Κεφάλαιο 6.6 – Η Σχετικότητα του Μήκους — Λύσεις (σελ. 217-220)

Κεφάλαιο 6.6 - Η Σχετικότητα του Μήκους (σελ. 217-220) — Λύσεις

Άσκηση 6.6 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.218.6.6)

Εκφώνηση: Τι ονομάζουμε «ίδιο μήκος» ενός αντικειμένου, και πώς συγκρίνεται με το μήκος του όπως το μετρά παρατηρητής ως προς τον οποίο το αντικείμενο κινείται;

Σκέψη: Το ίδιο μήκος l0 είναι το μήκος μετρημένο σε σύστημα όπου το αντικείμενο είναι ακίνητο. Κάθε άλλος παρατηρητής μετρά μικρότερο μήκος (μόνο στη διεύθυνση κίνησης).

Λύση:

• Δίνουμε τον ορισμό και συγκρίνουμε με τη σχέση l=l0√(1-υ²/c²).

Απάντηση: Ίδιο μήκος l0 ονομάζεται το μήκος ενός αντικειμένου όπως το μετρά παρατηρητής ως προς τον οποίο το αντικείμενο είναι ακίνητο — είναι η μέγιστη δυνατή τιμή του μήκους. Κάθε άλλος αδρανειακός παρατηρητής, ως προς τον οποίο το αντικείμενο κινείται με ταχύτητα υ, μετρά μικρότερο μήκος στη διεύθυνση κίνησης: l=l0√(1-υ²/c²)<l0 (συστολή μήκους). Οι διαστάσεις κάθετα στην κίνηση παραμένουν αμετάβλητες.

Άσκηση 6.7 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.218.6.7)

Εκφώνηση: Ράβδος κινείται με ταχύτητα υ παράλληλα προς τον διαμήκη άξονά της. Η συστολή μήκους που παρατηρεί ένας ακίνητος παρατηρητής αφορά: α) όλες τις διαστάσεις της ράβδου εξίσου, β) μόνο τη διάσταση παράλληλη στην κίνηση, γ) μόνο τις διαστάσεις κάθετα στην κίνηση.

Σκέψη: Η συστολή Lorentz επηρεάζει μόνο τη διεύθυνση της σχετικής κίνησης.

Λύση:

• Μόνο το μήκος στη διεύθυνση κίνησης συστέλλεται· πλάτος/ύψος κάθετα στην κίνηση μένουν ίδια.

Απάντηση: Σωστό είναι το (β): η συστολή μήκους αφορά ΜΟΝΟ τη διάσταση παράλληλη στη διεύθυνση της σχετικής κίνησης. Διαστάσεις κάθετα στην κίνηση παραμένουν αναλλοίωτες.

Άσκηση 6.8 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.219.6.8)

Εκφώνηση: Ράβδος με ίδιο μήκος l0 και ίδια μάζα m0 κινείται με ταχύτητα υ παράλληλα στον άξονά της. Παρατηρητής ως προς τον οποίο κινείται μετρά την πυκνότητά της (μάζα/όγκο, θεωρώντας τη μάζα αναλλοίωτη) ως: α) ίδια με του συστήματος ηρεμίας, β) μεγαλύτερη, γ) μικρότερη.

Σκέψη: Ο όγκος μικραίνει (μόνο το μήκος συστέλλεται, οι άλλες δύο διαστάσεις μένουν ίδιες) ενώ η μάζα (εδώ θεωρούμενη σταθερή/ίδια μάζα ηρεμίας) παραμένει η ίδια, άρα η πυκνότητα (m/V) αυξάνεται.

Λύση:

• V=V0√(1-υ²/c²)<V0, ενώ m=m0 (σταθερή)· άρα ρ=m/V > m0/V0=ρ0.

Απάντηση: Σωστό είναι το (β): η πυκνότητα μετριέται μεγαλύτερη. Ο όγκος της ράβδου μικραίνει λόγω συστολής μήκους (μόνο η διάσταση παράλληλα στην κίνηση συστέλλεται), ενώ η μάζα παραμένει η ίδια — άρα η πυκνότητα m/V αυξάνεται.

Πρόσεξε:

• Εδώ εξετάζεται μόνο η μεταβολή όγκου λόγω γεωμετρικής συστολής, όχι τυχόν σχετικιστικές επιδράσεις στη μάζα.

Άσκηση 6.13 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.219.6.13)

Εκφώνηση: Δίσκος κινείται με ταχύτητα υ, κάθετη στο επίπεδό του (δηλαδή η κίνηση είναι κατά τη διεύθυνση του άξονά του συμμετρίας, όχι μέσα στο επίπεδο του δίσκου). Πώς εμφανίζεται το σχήμα του σε ακίνητο παρατηρητή; α) Ελλειπτικό, β) Παραμένει κύκλος, γ) Γίνεται σημείο.

Σκέψη: Η συστολή Lorentz επηρεάζει μόνο τη διεύθυνση κίνησης. Αν η κίνηση είναι κάθετη στο επίπεδο του δίσκου, καμία διάσταση ΜΕΣΑ στο επίπεδο του δίσκου (δηλαδή η διάμετρός του) δεν επηρεάζεται.

Λύση:

• Καμία διάσταση εντός του επιπέδου του δίσκου δεν είναι παράλληλη στην ταχύτητα, άρα καμία δεν συστέλλεται.

Απάντηση: Σωστό είναι το (β): ο δίσκος παραμένει κύκλος. Η συστολή Lorentz επηρεάζει μόνο τη διάσταση παράλληλη στην ταχύτητα· εδώ η κίνηση είναι κάθετη στο επίπεδο του δίσκου, άρα καμία διάμετρος (που βρίσκεται μέσα στο επίπεδο) δεν συστέλλεται — μόνο το (αμελητέο εδώ, αν θεωρηθεί λεπτός) πάχος του θα συστελλόταν.

Άσκηση 6.19 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.220.6.19)

Εκφώνηση: Διαστημόπλοιο έχει ίδιο μήκος l0=65 m. Παρατηρητής στη Γη το βλέπει να περνά με ταχύτητα υ=0,8c. Να βρεθεί το μήκος του διαστημόπλοιου όπως το μετρά ο παρατηρητής στη Γη.

Σκέψη: l=l0√(1-υ²/c²), με υ/c=0,8 ⇒ √(1-0,64)=√0,36=0,6.

Λύση:

• l = 65 × 0,6 = 39 m.

Απάντηση: l = 65 m × 0,6 = 39 m.

Άσκηση 6.27 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.221.6.27)

Εκφώνηση: Παρατηρητής στη Γη μετρά το μήκος διερχόμενου διαστημοπλοίου ίσο με το 99,65% του ίδιου μήκους του. Να βρεθεί η ταχύτητα του διαστημόπλοιου ως προς τη Γη.

Σκέψη: l/l0=0,9965=√(1-υ²/c²) ⇒ 1-υ²/c²=0,9965²=0,99301 ⇒ υ²/c²=0,00699 ⇒ υ/c=√0,00699≈0,0836.

Λύση:

• υ/c = √(1-0,9965²) = √0,006990 ≈ 0,0836 ⇒ υ≈0,083c.

Απάντηση: υ ≈ 0,083c (περίπου 8,3% της ταχύτητας του φωτός).