Ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές; α) Η θερμοκρασία ενός αερίου είναι ανάλογη με τη μέση κινητική ενέργεια των μορίων του. β) Η πίεση ενός αερίου είναι ανάλογη με τη μέση ταχύτητα των μορίων του. γ) Οι ενεργές ταχύτητες των μορίων του οξυγόνου και του αζώτου είναι ίσες, αν τα δύο αέρια βρίσκονται στην ίδια θερμοκρασία. δ) Η άτακτη κίνηση των μορίων του αέρα είναι πιο "γρήγορη" το καλοκαίρι παρά ό,τι το χειμώνα.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Χρησιμοποιούμε τις σχέσεις \(\frac{1}{2}m\overline{u^2}=\frac{3}{2}kT\) (θερμοκρασία-κιν. ενέργεια), \(p=\frac{1}{3}\rho\overline{u^2}\) (πίεση-τετράγωνο ταχύτητας, όχι απλή ταχύτητα) και \(u_{εν}=\sqrt{3RT/M}\) (εξαρτάται και από τη γραμμομοριακή μάζα \(M\), όχι μόνο από \(T\)).

Λύση:

Πρόταση α): σωστή — από \(\frac{1}{2}m\overline{u^2}=\frac{3}{2}kT\), η θερμοκρασία είναι ευθέως ανάλογη της μέσης κινητικής ενέργειας.
Πρόταση β): λανθασμένη — η πίεση είναι ανάλογη της μέσης τιμής του ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ της ταχύτητας (\(\overline{u^2}\)), όχι της απλής μέσης ταχύτητας.
Πρόταση γ): λανθασμένη — στην ίδια θερμοκρασία, \(u_{εν}=\sqrt{3RT/M}\) εξαρτάται από τη γραμμομοριακή μάζα \(M\)· οξυγόνο (\(M=32\)) και άζωτο (\(M=28\)) έχουν διαφορετικές (όχι ίσες) ενεργές ταχύτητες.
Πρόταση δ): σωστή — το καλοκαίρι η θερμοκρασία είναι υψηλότερη, άρα (από τη σχέση θερμοκρασίας-κινητικής ενέργειας) η μέση ταχύτητα των μορίων είναι μεγαλύτερη.

Απάντηση: Σωστές προτάσεις: α) και δ).

Πρόσεξε:

Προσοχή στη διάκριση "ανάλογη της ταχύτητας" vs "ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας" — συχνή παγίδα στην πρόταση β).
Η ενεργός ταχύτητα εξαρτάται και από τη μάζα του μορίου/γραμμομοριακή μάζα, όχι μόνο από τη θερμοκρασία — γι' αυτό η γ) είναι λάθος.

Άσκηση 1.11 (σελ. 27)

Δύο δοχεία περιέχουν οξυγόνο και υδρογόνο αντίστοιχα, στην ίδια θερμοκρασία. Η μέση κινητική ενέργεια των μορίων του υδρογόνου είναι: α) Ίση με τη μέση κινητική ενέργεια των μορίων του οξυγόνου. β) Το μισό της μέσης κινητικής ενέργειας των μορίων του οξυγόνου. γ) Διπλάσια από τη μέση κινητική ενέργεια των μορίων του οξυγόνου. δ) Τετραπλάσια από τη μέση κινητική ενέργεια των μορίων του οξυγόνου. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η σχέση \(\frac{1}{2}m\overline{u^2}=\frac{3}{2}kT\) δείχνει ότι η μέση κινητική ενέργεια εξαρτάται ΜΟΝΟ από τη θερμοκρασία \(T\) (μέσω της σταθεράς Boltzmann \(k\)), όχι από το είδος του αερίου ή τη μάζα των μορίων του.

Λύση:

Η σχέση \(\frac{1}{2}m\overline{u^2}=\frac{3}{2}kT\) δεν περιέχει καθόλου το είδος του αερίου — μόνο την απόλυτη θερμοκρασία \(T\).
Αφού τα δύο δοχεία (οξυγόνο, υδρογόνο) βρίσκονται στην ίδια θερμοκρασία, η μέση κινητική ενέργεια των μορίων τους είναι ίδια, ανεξάρτητα από τη διαφορετική μάζα των μορίων \(\mathrm{O_2}\) και \(\mathrm{H_2}\).

Απάντηση: Σωστή απάντηση: α) Ίση με τη μέση κινητική ενέργεια των μορίων του οξυγόνου.

Πρόσεξε:

Μην συγχέετε τη μέση κινητική ενέργεια (ίδια σε ίδια θερμοκρασία, ανεξαρτήτως αερίου) με την ενεργό ταχύτητα (διαφορετική, αφού εξαρτάται από τη μάζα/γραμμομοριακή μάζα).

Άσκηση 1.12 (σελ. 27)

Η πίεση που ασκεί ένα αέριο είναι ανάλογη με α) τη μέση τιμή των ταχυτήτων των μορίων. β) τον όγκο του δοχείου που το περιέχει. γ) την πυκνότητα του αερίου. δ) την πίεση που υπάρχει έξω από το δοχείο. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Από τη σχέση \(p=\frac{1}{3}\rho\overline{u^2}\), η πίεση είναι ευθέως ανάλογη της πυκνότητας \(\rho\) του αερίου (για δεδομένη \(\overline{u^2}\), δηλαδή δεδομένη θερμοκρασία).

Λύση:

Η σχέση \(p=\frac{1}{3}\rho\overline{u^2}\) δείχνει άμεση αναλογία πίεσης με την πυκνότητα \(\rho=Nm/V\).
Η πίεση εξαρτάται από τη μέση τιμή του ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ της ταχύτητας, όχι από τη μέση ταχύτητα (αποκλείει την α).
Ο όγκος του δοχείου επηρεάζει την πίεση έμμεσα μέσω της πυκνότητας, όχι ως ανεξάρτητη αναλογία (αποκλείει τη β)· η εξωτερική πίεση δεν παίζει ρόλο στη σχέση της κινητικής θεωρίας (αποκλείει τη δ).

Απάντηση: Σωστή απάντηση: γ) την πυκνότητα του αερίου.

Πρόσεξε:

Η σχέση \(p=\frac{1}{3}\rho\overline{u^2}\) είναι το σημείο εκκίνησης — να τη θυμάστε ως βάση για τέτοιες ερωτήσεις αναλογίας.

Άσκηση 1.13 (σελ. 27)

Αέριο συμπιέζεται ισόθερμα στο μισό του αρχικού του όγκου. Η ενεργός ταχύτητα των μορίων του α) διπλασιάζεται. β) παραμένει σταθερή. γ) υποδιπλασιάζεται. δ) τα στοιχεία δεν επαρκούν για να κρίνουμε αν η ενεργός ταχύτητα μεταβάλλεται και πώς. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η ενεργός ταχύτητα \(u_{εν}=\sqrt{3kT/m}\) εξαρτάται ΜΟΝΟ από τη θερμοκρασία \(T\) (και τη μάζα του μορίου, σταθερή για το ίδιο αέριο) — όχι από τον όγκο ή την πίεση.

Λύση:

Η ισόθερμη συμπίεση σημαίνει, εξ ορισμού, ότι η θερμοκρασία \(T\) παραμένει σταθερή.
Αφού \(u_{εν}=\sqrt{3kT/m}\) εξαρτάται μόνο από \(T\) και \(m\) (σταθερά για δεδομένο αέριο), και το \(T\) δεν αλλάζει, η ενεργός ταχύτητα δεν αλλάζει, ανεξάρτητα από τη μεταβολή του όγκου.

Απάντηση: Σωστή απάντηση: β) παραμένει σταθερή.

Πρόσεξε:

Ο όγκος/η πίεση δεν εμφανίζονται καθόλου στη σχέση της ενεργού ταχύτητας — μόνο η θερμοκρασία (και η μάζα μορίου) την καθορίζουν.

Άσκηση 1.27 (σελ. 29)

Βρείτε τις ενεργές ταχύτητες (\(\upsilon_{εν}\)) των μορίων του He και των υδρατμών στους 27 °C. Οι αντίστοιχες γραμμομοριακές μάζες είναι \(4\times10^{-3}\ \mathrm{kg/mol}\) και \(18\times10^{-3}\ \mathrm{kg/mol}\). Δίνεται R = 8,314 J/mol·K.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Εφαρμόζουμε τη σχέση \(u_{εν}=\sqrt{3RT/M}\) για κάθε αέριο, με κοινή θερμοκρασία \(T=300\ \mathrm{K}\).

Λύση:

\(T=273+27=300\ \mathrm{K}\).
Για He: \(u_{εν}=\sqrt{\dfrac{3\cdot8{,}314\cdot300}{4\times10^{-3}}}\approx1368\ \mathrm{m/s}\).
Για υδρατμούς: \(u_{εν}=\sqrt{\dfrac{3\cdot8{,}314\cdot300}{18\times10^{-3}}}\approx644{,}8\ \mathrm{m/s}\).

Απάντηση: \(u_{εν}(\mathrm{He})\approx1368\ \mathrm{m/s}\), \(u_{εν}(\mathrm{υδρατμοί})\approx644{,}8\ \mathrm{m/s}\).

Πρόσεξε:

Το ελαφρύτερο αέριο (He, μικρότερο \(M\)) έχει μεγαλύτερη ενεργό ταχύτητα στην ίδια θερμοκρασία — η \(u_{εν}\) είναι αντιστρόφως ανάλογη της \(\sqrt{M}\).

Άσκηση 1.29 (σελ. 29)

Υπολογίστε την ενεργό ταχύτητα των ατόμων του υδρογόνου στην επιφάνεια του Ήλιου όπου η θερμοκρασία είναι 5800 K. Δίνεται ότι η γραμμομοριακή μάζα του υδρογόνου είναι \(1\times10^{-3}\ \mathrm{kg/mol}\) και R = 8,314 J/mol·K.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Απευθείας εφαρμογή της σχέσης \(u_{εν}=\sqrt{3RT/M}\).

Λύση:

\(u_{εν}=\sqrt{\dfrac{3\cdot8{,}314\cdot5800}{1\times10^{-3}}}\approx12028\ \mathrm{m/s}\).

Απάντηση: \(u_{εν}\approx12028\ \mathrm{m/s}\approx12\ \mathrm{km/s}\).

Πρόσεξε:

Στη δεδομένη γραμμομοριακή μάζα (\(1\times10^{-3}\ \mathrm{kg/mol}\)) εννοείται ατομικό υδρογόνο (Η), όχι το διατομικό μόριο \(\mathrm{H_2}\) (\(2\times10^{-3}\ \mathrm{kg/mol}\)) — προσοχή στην εκφώνηση.

Προηγούμενο Στοιχείο

Επιστροφή στην Ενότητα

Επόμενο Στοιχείο