Κεφάλαιο 7.5 – Η κυματική φύση της ύλης – Λύσεις (σελ. 249-252)

§7.5 Η κυματική φύση της ύλης — Λύσεις (σελ. 249-252)

Άσκηση 7.11

Εκφώνηση: Ένα ηλεκτρόνιο, ένα σωμάτιο άλφα και ένα νετρόνιο κινούνται με ταχύτητες αρκετά μικρότερες από την ταχύτητα του φωτός και έχουν την ίδια κινητική ενέργεια. Σε ποιο από τα σωματίδια αντιστοιχεί το μεγαλύτερο και σε ποιο το μικρότερο μήκος κύματος de Broglie;

Λύση:

• p=√(2mK), λ=h/p=h/√(2mK) — αντιστρόφως ανάλογο της √m.
• Συγκρίνουμε μάζες: m_e<m_n<m_α.
• Άρα λ_e>λ_n>λ_α.

Απάντηση: Από K=p²/2m έχουμε p=√(2mK) — για ίδια K, μεγαλύτερη μάζα δίνει μεγαλύτερη ορμή. Αφού λ=h/p, μεγαλύτερη ορμή σημαίνει μικρότερο λ. Σειρά μαζών: m_e≪m_n<m_α, άρα το ηλεκτρόνιο (μικρότερη μάζα) έχει το ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟ λ, και το σωμάτιο άλφα (μεγαλύτερη μάζα) το ΜΙΚΡΟΤΕΡΟ λ.

Άσκηση 7.12

Εκφώνηση: Στο σχήμα 7.20 φαίνονται τέσσερις περιπτώσεις ηλεκτρονίων που κινούνται μέσα σε ηλεκτρικό ή μέσα σε μαγνητικό πεδίο. Σε ποια ή σε ποιες περιπτώσεις το μήκος κύματος de Broglie α) μεγαλώνει; β) μικραίνει; γ) μένει ίδιο; (Στο σχήμα: (α) ηλεκτρόνιο με ταχύτητα προς τα δεξιά μέσα σε ηλεκτρικό πεδίο με φορά προς τα αριστερά· (β) ηλεκτρόνιο με ταχύτητα προς τα αριστερά μέσα σε ηλεκτρικό πεδίο με φορά προς τα αριστερά· (γ) ηλεκτρόνιο με ταχύτητα προς τα αριστερά μέσα σε μαγνητικό πεδίο με φορά προς τα αριστερά· (δ) ηλεκτρόνιο με ταχύτητα προς τα πάνω μέσα σε μαγνητικό πεδίο με φορά προς τα αριστερά.)

Λύση:

• (α) Το πεδίο έχει φορά προς τα αριστερά, άρα η δύναμη στο ηλεκτρόνιο έχει φορά προς τα δεξιά, ίδια με την ταχύτητα. Το ηλεκτρόνιο επιταχύνεται, η ορμή αυξάνεται και το λ μικραίνει.
• (β) Το πεδίο έχει φορά προς τα αριστερά, η δύναμη προς τα δεξιά, αντίθετη στην ταχύτητα. Το ηλεκτρόνιο επιβραδύνεται, η ορμή μειώνεται και το λ μεγαλώνει.
• (γ) Η ταχύτητα είναι παράλληλη στο μαγνητικό πεδίο, οπότε δεν ασκείται δύναμη Lorentz· η ορμή και το λ μένουν ίδια.
• (δ) Η ταχύτητα είναι κάθετη στο μαγνητικό πεδίο· η δύναμη Lorentz είναι κάθετη στην ταχύτητα και αλλάζει μόνο την κατεύθυνσή της, όχι το μέτρο. Το μέτρο της ορμής και το λ μένουν ίδια.

Απάντηση: α) Μεγαλώνει στην περίπτωση (β) (η δύναμη −eE είναι αντίθετη στην ταχύτητα, το ηλεκτρόνιο επιβραδύνεται). β) Μικραίνει στην περίπτωση (α) (η δύναμη −eE είναι ομόρροπη με την ταχύτητα, το ηλεκτρόνιο επιταχύνεται). γ) Μένει ίδιο στις περιπτώσεις (γ) (υ παράλληλη στο Β, καμία δύναμη) και (δ) (η δύναμη Lorentz είναι κάθετη στην υ, το μέτρο της ορμής δεν αλλάζει).

Πρόσεξε: Το ηλεκτρόνιο είναι αρνητικά φορτισμένο: η ηλεκτρική δύναμη που δέχεται έχει φορά αντίθετη από την ένταση του πεδίου.

Άσκηση 7.13

Εκφώνηση: Η υπόθεση de Broglie ότι σε κάθε κινούμενο σώμα αντιστοιχεί ένα κύμα δεν έχει εφαρμογή στα φαινόμενα της καθημερινής ζωής. Αυτό συμβαίνει γιατί το αντίστοιχο μήκος κύματος α) είναι πολύ μικρό ή β) είναι πολύ μεγάλο;

Λύση:

• λ=h/p — για μεγάλη μάζα/ταχύτητα, p είναι τεράστια σε σχέση με h≈6,6×10⁻³⁴J·s.
• Άρα λ γίνεται αμελητέα, μη ανιχνεύσιμη.

Απάντηση: α) Είναι πολύ μικρό. Για μακροσκοπικά σώματα η ορμή p=mυ είναι τεράστια σε σχέση με το h, άρα λ=h/p είναι εξαιρετικά μικρό — απείρως μικρότερο από οποιαδήποτε ανιχνεύσιμη κλίμακα, οπότε τα κυματικά φαινόμενα (περίθλαση, συμβολή) δεν είναι παρατηρήσιμα.

Άσκηση 7.30

Εκφώνηση: Να βρείτε το μήκος κύματος de Broglie που αντιστοιχεί α) σε ηλεκτρόνιο (m_e=9,1×10⁻³¹ kg) που κινείται με ταχύτητα 2×10⁶ m/s, β) σε πρωτόνιο (m_p=1,67×10⁻²⁷ kg) της ίδιας ταχύτητας, γ) σε μπαλάκι (m=0,2 kg) της ίδιας ταχύτητας. Δίνεται h=6,63×10⁻³⁴ Js.

Λύση:

• \(\lambda=\frac{h}{m\upsilon}\) σε κάθε περίπτωση, με \(\upsilon=2\times10^6\) m/s.
• α) \(\lambda_e=\frac{6{,}63\times10^{-34}}{9{,}1\times10^{-31}\cdot2\times10^6}\approx3{,}6\times10^{-10}\) m.
• β) \(\lambda_p=\frac{6{,}63\times10^{-34}}{1{,}67\times10^{-27}\cdot2\times10^6}\approx2\times10^{-13}\) m.
• γ) \(\lambda_{\mu}=\frac{6{,}63\times10^{-34}}{0{,}2\cdot2\times10^6}\approx1{,}66\times10^{-39}\) m.

Απάντηση: α) ≈ 3,6×10⁻¹⁰ m, β) ≈ 2×10⁻¹³ m, γ) ≈ 1,66×10⁻³⁹ m

Πρόσεξε:

• Το μήκος κύματος του μπαλακιού είναι απειροελάχιστο — γι' αυτό η κυματική συμπεριφορά των μακροσκοπικών σωμάτων δεν γίνεται αντιληπτή.

Άσκηση 7.31

Εκφώνηση: Ένα ηλεκτρόνιο επιταχύνεται από την ηρεμία με τάση 150 V. Να υπολογίσετε το μήκος κύματος de Broglie του ηλεκτρονίου. Δίνονται h=6,626×10⁻³⁴ J·s, e=1,6×10⁻¹⁹ C, m_e=9,1×10⁻³¹ kg.

Λύση:

• Από eV=½m_eυ² βρίσκουμε υ=√(2eV/m_e)≈7,26×10⁶m/s.
• λ=h/(m_eυ)≈6,626×10⁻³⁴/(9,1×10⁻³¹×7,26×10⁶)≈10⁻¹⁰m.

Απάντηση: 10⁻¹⁰ m

Άσκηση 7.32

Εκφώνηση: α) Ποια είναι η ενέργεια ενός φωτονίου με μήκος κύματος 1 nm; β) Ποια είναι η κινητική ενέργεια ενός ηλεκτρονίου για το οποίο το μήκος κύματος de Broglie είναι 1 nm; Δίνονται h=6,626×10⁻³⁴ J·s, m_e=9,1×10⁻³¹ kg, c=3×10⁸ m/s, 1eV=1,6×10⁻¹⁹ J.

Λύση:

• α) E_φωτ=hc/λ≈1242eV.
• β) p=h/λ, K=p²/2m_e=(h/λ)²/(2m_e)≈1,5eV — πολύ μικρότερη από την αντίστοιχη ενέργεια φωτονίου ίδιου λ, λόγω της διαφορετικής σχέσης E-p για μάζα-έχον σωμάτιο έναντι φωτονίου.

Απάντηση: α) 1242 eV, β) 1,5 eV