Εκφώνηση: Από διαστημόπλοιο εκτοξεύεται πύραυλος στη διεύθυνση της κίνησής του. Σε ποια περίπτωση η ταχύτητα του πυραύλου για έναν παρατηρητή στη Γη είναι μεγαλύτερη. α) Αν το διαστημόπλοιο κινείται ή β) Αν το διαστημόπλοιο είναι ακίνητο ως προς τη Γη;

Σκέψη: Αν ο πύραυλος εκτοξεύεται με ταχύτητα u' ως προς το διαστημόπλοιο και το διαστημόπλοιο κινείται με u ως προς τη Γη, η ταχύτητα του πυραύλου ως προς τη Γη δίνεται από τον μετασχηματισμό ταχυτήτων Lorentz.

Λύση:

Διαστημόπλοιο ακίνητο: η ταχύτητα του πυραύλου ως προς τη Γη είναι u'.
Διαστημόπλοιο με ταχύτητα u (ίδια κατεύθυνση): υ = (u' + u)/(1 + u'u/c²).
υ − u' = [u' + u − u' − u'²u/c²]/(1 + u'u/c²) = u·(1 − u'²/c²)/(1 + u'u/c²) > 0, αφού u' < c.
Άρα υ > u', αλλά πάντα υ < c.

Απάντηση: Στην περίπτωση (α). Όταν το διαστημόπλοιο κινείται, η ταχύτητα του πυραύλου ως προς τη Γη είναι υ = (u' + u)/(1 + u'u/c²), μεγαλύτερη από την ταχύτητα u' που θα είχε αν το διαστημόπλοιο ήταν ακίνητο. Δεν ισούται όμως με το άθροισμα u' + u, όπως στην κλασική Φυσική, και δεν ξεπερνά ποτέ την ταχύτητα του φωτός.

Πρόσεξε:

Η κλασική πρόσθεση ταχυτήτων u' + u ισχύει μόνο κατά προσέγγιση, όταν οι ταχύτητες είναι πολύ μικρότερες από c.

Άσκηση 6.11 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.219.6.11)

Εκφώνηση: Να απαντήσετε στην προηγούμενη ερώτηση αν αντικαταστήσετε τον πύραυλο με ένα φωτεινό παλμό.

Σκέψη: Σύμφωνα με το 2ο αξίωμα, η ταχύτητα του φωτός είναι ίδια σε όλα τα αδρανειακά συστήματα, ανεξάρτητα από την κίνηση της πηγής.

Λύση:

Διαστημόπλοιο ακίνητο: ο παλμός κινείται ως προς τη Γη με c.
Διαστημόπλοιο με ταχύτητα u: υ = (c + u)/(1 + cu/c²) = (c + u)/[(c + u)/c] = c.

Απάντηση: Ο φωτεινός παλμός έχει ως προς τη Γη την ίδια ταχύτητα c και στις δύο περιπτώσεις, είτε το διαστημόπλοιο κινείται είτε είναι ακίνητο. Αυτό προκύπτει από το 2ο αξίωμα της σχετικότητας και επιβεβαιώνεται από τον μετασχηματισμό ταχυτήτων Lorentz: (c + u)/(1 + u/c) = c.

Άσκηση 6.29 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.222.6.29)

Εκφώνηση: Δύο πύραυλοι A και B ταξιδεύουν σε αντίθετες κατευθύνσεις με ταχύτητες 0,8c και 0,6c, αντίστοιχα, ως προς τη Γη. Ποια η ταχύτητα του πυραύλου A ως προς το αδρανειακό σύστημα του πυραύλου B;

Σκέψη: Παίρνουμε θετική φορά την κατεύθυνση του A: υ_A = +0,8c, υ_B = −0,6c. Η ταχύτητα του A στο σύστημα του B (που κινείται με u = υ_B ως προς τη Γη) δίνεται από τον μετασχηματισμό ταχυτήτων Lorentz υ' = (υ − u)/(1 − υu/c²).

Λύση:

υ' = (0,8c − (−0,6c))/(1 − (0,8c)(−0,6c)/c²) = 1,4c/(1 + 0,48).
υ' = 1,4c/1,48 ≈ 0,946c.

Απάντηση: Η ταχύτητα του πυραύλου A ως προς το σύστημα του πυραύλου B είναι υ' ≈ 0,946c, μικρότερη από c (και όχι 1,4c, όπως θα έδινε η κλασική πρόσθεση).

Πρόσεξε: