Απάντηση: Όχι. Παρόλο που η ταχύτητα ενός σωματιδίου με μάζα δεν μπορεί να φτάσει το c, η ορμή του p = mu/√(1 − u²/c²) και η κινητική του ενέργεια K = mc²/√(1 − u²/c²) − mc² αυξάνονται χωρίς όριο καθώς η ταχύτητα πλησιάζει το c. Γι' αυτό, για να φτάσει ένα σώμα την ταχύτητα του φωτός θα χρειαζόταν άπειρη ενέργεια.

Πρόσεξε:

Στην κλασική Φυσική ορμή και κινητική ενέργεια θα είχαν άνω όριο (mc και ½mc²)· στη σχετικότητα δεν έχουν.

Άσκηση Δ.2 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.217.Δ.2)

Εκφώνηση: Τελικά δεν ήταν και τόσο δύσκολο... Μια παράσταση της μορφής (1 + x)ⁿ μπορεί να εκφρασθεί ως άθροισμα όρων ως εξής: (1 + x)ⁿ = 1 + nx + [n(n − 1)/(1·2)]x² + [n(n − 1)(n − 2)/(1·2·3)]x³ + ... Με τη βοήθεια της παραπάνω μαθηματικής σχέσης προσπαθήστε να δείξετε ότι η σχέση K = mc²/√(1 − u²/c²) − mc² για u ≪ c δίνει K = ½mu².

Σκέψη: Γράφουμε 1/√(1 − u²/c²) = (1 − u²/c²)^(−1/2) και εφαρμόζουμε το ανάπτυγμα με n = −1/2 και x = −u²/c². Για u ≪ c το x είναι πολύ μικρό, οπότε κρατάμε μόνο τους δύο πρώτους όρους.

Λύση:

(1 − u²/c²)^(−1/2) = 1 + (−1/2)(−u²/c²) + (−1/2)(−3/2)/2² + ... = 1 + u²/(2c²) + (3/8)(u⁴/c⁴) + ...
Για u ≪ c οι όροι με u⁴/c⁴ και μεγαλύτερες δυνάμεις είναι αμελητέοι: (1 − u²/c²)^(−1/2) ≈ 1 + u²/(2c²).
K = mc²·(1 − u²/c²)^(−1/2) − mc² ≈ mc²·[1 + u²/(2c²)] − mc².
K ≈ mc² + ½mu² − mc² = ½mu².

Απάντηση: Με n = −1/2 και x = −u²/c² είναι (1 − u²/c²)^(−1/2) ≈ 1 + u²/(2c²) για u ≪ c. Τότε K = mc²·[1 + u²/(2c²)] − mc² = ½mu². Άρα για ταχύτητες πολύ μικρότερες από την ταχύτητα του φωτός η σχετικιστική κινητική ενέργεια ταυτίζεται με την κλασική έκφραση ½mu².

Πρόσεξε: