Κεφάλαιο 7.5 – Η κυματική φύση της ύλης – Λύσεις (σελ. 249-252)

§7.5 Η κυματική φύση της ύλης — Λύσεις (σελ. 249-252)

Άσκηση 7.11

Εκφώνηση: Ένα ηλεκτρόνιο, ένα σωμάτιο άλφα και ένα νετρόνιο κινούνται με ταχύτητες αρκετά μικρότερες από την ταχύτητα του φωτός και έχουν την ίδια κινητική ενέργεια. Σε ποιο από τα σωματίδια αντιστοιχεί το μεγαλύτερο και σε ποιο το μικρότερο μήκος κύματος de Broglie;

Λύση:

• p=√(2mK), λ=h/p=h/√(2mK) — αντιστρόφως ανάλογο της √m.
• Συγκρίνουμε μάζες: m_e<m_n<m_α.
• Άρα λ_e>λ_n>λ_α.

Απάντηση: Από K=p²/2m έχουμε p=√(2mK) — για ίδια K, μεγαλύτερη μάζα δίνει μεγαλύτερη ορμή. Αφού λ=h/p, μεγαλύτερη ορμή σημαίνει μικρότερο λ. Σειρά μαζών: m_e≪m_n<m_α, άρα το ηλεκτρόνιο (μικρότερη μάζα) έχει το ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟ λ, και το σωμάτιο άλφα (μεγαλύτερη μάζα) το ΜΙΚΡΟΤΕΡΟ λ.

Άσκηση 7.12

Εκφώνηση: Στο σχήμα φαίνονται τέσσερις περιπτώσεις ηλεκτρονίων που κινούνται μέσα σε ηλεκτρικό ή μαγνητικό πεδίο. Σε ποια περίπτωση το λ de Broglie α) μεγαλώνει, β) μικραίνει, γ) μένει ίδιο;

Λύση:

• Θυμόμαστε ότι μόνο η συνιστώσα δύναμης παράλληλη στην ταχύτητα μεταβάλλει το μέτρο p (άρα το λ).
• Ηλεκτρικό πεδίο παράλληλο/αντιπαράλληλο στην ταχύτητα → μεταβάλλει |p| → μεταβάλλει λ.
• Μαγνητικό πεδίο δίνει δύναμη πάντα κάθετη στην υ (δύναμη Lorentz) → δεν μεταβάλλει |p| → λ σταθερό.

Απάντηση: α) (β): ηλεκτρόνιο κινείται αριστερά, πεδίο E αριστερά → η δύναμη -eE είναι δεξιά, αντίθετη στην κίνηση → επιβράδυνση → p↓ → λ↑ (μεγαλώνει). β) (α): ηλεκτρόνιο και E και τα δύο δεξιά → δύναμη -eE αριστερά, αντίθετη στην κίνηση → επιβράδυνση επίσης — ΠΡΟΣΟΧΗ, χρειάζεται προσεκτική ανάλυση φοράς δύναμης σε σχέση με φορτίο. γ) (γ) και (δ): μαγνητική δύναμη πάντα κάθετη στην ταχύτητα, δεν μεταβάλλει το μέτρο της p, άρα το λ ΜΕΝΕΙ ΙΔΙΟ και στις δύο περιπτώσεις με μαγνητικό πεδίο.

Σημείωση διόρθωσης πηγής: Η ακριβής φορά (μεγαλώνει/μικραίνει) στις περιπτώσεις (α),(β) εξαρτάται από τον προσανατολισμό φορτίου-πεδίου-ταχύτητας όπως περιγράφεται στο σχήμα του βιβλίου· η αρχή (ηλεκτρικό πεδίο μεταβάλλει |p|, μαγνητικό όχι) είναι το ζητούμενο συμπέρασμα.

Άσκηση 7.13

Εκφώνηση: Η υπόθεση de Broglie ότι σε κάθε κινούμενο σώμα αντιστοιχεί ένα κύμα δεν έχει εφαρμογή στα φαινόμενα της καθημερινής ζωής. Αυτό συμβαίνει γιατί το αντίστοιχο μήκος κύματος α) είναι πολύ μικρό ή β) είναι πολύ μεγάλο;

Λύση:

• λ=h/p — για μεγάλη μάζα/ταχύτητα, p είναι τεράστια σε σχέση με h≈6,6×10⁻³⁴J·s.
• Άρα λ γίνεται αμελητέα, μη ανιχνεύσιμη.

Απάντηση: α) Είναι πολύ μικρό. Για μακροσκοπικά σώματα η ορμή p=mυ είναι τεράστια σε σχέση με το h, άρα λ=h/p είναι εξαιρετικά μικρό — απείρως μικρότερο από οποιαδήποτε ανιχνεύσιμη κλίμακα, οπότε τα κυματικά φαινόμενα (περίθλαση, συμβολή) δεν είναι παρατηρήσιμα.

Άσκηση 7.30

Εκφώνηση: Να βρείτε το μήκος κύματος de Broglie που αντιστοιχεί α) σε ηλεκτρόνιο (m_e=9,1×10⁻³¹ kg) που κινείται με ταχύτητα 2×10⁵ m/s, β) σε πρωτόνιο (m_p=1,67×10⁻²⁷ kg) της ίδιας ταχύτητας, γ) σε μπαλάκι (m=0,2 kg) της ίδιας ταχύτητας. Δίνεται h=6,63×10⁻³⁴ Js.

Λύση:

• λ=h/(mυ) σε κάθε περίπτωση.
• α) λ_e=6,63×10⁻³⁴/(9,1×10⁻³¹×2×10⁵)≈3,6×10⁻¹⁰m.
• β) λ_p=6,63×10⁻³⁴/(1,67×10⁻²⁷×2×10⁵)≈2×10⁻¹³m.
• γ) λ_μπάλα=6,63×10⁻³⁴/(0,2×2×10⁵)≈1,65×10⁻³⁹m.

Απάντηση: α) 3,6×10⁻¹⁰ m, β) 2×10⁻¹³ m, γ) 1,65×10⁻³⁹ m

Άσκηση 7.31

Εκφώνηση: Ένα ηλεκτρόνιο επιταχύνεται από την ηρεμία με τάση 150 V. Να υπολογίσετε το μήκος κύματος de Broglie του ηλεκτρονίου. Δίνονται h=6,626×10⁻³⁴ J·s, e=1,6×10⁻¹⁹ C, m_e=9,1×10⁻³¹ kg.

Λύση:

• Από eV=½m_eυ² βρίσκουμε υ=√(2eV/m_e)≈7,26×10⁶m/s.
• λ=h/(m_eυ)≈6,626×10⁻³⁴/(9,1×10⁻³¹×7,26×10⁶)≈10⁻¹⁰m.

Απάντηση: 10⁻¹⁰ m

Άσκηση 7.32

Εκφώνηση: α) Ποια είναι η ενέργεια ενός φωτονίου με μήκος κύματος 1 nm; β) Ποια είναι η κινητική ενέργεια ενός ηλεκτρονίου για το οποίο το μήκος κύματος de Broglie είναι 1 nm; Δίνονται h=6,626×10⁻³⁴ J·s, m_e=9,1×10⁻³¹ kg, c=3×10⁸ m/s, 1eV=1,6×10⁻¹⁹ J.

Λύση:

• α) E_φωτ=hc/λ≈1242eV.
• β) p=h/λ, K=p²/2m_e=(h/λ)²/(2m_e)≈1,5eV — πολύ μικρότερη από την αντίστοιχη ενέργεια φωτονίου ίδιου λ, λόγω της διαφορετικής σχέσης E-p για μάζα-έχον σωμάτιο έναντι φωτονίου.

Απάντηση: α) 1242 eV, β) 1,5 eV