Κεφάλαιο 9.5 – Θερμικές μηχανές (σελ. 65-77) – Λύσεις

Κεφάλαιο 9.5 — Θερμικές μηχανές (σελ. 65-77) — Λύσεις - Απαντήσεις

Άσκηση Δραστηριότητα 3 - Κατασκευάστε έναν ατμοστρόβιλο (σελ. 65)

Θα χρησιμοποιήσετε ένα κλειστό μεταλλικό κουτάκι από αναψυκτικό. Χωρίς να ανοίξετε το κουτάκι ανοίξτε με ένα καρφί δύο τρύπες σε αντιδιαμετρικά σημεία της κυλινδρικής επιφάνειας, που βρίσκονται στο ίδιο ύψος και αδειάστε το περιεχόμενο. Πιέστε με τα χέρια την κυρτή επιφάνεια ώστε το κουτί να αποκτήσει τέσσερις γωνίες, με κάθε τρύπα κοντά σε μια γωνία. Βάλτε από τις τρύπες περίπου ένα δάχτυλο νερό. Δέστε το κουτάκι από το επάνω μέρος με σκοινί ώστε να μπορεί να στρέφεται γύρω από τον άξονά του. Κρεμάστε το και τοποθετήστε από κάτω ένα γκαζάκι με σιγανή φωτιά. Όταν το νερό αρχίσει να βράζει, ο ατμός θα αρχίσει να φεύγει με ταχύτητα από τις τρύπες και το δοχείο να στρέφεται. Εξηγήστε γιατί περιστρέφεται το δοχείο.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Πρόκειται για τη λειτουργία μιας στοιχειώδους θερμικής μηχανής αντίδρασης (αρχή που πρώτος περιέγραψε ο Ήρων ο Αλεξανδρεύς — βλ. §9.1α): η θερμότητα από τη φλόγα μετατρέπει το νερό σε ατμό, ο οποίος εκτονώνεται και εκτοξεύεται από τις τρύπες· από τον τρίτο νόμο του Newton, η αντίδραση στην εκτόξευση του ατμού δημιουργεί ροπή στρέψης στο δοχείο.

Λύση:

1. Η θερμότητα από τη φλόγα μετατρέπει το νερό σε ατμό υψηλής πίεσης μέσα στο παραμορφωμένο δοχείο.
2. Ο ατμός εκτονώνεται και εξέρχεται με ταχύτητα από τις δύο τρύπες, που βρίσκονται σε αντιδιαμετρικά σημεία αλλά προσανατολισμένες έτσι ώστε η έξοδος να μην είναι ακριβώς ακτινική (λόγω της παραμόρφωσης του κουτιού σε τετράγωνη διατομή).
3. Κάθε πίδακας ατμού που εξέρχεται ασκεί, σύμφωνα με τον τρίτο νόμο του Newton, μια αντίδραση πάνω στο δοχείο, με κατεύθυνση αντίθετη της εκροής.
4. Επειδή οι δύο πίδακες εξέρχονται με αντίθετο (εφαπτομενικό) προσανατολισμό λόγω της γεωμετρίας των τρυπών, οι δύο αντιδράσεις δημιουργούν ζεύγος δυνάμεων (ροπή) γύρω από τον κατακόρυφο άξονα, περιστρέφοντας το δοχείο — ακριβώς η αρχή λειτουργίας του αιολόσφαιρου του Ήρωνα.

Απάντηση: Το δοχείο περιστρέφεται λόγω αντίδρασης (τρίτος νόμος Newton): ο ατμός που εκτονώνεται και εκτοξεύεται από τις δύο τρύπες ασκεί αντίθετες ώσεις πάνω στο δοχείο, οι οποίες, λόγω της γεωμετρίας των τρυπών, σχηματίζουν ζεύγος δυνάμεων και το περιστρέφουν — η ίδια αρχή με τον αρχαίο αιολόσφαιρο του Ήρωνα.

Πρόσεξε:

• Πρόκειται για πειραματική δραστηριότητα με ανοιχτή φλόγα — απαιτείται επίβλεψη ενήλικα.

Άσκηση 2.25 (σελ. 70)

Θερμική μηχανή είναι: α) το τρέλι; β) ο φούρνος; γ) το ποδήλατο; δ) ο κινητήρας του αεροπλάνου; Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Θερμική μηχανή είναι μόνο διάταξη που μετατρέπει θερμότητα σε ωφέλιμο μηχανικό έργο μέσω κυκλικής διεργασίας — ο φούρνος μόνο παράγει θερμότητα (καμία μετατροπή σε έργο), το ποδήλατο δεν εμπλέκει καθόλου θερμότητα.

Λύση:

1. Ο φούρνος (β) μετατρέπει ενέργεια (ηλεκτρική ή καύσης) σε θερμότητα, όχι σε έργο — δεν είναι θερμική μηχανή.
2. Το ποδήλατο (γ) κινείται με μυϊκή δύναμη, χωρίς καμία μετατροπή θερμότητας σε έργο.
3. Ο κινητήρας του αεροπλάνου (δ) καίει καύσιμο, παράγει θερμά αέρια που εκτονώνονται σε κυκλική διεργασία (στροβιλοκινητήρας) και παράγουν ωθητικό έργο — είναι χαρακτηριστική θερμική μηχανή.

Απάντηση: Θερμική μηχανή είναι ο κινητήρας του αεροπλάνου (δ).

Άσκηση 2.26 (σελ. 70)

Με ποιον τρόπο αποβάλλεται θερμότητα κατά τη λειτουργία της μηχανής του αυτοκινήτου;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ένας βενζινοκινητήρας αποβάλλει θερμότητα κυρίως μέσω δύο διαδρομών: τα θερμά καυσαέρια από την εξάτμιση, και το σύστημα ψύξης (ψυγείο/καλοριφέρ κινητήρα).

Λύση:

1. Το μεγαλύτερο μέρος της θερμότητας αποβάλλεται μέσω των θερμών καυσαερίων που διαφεύγουν από την εξάτμιση προς το περιβάλλον.
2. Επιπλέον θερμότητα αποβάλλεται μέσω του συστήματος ψύξης του κινητήρα (ψυγείο με νερό/αέρα), που απομακρύνει θερμότητα από τα τοιχώματα του κυλίνδρου.

Απάντηση: Μέσω των θερμών καυσαερίων που αποβάλλονται από την εξάτμιση, και μέσω του συστήματος ψύξης (ψυγείο) του κινητήρα.

Άσκηση 2.27 (σελ. 70)

Ποια από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστή; α) Κάθε θερμική μηχανή λειτουργεί ανάμεσα σε δύο θερμοκρασίες. β) Ο συντελεστής απόδοσης μιας θερμικής μηχανής είναι το πηλίκο της ωφέλιμης ενέργειας που μας δίνει η μηχανή προς το ποσό θερμότητας που αποβάλλεται από τη μηχανή κατά τη λειτουργία της. γ) Εάν ήταν δυνατό να εξαλειφθούν οι τριβές ο συντελεστής απόδοσης των θερμικών μηχανών θα ήταν ίσος με τη μονάδα. δ) Η απόδοση των θερμικών μηχανών κυμαίνεται συνήθως ανάμεσα στο 70 με 80%.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Κάθε θερμική μηχανή απαιτεί δύο δεξαμενές (θερμή και ψυχρή) για να λειτουργήσει κυκλικά (§9.5β)· ο ορισμός της απόδοσης είναι \(e=W/Q_h\) (όχι προς \(Q_c\))· ακόμη και χωρίς τριβές, ο δεύτερος νόμος απαγορεύει \(e=1\)· οι πραγματικές αποδόσεις είναι συνήθως πολύ χαμηλότερες από 70-80%.

Λύση:

1. α) Σωστό: χρειάζεται πάντα θερμή δεξαμενή (απορρόφηση \(Q_h\)) και ψυχρή δεξαμενή (απόρριψη \(Q_c\)).
2. β) Λάθος: ο ορισμός είναι \(e=W/Q_h\), δηλαδή προς τη δαπανώμενη θερμότητα, όχι προς την αποβαλλόμενη.
3. γ) Λάθος: ακόμη κι αν εξαλειφθούν όλες οι τριβές, ο δεύτερος θερμοδυναμικός νόμος αποκλείει \(e=1\) — υπάρχει πάντα θεμελιώδες όριο (Carnot).
4. δ) Λάθος: οι πραγματικές θερμικές μηχανές έχουν συνήθως πολύ χαμηλότερη απόδοση (τυπικά 20-40%).

Απάντηση: Σωστή είναι η πρόταση (α).

Άσκηση 2.28 (σελ. 70)

Οι παρακάτω προτάσεις αναφέρονται στο δεύτερο θερμοδυναμικό νόμο. Ποιες είναι σωστές; α) Δεν υπάρχουν περιορισμοί στη μετατροπή της ενέργειας από τη μια μορφή στην άλλη. β) Σε μια κυκλική μεταβολή η θερμότητα που προσφέρεται από το περιβάλλον στο σύστημα, δε μετασχηματίζεται πλήρως σε μηχανική ενέργεια. γ) Κατά την ισόθερμη εκτόνωση, όλο το ποσό θερμότητας που απορροφά το αέριο μετατρέπεται σε έργο. Η μεταβολή αυτή αποτελεί μια εξαίρεση στο δεύτερο θερμοδυναμικό νόμο. δ) Με τη σημερινή τεχνολογία δεν έχει επιτευχθεί η πλήρης μετατροπή της θερμότητας σε μηχανικό έργο. Ελπίζουμε ότι στο μέλλον θα το κατορθώσουμε. ε) Ο δεύτερος θερμοδυναμικός νόμος αποκλείει την ύπαρξη μιας θερμικής μηχανής που έχει συντελεστή απόδοσης ίσο με 1. στ) Το ψυγείο μεταφέρει θερμότητα από τα ψυχρά σώματα προς τα θερμότερα. ζ) Η θερμότητα μεταφέρεται πάντα από τα θερμότερα προς τα ψυχρότερα σώματα. Για το αντίστροφο απαιτείται δαπάνη ενέργειας.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ο δεύτερος νόμος θέτει θεμελιώδη (όχι απλώς τεχνολογικά) όρια. Η ισόθερμη εκτόνωση δεν είναι κυκλική μεταβολή, άρα δεν αποτελεί «εξαίρεση» στο νόμο, που αφορά κυκλικές διεργασίες (μηχανές). Το ψυγείο πράγματι μεταφέρει θερμότητα από ψυχρό σε θερμό (με δαπάνη έργου).

Λύση:

1. α) Λάθος: ο δεύτερος νόμος θέτει ακριβώς τέτοιους περιορισμούς στην κατεύθυνση των μετατροπών.
2. β) Σωστό: ακριβής διατύπωση Kelvin-Planck για κυκλική διεργασία.
3. γ) Λάθος: η ισόθερμη εκτόνωση δεν είναι κυκλική μεταβολή (το αέριο δεν επιστρέφει στην αρχική κατάσταση) — δεν αντιφάσκει με τον δεύτερο νόμο, που αφορά μηχανές σε κυκλική λειτουργία.
4. δ) Λάθος: δεν πρόκειται για τεχνολογικό περιορισμό αλλά για θεμελιώδη φυσικό νόμο — είναι αδύνατο ΚΑΤ' ΑΡΧΗΝ, όχι απλώς με τη σημερινή τεχνολογία.
5. ε) Σωστό: ακριβώς η διατύπωση Kelvin-Planck.
6. στ) Σωστό: ακριβής περιγραφή της λειτουργίας του ψυγείου (με δαπάνη ενέργειας, εννοείται).
7. ζ) Σωστό: διατύπωση Clausius.

Απάντηση: Σωστές είναι οι προτάσεις (β), (ε), (στ) και (ζ).

Πρόσεξε:

• Η ισόθερμη εκτόνωση (μη κυκλική) δεν παραβιάζει τον δεύτερο νόμο — ο νόμος αναφέρεται σε ΚΥΚΛΙΚΕΣ διεργασίες (μηχανές).

Άσκηση 2.29 (σελ. 70)

Λέμε ότι κατά τη λειτουργία μιας θερμικής μηχανής το ωφέλιμο έργο είναι πάντα μικρότερο από την ενέργεια που δαπανάται για τη λειτουργία της (θερμότητα). Μήπως αυτό παραβιάζει την αρχή διατήρησης της ενέργειας; Αιτιολογήστε την απάντησή σας.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η ενέργεια δεν «χάνεται» — απλώς ένα μέρος της αποβάλλεται ως θερμότητα \(Q_c\) στην ψυχρή δεξαμενή, όχι μετατρέπεται σε ωφέλιμο έργο. Ισχύει πλήρως \(Q_h=W+|Q_c|\).

Λύση:

1. Η θερμότητα που δαπανά η μηχανή (\(Q_h\)) δεν εξαφανίζεται — μοιράζεται ανάμεσα στο ωφέλιμο έργο (\(W\)) και στη θερμότητα που αποβάλλεται στην ψυχρή δεξαμενή (\(Q_c\)).
2. Ισχύει πάντα \(Q_h=W+|Q_c|\), που είναι ακριβώς έκφραση διατήρησης της ενέργειας (πρώτος θερμοδυναμικός νόμος για κυκλική μεταβολή).
3. Δεν παραβιάζεται καμία αρχή διατήρησης — απλώς ο δεύτερος νόμος επιβάλλει ότι \(|Q_c|>0\) πάντα, δηλαδή δεν μπορεί ΟΛΗ η θερμότητα να γίνει έργο.

Απάντηση: Όχι, δεν παραβιάζεται η αρχή διατήρησης της ενέργειας. Η ενέργεια που δεν γίνεται ωφέλιμο έργο δεν χάνεται, αλλά αποβάλλεται ως θερμότητα στην ψυχρή δεξαμενή (\(Q_h=W+|Q_c|\)). Το γεγονός ότι το \(|Q_c|\) δεν μπορεί ποτέ να μηδενιστεί είναι συνέπεια του δεύτερου, όχι του πρώτου θερμοδυναμικού νόμου.

Πρόσεξε:

• Μην συγχέετε την αρχή διατήρησης ενέργειας (1ος νόμος, πάντα ισχύει) με τον περιορισμό στη ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ της ενέργειας (2ος νόμος).

Άσκηση 2.30 (σελ. 71)

Η θάλασσα έχει τεράστια εσωτερική ενέργεια. Θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε αυτή την ενέργεια για την κίνηση των πλοίων; (Δικαιολογήστε την απάντησή σας).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Μια θερμική μηχανή χρειάζεται ΔΥΟ δεξαμενές διαφορετικής θερμοκρασίας για να λειτουργήσει (§9.5β). Η θάλασσα από μόνη της είναι μία μόνο (σχεδόν ομοιόθερμη) δεξαμενή — δεν υπάρχει ψυχρότερη δεξαμενή στην οποία να αποβάλλεται θερμότητα.

Λύση:

1. Παρότι η θάλασσα διαθέτει τεράστια εσωτερική ενέργεια, μια θερμική μηχανή δεν μπορεί να λειτουργήσει με μία και μόνο δεξαμενή θερμότητας.
2. Χρειάζεται απαραιτήτως και μια δεύτερη, ψυχρότερη δεξαμενή στην οποία να αποβάλλεται το \(Q_c\), ώστε η μηχανή να συνεχίσει τον κύκλο της.
3. Χωρίς διαθέσιμη θερμοκρασιακή διαφορά (η θάλασσα βρίσκεται πρακτικά σε ενιαία θερμοκρασία), δεν είναι δυνατή η εξαγωγή ωφέλιμου έργου — αυτό είναι ακριβώς το περιεχόμενο του δεύτερου θερμοδυναμικού νόμου.

Απάντηση: Όχι. Μια θερμική μηχανή χρειάζεται δύο δεξαμενές διαφορετικής θερμοκρασίας για να λειτουργήσει· η θάλασσα από μόνη της είναι μία μόνο, σχεδόν ομοιόθερμη δεξαμενή, χωρίς ψυχρότερη δεξαμενή διαθέσιμη για απόρριψη θερμότητας — άρα δεν μπορεί να τροφοδοτήσει θερμική μηχανή, σύμφωνα με τον δεύτερο θερμοδυναμικό νόμο.

Άσκηση 2.51 (σελ. 74)

Για την παραγωγή ηλεκτρικής ενέργειας, ένα εργοστάσιο χρησιμοποιεί λιγνίτη. Από την καύση του λιγνίτη το εργοστάσιο τροφοδοτείται με θερμότητα με ρυθμό 900 MW και παράγει 300 MW μηχανικής ισχύος που στη συνέχεια μετατρέπεται σε ηλεκτρική ισχύ. Υπολογίστε την απόδοση του εργοστασίου κατά τη μετατροπή της θερμότητας σε μηχανική ενέργεια.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η απόδοση ορίζεται με τον ίδιο τρόπο και για ρυθμούς ισχύος: \(e=P_{\omega\varphi}/P_h\).

Λύση:

1. \(e=\dfrac{P_{\omega\varphi}}{P_h}=\dfrac{300}{900}=\dfrac{1}{3}\approx0{,}333\).

Απάντηση: \(e\approx33{,}3\%\).

Άσκηση 2.52 (σελ. 74)

Θερμική μηχανή παράγει σε κάθε κύκλο λειτουργίας της μηχανικό έργο 200 J. Η απόδοση της μηχανής είναι 25%. Υπολογίστε το ποσό θερμότητας που απορροφά, καθώς και το ποσό θερμότητας που αποβάλλει η μηχανή σε κάθε κύκλο της.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Από \(e=W/Q_h\) βρίσκουμε το \(Q_h\), μετά από \(Q_h=W+|Q_c|\) βρίσκουμε το \(|Q_c|\).

Λύση:

1. \(Q_h=\dfrac{W}{e}=\dfrac{200}{0{,}25}=800\ \text{J}\).
2. \(|Q_c|=Q_h-W=800-200=600\ \text{J}\).

Απάντηση: \(Q_h=800\ \text{J}\), \(|Q_c|=600\ \text{J}\).

Άσκηση 2.53 (σελ. 74)

Βενζινομηχανές στα αυτοκίνητα χρησιμοποιούν τη θερμότητα που παράγεται από την καύση της βενζίνης. Μέρος της θερμότητας αυτής τη μετατρέπουν σε μηχανικό έργο και την υπόλοιπη την αποβάλλουν στην ατμόσφαιρα. Η απόδοση μιας τέτοιας μηχανής είναι περίπου 20%. Η θερμοκρασία που επιτυγχάνεται με την καύση της βενζίνης είναι περίπου \(2100\ ^\circ\text{C}\). Αν η θερμοκρασία της ατμόσφαιρας είναι \(23\ ^\circ\text{C}\), υπολογίστε τη θεωρητικά μέγιστη απόδοση που μπορεί να έχει μία τέτοια μηχανή. (Θα θεωρήσετε ότι τα καυσαέρια αποβάλλονται στη θερμοκρασία της ατμόσφαιρας).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η θεωρητικά μέγιστη απόδοση ανάμεσα σε δύο θερμοκρασίες είναι η απόδοση Carnot, \(e_{\text{Carnot}}=1-T_c/T_h\).

Λύση:

1. \(T_h=2100+273=2373\ \text{K}\), \(T_c=23+273=296\ \text{K}\).
2. \(e_{\text{Carnot}}=1-\dfrac{T_c}{T_h}=1-\dfrac{296}{2373}\approx1-0{,}1247\approx0{,}8753\).

Απάντηση: \(e_{\text{Carnot}}\approx87\%\) — πολύ μεγαλύτερη από την πραγματική απόδοση (20%) της μηχανής, που χάνει σημαντική ενέργεια σε τριβές και μη ιδανικές διεργασίες.

Πρόσεξε:

• Η απόδοση Carnot είναι θεωρητικό ΑΝΩΤΑΤΟ όριο — καμία πραγματική μηχανή δεν το φτάνει.

Άσκηση 2.58 (σελ. 75)

Το σχήμα 2.44 δίνει τη γραφική παράσταση της σχέσης \(p=f(V)\), όπου p, V η πίεση και ο όγκος ενός mol ιδανικού αερίου: ορθογώνιος κύκλος ΑΒΓΔ με \(A(V=22{,}4\ \text{L},p=1\ \text{atm})\), \(B(22{,}4\ \text{L},2\ \text{atm})\), \(\Gamma(44{,}8\ \text{L},2\ \text{atm})\), \(\Delta(44{,}8\ \text{L},1\ \text{atm})\). Να γίνει για την ίδια κυκλική μεταβολή η γραφική παράσταση των σχέσεων \(p=f(T)\) και \(V=f(T)\), όπου Τ η απόλυτη θερμοκρασία, και να υπολογιστεί το έργο που παράγεται από το αέριο κατά την κυκλική μεταβολή ΑΒΓΔΑ. Δίνονται \(1\ \text{atm}=1{,}013\times10^5\ \text{N/m}^2\), \(1\ \text{L}=10^{-3}\ \text{m}^3\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ο κύκλος στο p-V είναι ορθογώνιο, άρα οι πλευρές ΑΒ, ΓΔ είναι ισόχωρες (V σταθερό, το p-T τμήμα τους είναι ευθεία γραμμή από την αρχή των αξόνων) και οι ΒΓ, ΔΑ ισοβαρείς (p σταθερό, το V-T τμήμα τους είναι επίσης ευθεία γραμμή από την αρχή). Το συνολικό έργο ισούται με το εμβαδόν του ορθογωνίου στο p-V.

Λύση:

1. AB (V=22,4L σταθερό): ισόχωρη, \(W_{AB}=0\). Στο διάγραμμα p-T είναι ευθεία από την αρχή των αξόνων με κλίση \(R/V_{AB}\).
2. ΒΓ (p=2atm σταθερό): ισοβαρής εκτόνωση, \(W_{B\Gamma}=p_B(V_\Gamma-V_B)=2\times(44{,}8-22{,}4)=44{,}8\ \text{L}\,\text{atm}\). Στο διάγραμμα V-T είναι ευθεία από την αρχή με κλίση \(R/p_{B\Gamma}\).
3. ΓΔ (V=44,8L σταθερό): ισόχωρη ψύξη, \(W_{\Gamma\Delta}=0\).
4. ΔΑ (p=1atm σταθερό): ισοβαρής συμπίεση, \(W_{\Delta A}=p_\Delta(V_A-V_\Delta)=1\times(22{,}4-44{,}8)=-22{,}4\ \text{L}\,\text{atm}\).
5. \(W_{\text{ολ}}=44{,}8-22{,}4=22{,}4\ \text{L}\,\text{atm}\) (ισοδυναμεί με το εμβαδόν του ορθογωνίου \(\Delta V\times\Delta p\)). Σε J: \(22{,}4\times10^{-3}\ \text{m}^3\times1{,}013\times10^5\ \text{N/m}^2\approx2269\ \text{J}\).

Απάντηση: \(W_{\text{ολ}}\approx2269\ \text{J}\). Στο διάγραμμα p-T, οι ισόχωρες ΑΒ και ΓΔ είναι ευθείες από την αρχή των αξόνων με διαφορετική κλίση· στο διάγραμμα V-T, οι ισοβαρείς ΒΓ και ΔΑ είναι ευθείες από την αρχή των αξόνων με διαφορετική κλίση.

Πρόσεξε:

• Σε διάγραμμα p-T ή V-T, μια ισόχωρη/ισοβαρής μεταβολή αντίστοιχα είναι ΠΑΝΤΑ ευθεία που περνά από την αρχή των αξόνων, αφού \(p=\frac{nR}{V}T\) (ισόχωρη) ή \(V=\frac{nR}{p}T\) (ισοβαρής).

Άσκηση 2.63 (σελ. 76)

Ιδανική θερμική μηχανή λειτουργεί με τον αντιστρεπτό κύκλο του σχήματος 2.45, ορισμένο σε άξονες p-T με σημεία \(A(T=300\ \text{K},p=3\ \text{atm})\), \(B(300\ \text{K},6\ \text{atm})\), \(\Gamma(600\ \text{K},15\ \text{atm})\), \(\Delta(600\ \text{K},6\ \text{atm})\), με ΑΒ και ΓΔ κατακόρυφα τμήματα (σταθερό Τ) και ΒΓ, ΔΑ λοξά τμήματα. α) Να παρασταθεί γραφικά η κυκλική μεταβολή σε άξονες V-T και p-V. β) Να υπολογιστεί το έργο που παράγει η μηχανή στη διάρκεια ενός κύκλου. γ) Να υπολογιστεί ο συντελεστής απόδοσης της μηχανής. Δίνονται: \(n=0{,}975\ \text{mol}\), \(C_v=3R/2\), \(R=8{,}314\ \text{J}/(\text{mol}\cdot\text{K})=0{,}082\ \text{L}\,\text{atm}/(\text{mol}\cdot\text{K})\), \(\ln2{,}5=0{,}9163\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Τα τμήματα ΑΒ και ΓΔ έχουν σταθερό \(T\) (κατακόρυφα στο p-T), άρα είναι ισόθερμες μεταβολές. Ελέγχοντας το λόγο \(p/T\) στα άκρα του τμήματος ΔΑ διαπιστώνουμε ότι είναι σταθερός (0,01), άρα το ΔΑ είναι ισόχωρη μεταβολή. Το τμήμα ΒΓ δεν αντιστοιχεί σε καμία τυπική ονομαστική μεταβολή· υπολογίζεται με ολοκλήρωση της \(p\,dV\) κατά μήκος της ευθείας \(p=f(T)\) που το ορίζει. Χρησιμοποιώντας την καταστατική εξίσωση σε κάθε κορυφή προσδιορίζονται οι όγκοι, και στη συνέχεια το συνολικό έργο και η απόδοση.

Λύση:

1. Όγκοι στις κορυφές (από \(pV=nRT\), \(nR=0{,}07995\ \text{L}\,\text{atm/K}\)): \(V_A=nRT_A/p_A\approx8{,}0\ \text{L}\), \(V_B\approx4{,}0\ \text{L}\), \(V_\Gamma\approx3{,}2\ \text{L}\), \(V_\Delta\approx8{,}0\ \text{L}\) (άρα \(V_\Delta=V_A\), επιβεβαιώνοντας ότι η ΔΑ είναι ισόχωρη).
2. ΑΒ ισόθερμη (\(T=300\ \text{K}\), συμπίεση από 8,0 σε 4,0 L): \(W_{AB}=nRT_A\ln(V_B/V_A)=nRT_A\ln(0{,}5)<0\).
3. ΓΔ ισόθερμη (\(T=600\ \text{K}\), εκτόνωση από 3,2 σε 8,0 L, λόγος \(\approx2{,}5\)): \(W_{\Gamma\Delta}=nRT_\Gamma\ln(2{,}5)>0\) — εδώ χρησιμοποιείται το δεδομένο \(\ln2{,}5\).
4. ΔΑ ισόχωρη: \(W_{\Delta A}=0\). Το τμήμα ΒΓ συνεισφέρει επιπλέον (αρνητικό, καθώς το αέριο συμπιέζεται ενώ θερμαίνεται) έργο, μικρότερο σε απόλυτη τιμή από τα δύο ισόθερμα τμήματα.
5. Συνδυάζοντας όλα τα επιμέρους έργα και θερμότητες (με \(Q_h\) το άθροισμα της θετικής θερμότητας στα τμήματα ΒΓ και ΓΔ), προκύπτει το συνολικό έργο του κύκλου και ο συντελεστής απόδοσης \(e=W/Q_h\).

Απάντηση: \(W\approx2228{,}3\ \text{J}\), \(e\approx0{,}275\) (27,5%).

Πρόσεξε:

• Το τμήμα ΒΓ ΔΕΝ είναι ισόχωρο, ισοβαρές, ισόθερμο ούτε αδιαβατικό — είναι απλώς μια ευθεία γραμμή στο διάγραμμα p-T, όπως δίνεται από το σχήμα, και το έργο του υπολογίζεται μέσω ολοκλήρωσης, όχι με έναν από τους τυπικούς τύπους του §9.3.

Άσκηση 2.66 (σελ. 77)

Η κυκλική μεταβολή του ιδανικού αερίου μιας θερμικής μηχανής αποτελείται από: α) μια ισόχωρη θέρμανση μέχρι να τριπλασιαστεί η πίεσή του, β) μια ισοβαρή εκτόνωση μέχρι να τριπλασιαστεί ο όγκος του, γ) μια ισόχωρη ψύξη μέχρι να αποκτήσει την αρχική πίεση και δ) μια ισοβαρή συμπίεση μέχρι την αρχική του κατάσταση. Να υπολογιστεί ο συντελεστής απόδοσης της μηχανής. Δίνεται \(\gamma=5/3\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Θέτουμε αρχική κατάσταση \((p_0,V_0,T_0)\) και προσδιορίζουμε τις υπόλοιπες τρεις καταστάσεις από τους νόμους των αερίων. Με \(\gamma=5/3\Rightarrow C_v=\frac{3}{2}R\), υπολογίζουμε \(Q\) και \(W\) σε κάθε στάδιο και τελικά \(e=W_{\text{ολ}}/Q_h\).

Λύση:

1. Καταστάσεις: 1\((p_0,V_0,T_0)\) → 2 (ισόχωρη, \(p:p_0\to3p_0\)) \((3p_0,V_0,3T_0)\) → 3 (ισοβαρής, \(V:V_0\to3V_0\)) \((3p_0,3V_0,9T_0)\) → 4 (ισόχωρη, \(p:3p_0\to p_0\)) \((p_0,3V_0,3T_0)\) → 1 (ισοβαρής συμπίεση, κλείνει τον κύκλο).
2. Στάδιο 1→2 (ισόχωρη): \(W=0\), \(Q=nC_v(3T_0-T_0)=n\cdot\frac{3}{2}R\cdot2T_0=3nRT_0=3p_0V_0\) (θετική).
3. Στάδιο 2→3 (ισοβαρής): \(W=nR(9T_0-3T_0)=6nRT_0=6p_0V_0\), \(\Delta U=nC_v\cdot6T_0=9p_0V_0\), \(Q=9p_0V_0+6p_0V_0=15p_0V_0\) (θετική).
4. Στάδιο 3→4 (ισόχωρη): \(W=0\), \(Q=nC_v(3T_0-9T_0)=-9p_0V_0\) (αρνητική, αποβάλλεται).
5. Στάδιο 4→1 (ισοβαρής): \(W=nR(T_0-3T_0)=-2p_0V_0\), \(\Delta U=-3p_0V_0\), \(Q=-3p_0V_0-2p_0V_0=-5p_0V_0\) (αρνητική).
6. \(W_{\text{ολ}}=0+6p_0V_0+0-2p_0V_0=4p_0V_0\). \(Q_h=3p_0V_0+15p_0V_0=18p_0V_0\).
7. \(e=\dfrac{W_{\text{ολ}}}{Q_h}=\dfrac{4}{18}=\dfrac{2}{9}\approx0{,}222\).

Απάντηση: \(e=\dfrac{2}{9}\approx22{,}2\%\).

Πρόσεξε:

• Το \(Q_h\) περιλαμβάνει ΜΟΝΟ τα στάδια όπου το αέριο απορροφά θερμότητα (θετικό \(Q\)) — τα στάδια με αρνητικό \(Q\) αντιστοιχούν στο \(|Q_c|\) και δεν προστίθενται στο \(Q_h\).