμές που είναι κάθετες στην ταχύτητα παραμένουν d.
• Άρα ο B βλέπει ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με διαστάσεις d, d και μικρότερη τρίτη διάσταση.

Απάντηση: Σωστή είναι η (ε): οι δύο διαστάσεις του στερεού είναι d, αλλά η τρίτη, αυτή που είναι παράλληλη στη διεύθυνση της κίνησης, είναι μικρότερη, d·√(1 − u²/c²).

Πρόσεξε:

• Η συστολή μήκους δεν επηρεάζει τις διαστάσεις που είναι κάθετες στη διεύθυνση της κίνησης.

Άσκηση 6.13 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.219.6.13)

Εκφώνηση: Ένας ακίνητος παρατηρητής βλέπει να περνάει μπροστά του με πολύ μεγάλη ταχύτητα ένα κυκλικό αντικείμενο. Το αντικείμενο κινείται στη διεύθυνση x και το επίπεδό του βρίσκεται στο επίπεδο x, y. Τι σχήμα έχει το αντικείμενο, για κάποιον που κινείται μαζί με αυτό;

Σκέψη: Ο ακίνητος παρατηρητής μετρά τη διάσταση κατά x συσταλμένη, ενώ τη διάσταση κατά y αμετάβλητη. Αφού σε αυτόν το αντικείμενο φαίνεται κυκλικό (διάμετρος D και στις δύο διευθύνσεις), στο σύστημα ηρεμίας του η διάσταση κατά x πρέπει να είναι μεγαλύτερη από D.

Λύση:

• Για τον ακίνητο παρατηρητή: διάσταση κατά x = D, διάσταση κατά y = D.
• Η διάσταση κατά y είναι κάθετη στην κίνηση, άρα είναι ίδια και στο σύστημα ηρεμίας: D.
• Η διάσταση κατά x είναι συσταλμένη: D = D₀·√(1 − u²/c²) ⇒ D₀ = D/√(1 − u²/c²) > D.

Απάντηση: Για κάποιον που κινείται μαζί με το αντικείμενο, αυτό δεν είναι κυκλικό αλλά ελλειπτικό: έχει διάσταση D κατά y και μεγαλύτερη διάσταση D/√(1 − u²/c²) κατά x. Ο μεγάλος άξονας της έλλειψης είναι στη διεύθυνση της κίνησης· μόνο εξαιτίας της συστολής μήκους κατά x φαίνεται κυκλικό στον ακίνητο παρατηρητή.

Πρόσεξε:

• Το σχήμα που μετρά ο ακίνητος παρατηρητής είναι το συσταλμένο· το πραγματικό σχήμα ηρεμίας είναι «τεντωμένο» κατά τη διεύθυνση της κίνησης.

Άσκηση 6.19 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.220.6.19)

Εκφώνηση: Ένα ορθογώνιο τραπέζι διαστάσεων 10 m × 20 m βρίσκεται μέσα σε διαφανές διαστημόπλοιο με τη μεγάλη του πλευρά παράλληλη στη διεύθυνση κίνησης του διαστημόπλοιου. Με τι ταχύτητα πρέπει να περάσει από μπροστά μας το διαστημόπλοιο ώστε το τραπέζι να μας φανεί τετράγωνο;

Σκέψη: Μόνο η πλευρά των 20 m, που είναι παράλληλη στην κίνηση, υφίσταται συστολή. Το τραπέζι φαίνεται τετράγωνο όταν η πλευρά αυτή γίνει 10 m, όσο η κάθετη πλευρά.

Λύση:

• L₀ = 20 m, απαιτούμενο L = 10 m.
• L = L₀·√(1 − u²/c²) ⇒ √(1 − u²/c²) = 10/20 = 1/2.
• 1 − u²/c² = 1/4 ⇒ u = (√3/2)·c ≈ 0,87c.

Απάντηση: Το διαστημόπλοιο πρέπει να περάσει με ταχύτητα u = (√3/2)·c ≈ 0,87c.

Πρόσεξε:

• Η πλευρά των 10 m είναι κάθετη στην κίνηση και δεν αλλάζει.

Άσκηση 6.27 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.221.6.27)

Εκφώνηση: Ένα διαστημόπλοιο σε ηρεμία, στη Γη, έχει μήκος 100 m. Ένας παρατηρητής στη Γη μετράει ότι όταν το διαστημόπλοιο κινείται χρειάζεται 4 μs για να περάσει από μπροστά του. Ποια η ταχύτητα του διαστημόπλοιου ως προς τη Γη;

Σκέψη: Ο παρατηρητής της Γης βλέπει το διαστημόπλοιο με συσταλμένο μήκος L = L₀·√(1 − u²/c²). Στο σύστημά του, το διαστημόπλοιο διανύει το μήκος L σε χρόνο Δt = 4 μs με ταχύτητα u, άρα L = u·Δt.

Λύση:

• L₀ = 100 m, Δt = 4·10⁻⁶ s, c = 3·10⁸ m/s.
• u·Δt = L₀·√(1 − u²/c²). Θέτουμε u = βc: β·3·10⁸·4·10⁻⁶ = 100·√(1 − β²) ⇒ 1200β = 100·√(1 − β²).
• 12β = √(1 − β²) ⇒ 144β² = 1 − β² ⇒ 145β² = 1 ⇒ β = 1/√145 ≈ 0,083.

Απάντηση: Η ταχύτητα του διαστημοπλοίου ως προς τη Γη είναι u ≈ 0,083c (περίπου 2,5·10⁷ m/s).

Πρόσεξε:

• Αν αγνοήσουμε τη συστολή, u = 100 m/4 μs = 2,5·10⁷ m/s ≈ 0,083c· σε αυτή την ταχύτητα η διόρθωση είναι αμελητέα (√(1 − β²) ≈ 0,997).