Συμπληρώστε τα κενά: Η γραμμομοριακή ειδική θερμότητα εκφράζει το ποσό θερμότητας που πρέπει να προσφερθεί σε ένα mol αερίου ώστε να ανέβει η θερμοκρασία του κατά .............. Στα αέρια, ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν η γραμμομοριακή ειδική θερμότητα υπό σταθερό όγκο και η γραμμομοριακή ειδική θερμότητα υπό .............. Η σχέση που συνδέει τις δύο ειδικές γραμμομοριακές θερμότητες είναι ..............

Σκέψη / Μεθοδολογία: Άμεση ανάκληση του ορισμού της γραμμομοριακής ειδικής θερμότητας και της σχέσης \(C_p=C_v+R\).

Λύση:

Ο ορισμός αναφέρεται σε αύξηση θερμοκρασίας κατά έναν βαθμό (1 Κ).
Η δεύτερη γραμμομοριακή ειδική θερμότητα που ενδιαφέρει είναι υπό σταθερή πίεση.
Η σχέση που τις συνδέει είναι \(C_p=C_v+R\).

Απάντηση: ...κατά έναν βαθμό (1 Κ)... υπό σταθερή πίεση... \(C_p=C_v+R\).

Άσκηση 2.21 (σελ. 69)

Ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές; α) Στα στερεά και υγρά, η ειδική θερμότητα εξαρτάται μόνο από το υλικό τους. Στα αέρια η γραμμομοριακή ειδική θερμότητα εξαρτάται κάθε φορά και από τον τρόπο με τον οποίο θερμαίνεται το αέριο. β) Ο λόγος \(C_P/C_V\) των γραμμομοριακών ειδικών θερμοτήτων ενός αερίου είναι μικρότερος ή ίσος του 1. γ) Στα ιδανικά αέρια \(C_P-C_V=\) σταθερό. δ) Η σχέση \(\Delta U=n\,C_V\,\Delta T\) δίνει τη μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας ενός αερίου σε κάθε μεταβολή, αντιστρεπτή ή μη.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ανάκληση των βασικών ιδιοτήτων: \(C_p>C_v\) πάντα (άρα \(\gamma>1\)), \(C_p-C_v=R=\)σταθ., και το \(\Delta U=nC_v\Delta T\) ισχύει καθολικά (εξαρτάται μόνο από \(\Delta T\)).

Λύση:

α) Σωστό: περιγράφει ακριβώς τη διαφορά στερεών/υγρών από αέρια (§9.4α).
β) Λάθος: αφού \(C_p=C_v+R>C_v\), είναι πάντα \(\gamma=C_p/C_v>1\).
γ) Σωστό: \(C_p-C_v=R\), σταθερή ποσότητα.
δ) Σωστό: το \(\Delta U=nC_v\Delta T\) ισχύει για κάθε μεταβολή θερμοκρασίας, ανεξάρτητα από τον τρόπο πραγματοποίησής της.

Απάντηση: Σωστές είναι οι προτάσεις (α), (γ) και (δ). Λανθασμένη είναι η (β).

Πρόσεξε:

Ο λόγος \(\gamma=C_p/C_v\) είναι ΠΑΝΤΑ μεγαλύτερος της μονάδας, ποτέ μικρότερος ή ίσος.

Άσκηση 2.22 (σελ. 69)

Η θερμοκρασία μιας ποσότητας αερίου αυξάνεται. Η εσωτερική ενέργεια του αερίου: α) αυξάνεται; β) μειώνεται; γ) δεν επηρεάζεται από τη μεταβολή στη θερμοκρασία; δ) χρειάζονται και άλλα στοιχεία για να απαντήσουμε; Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

Σκέψη / Μεθοδολογία: \(U=\frac{3}{2}nRT\) (ιδανικό αέριο) — αύξηση \(T\) σημαίνει άμεσα αύξηση \(U\), χωρίς να χρειάζεται καμία άλλη πληροφορία.

Λύση:

Η εσωτερική ενέργεια ιδανικού αερίου εξαρτάται αποκλειστικά από τη θερμοκρασία: \(U=\frac{3}{2}nRT\).
Αφού η θερμοκρασία αυξάνεται, η εσωτερική ενέργεια αυξάνεται πάντα, ανεξάρτητα από το πώς επιτεύχθηκε η αύξηση θερμοκρασίας (ισόχωρα, ισοβαρώς κλπ.).

Απάντηση: Η εσωτερική ενέργεια αυξάνεται (α).

Άσκηση 2.23 (σελ. 69)

Εξηγήστε ποιοτικά γιατί η γραμμομοριακή ειδική θερμότητα των αερίων υπό σταθερή πίεση είναι μεγαλύτερη από τη γραμμομοριακή ειδική θερμότητα υπό σταθερό όγκο.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Στην ισόχωρη θέρμανση όλη η προσφερόμενη θερμότητα πάει στην εσωτερική ενέργεια, ενώ στην ισοβαρή ένα μέρος της «φεύγει» ως έργο εκτόνωσης, οπότε χρειάζεται περισσότερη θερμότητα για την ίδια αύξηση θερμοκρασίας.

Λύση:

Στην ισόχωρη θέρμανση ο όγκος δε μεταβάλλεται, άρα \(W=0\) και όλη η θερμότητα \(Q_v=nC_v\Delta T\) μετατρέπεται σε αύξηση εσωτερικής ενέργειας.
Στην ισοβαρή θέρμανση, για την ίδια αύξηση θερμοκρασίας \(\Delta T\), η εσωτερική ενέργεια αυξάνεται κατά το ίδιο ποσό (αφού \(\Delta U\) εξαρτάται μόνο από \(\Delta T\)), αλλά επιπλέον το αέριο εκτονώνεται και παράγει έργο \(W=nR\Delta T>0\) πάνω στο περιβάλλον.
Άρα χρειάζεται περισσότερη θερμότητα \(Q_p=\Delta U+W>Q_v=\Delta U\) για την ίδια μεταβολή θερμοκρασίας, δηλαδή \(C_p>C_v\).

Απάντηση: Επειδή στην ισοβαρή θέρμανση, εκτός από την αύξηση της εσωτερικής ενέργειας, το αέριο δαπανά επιπλέον ενέργεια για να παράγει έργο εκτόνωσης απέναντι στη σταθερή πίεση — γι' αυτό χρειάζεται περισσότερη θερμότητα από την ισόχωρη θέρμανση για την ίδια αύξηση θερμοκρασίας, άρα \(C_p>C_v\).

Άσκηση 2.24 (σελ. 70)

Πού οφείλονται οι αποκλίσεις ανάμεσα στις θεωρητικές προβλέψεις των \(C_P\) και \(C_V\) για το μοντέλο του ιδανικού αερίου και στις πειραματικές τιμές τους;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το μοντέλο του ιδανικού αερίου θεωρεί τα μόρια σημειακά (μόνο μεταφορική κίνηση) — ισχύει καλά μόνο για μονοατομικά αέρια. Διατομικά/πολυατομικά μόρια έχουν επιπλέον δυνατότητες κίνησης.

Λύση:

Το θεωρητικό μοντέλο υπολογίζει την εσωτερική ενέργεια θεωρώντας τα μόρια υλικά σημεία, με μόνη δυνατή κίνηση τη μεταφορική.
Τα διατομικά και πολυατομικά μόρια όμως, εκτός από τη μεταφορική κίνηση, μπορούν να περιστρέφονται γύρω από το κέντρο μάζας τους και (σε υψηλότερες θερμοκρασίες) να ταλαντώνονται.
Αυτές οι επιπλέον κινήσεις συνεισφέρουν επιπλέον ενέργεια στην εσωτερική ενέργεια του αερίου, που δεν προβλέπεται από το απλό μοντέλο σημειακών μορίων — γι' αυτό οι πειραματικές τιμές \(C_v\), \(C_p\) διατομικών/πολυατομικών αερίων είναι μεγαλύτερες από τη θεωρητική πρόβλεψη \(\frac{3}{2}R\), \(\frac{5}{2}R\).

Απάντηση: Οι αποκλίσεις οφείλονται στο ότι τα διατομικά και πολυατομικά μόρια, σε αντίθεση με το απλό μοντέλο σημειακών μορίων του ιδανικού αερίου, μπορούν να περιστρέφονται και να ταλαντώνονται — κινήσεις που προσθέτουν επιπλέον ενέργεια στην εσωτερική ενέργεια, χωρίς να προβλέπονται από τη θεωρία σημειακής μεταφορικής κίνησης.

Πρόσεξε:

Η διαφορά \(C_p-C_v=R\) παραμένει ίδια ακόμη και για διατομικά/πολυατομικά αέρια — μόνο οι απόλυτες τιμές των \(C_v\), \(C_p\) αποκλίνουν, όχι η διαφορά τους.

Άσκηση 2.48 (σελ. 74)

Ιδανικό αέριο βρίσκεται σε δοχείο σταθερού όγκου \(0{,}004\ \text{m}^3\). Το αέριο θερμαίνεται ώστε η πίεσή του από \(1{,}013\times10^5\ \text{N/m}^2\) να γίνει \(3{,}213\times10^5\ \text{N/m}^2\). Να υπολογιστεί το ποσό θερμότητας που απορρόφησε το αέριο. Δίνεται ότι στα ιδανικά αέρια ισχύει \(C_v=\frac{3}{2}R\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ισόχωρη μεταβολή: \(Q=\Delta U=nC_v\Delta T\). Χρησιμοποιώντας \(pV=nRT\) σε σταθερό \(V\), ισχύει \(V\Delta p=nR\Delta T\), οπότε \(\Delta U=\frac{3}{2}V\Delta p\) χωρίς να χρειάζεται υπολογισμός του \(n\) ξεχωριστά.

Λύση:

Ισόχωρη μεταβολή: \(W=0\Rightarrow Q=\Delta U=nC_v\Delta T=\frac{3}{2}nR\Delta T\).
Από \(pV=nRT\) σε σταθερό \(V\): \(nR\Delta T=V\Delta p\).
\(\Delta p=3{,}213\times10^5-1{,}013\times10^5=2{,}2\times10^5\ \text{N/m}^2\).
\(Q=\frac{3}{2}V\Delta p=\frac{3}{2}\times0{,}004\times2{,}2\times10^5=1320\ \text{J}\).

Απάντηση: \(Q=1320\ \text{J}\).

Πρόσεξε:

Δεν χρειάζεται να υπολογίσετε ξεχωριστά τον αριθμό mol \(n\) ή τις θερμοκρασίες — η σχέση \(V\Delta p=nR\Delta T\) οδηγεί απευθείας στο αποτέλεσμα.

Άσκηση 2.49 (σελ. 74)

Αέριο θερμαίνεται με σταθερή πίεση \(1{,}013\times10^5\ \text{N/m}^2\), ώστε ο όγκος του από \(0{,}005\ \text{m}^3\) να γίνει \(0{,}007\ \text{m}^3\). Να υπολογιστεί το ποσό θερμότητας που απορρόφησε το αέριο. Δίνεται \(C_v=\frac{3}{2}R\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ισοβαρής μεταβολή: \(W=p\Delta V\), και επειδή \(C_v=\frac{3}{2}R\Rightarrow\Delta U=\frac{3}{2}W\) (αφού \(W=nR\Delta T\) και \(\Delta U=nC_v\Delta T\)). Τέλος \(Q=\Delta U+W\).

Λύση:

\(W=p\Delta V=1{,}013\times10^5\times(0{,}007-0{,}005)=1{,}013\times10^5\times0{,}002\approx202{,}6\ \text{J}\).
\(\Delta U=\frac{3}{2}W=\frac{3}{2}\times202{,}6\approx303{,}9\ \text{J}\).
\(Q=\Delta U+W=303{,}9+202{,}6\approx506{,}5\ \text{J}\).

Απάντηση: \(Q\approx506{,}5\ \text{J}\).

Πρόσεξε:

Ο συντομευμένος τρόπος \(\Delta U=\frac{3}{2}W\) ισχύει επειδή δίνεται \(C_v=\frac{3}{2}R\) — δεν είναι γενικός τύπος.

Άσκηση 2.50 (σελ. 74)

Να υπολογιστεί η αύξηση της εσωτερικής ενέργειας ορισμένης ποσότητας αερίου όταν το θερμαίνουμε με σταθερή πίεση προσφέροντάς του θερμότητα \(Q=10\ \text{cal}\). Για το αέριο ισχύει \(\gamma=1{,}41\). Δίνεται \(1\ \text{cal}=4{,}18\ \text{J}\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Από \(C_p=\gamma C_v\) και \(C_p=C_v+R\) προκύπτει \(C_v=\dfrac{R}{\gamma-1}\). Στην ισοβαρή μεταβολή, \(Q=nC_p\Delta T=\gamma\, nC_v\Delta T=\gamma\Delta U\), άρα \(\Delta U=Q/\gamma\) — δεν χρειάζεται καν να υπολογιστεί το \(\Delta T\) ή το \(n\).

Λύση:

\(Q=10\times4{,}18=41{,}8\ \text{J}\).
Ισοβαρής μεταβολή: \(Q=nC_p\Delta T\) και \(\Delta U=nC_v\Delta T\), άρα \(\dfrac{Q}{\Delta U}=\dfrac{C_p}{C_v}=\gamma\).
\(\Delta U=\dfrac{Q}{\gamma}=\dfrac{41{,}8}{1{,}41}\approx29{,}64\ \text{J}\).

Απάντηση: \(\Delta U\approx29{,}64\ \text{J}\).

Πρόσεξε:

Η συντομευμένη σχέση \(\Delta U=Q/\gamma\) ισχύει ΜΟΝΟ για ισοβαρή μεταβολή — δεν είναι γενική.

Προηγούμενο Στοιχείο

Επιστροφή στην Ενότητα

Επόμενο Στοιχείο