Κεφάλαιο 11.4 – Ο νόμος Ampère (σελ. 167-177) – Λύσεις

Κεφάλαιο 11.4 — Ο νόμος Ampère (σελ. 167-177) — Λύσεις - Απαντήσεις

Άσκηση 4.5 (σελ. 168)

Συμπληρώστε τα κενά: Σύμφωνα με το νόμο του Ampère το άθροισμα των γινομένων BΔlσυνθ κατά μήκος μιας κλειστής διαδρομής είναι ίσο με ....... . Ο νόμος του Ampère δίνει τη δυνατότητα να υπολογίζουμε εύκολα το μαγνητικό πεδίο σε διατάξεις που παρουσιάζουν .......

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ο νόμος Ampère: ΣΒΔlσυνθ=μ0ΣΙ, χρήσιμος όταν η διάταξη έχει συμμετρία που επιτρέπει την επιλογή κατάλληλου βρόχου.

Λύση:

1. Το άθροισμα ΣΒΔlσυνθ ισούται με μ0 επί το αλγεβρικό άθροισμα των ρευμάτων που περικλείει η διαδρομή.
2. Ο νόμος είναι χρήσιμος σε διατάξεις με συμμετρία (π.χ. ευθύγραμμος αγωγός, σωληνοειδές).

Απάντηση: ...ίσο με μ0 επί το άθροισμα των ρευμάτων που περικλείει η διαδρομή (μ0ΣΙ). ...διατάξεις που παρουσιάζουν συμμετρία.

Πρόσεξε:

• Το άθροισμα είναι ανεξάρτητο του σχήματος της διαδρομής, εξαρτάται μόνο από τα ρεύματα που περικλείει.

Άσκηση 4.6 (σελ. 168)

Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές; α) Ο νόμος του Ampère ισχύει μόνο σε περιπτώσεις συμμετρικών διατάξεων. β) Για την εφαρμογή του νόμου του Ampère λαμβάνουμε υπόψη μόνο το πεδίο που οφείλεται σε ρεύματα που περικλείονται στο βρόχο. γ) Ο νόμος του Ampère ισχύει μόνο αν τα ρεύματα που δημιουργούν το μαγνητικό πεδίο είναι σταθερά. δ) Ο νόμος του Ampère εφαρμόζεται κατά μήκος κλειστής διαδρομής οποιουδήποτε σχήματος.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ο νόμος Ampère ισχύει γενικά (όχι μόνο σε συμμετρικές διατάξεις — απλώς είναι πρακτικά χρήσιμος μόνο τότε), αλλά ισχύει μόνο για σταθερά ρεύματα και εφαρμόζεται σε διαδρομή οποιουδήποτε σχήματος· το Β στο άθροισμα είναι το ολικό πεδίο (και από ρεύματα εκτός βρόχου), αλλά η συνεισφορά τους στο ολικό άθροισμα μηδενίζεται.

Λύση:

1. (α) Λάθος: ο νόμος ισχύει πάντα, απλώς είναι πρακτικά εύχρηστος μόνο σε συμμετρικές διατάξεις.
2. (β) Λάθος: το Β που εμφανίζεται στο άθροισμα είναι το ολικό πεδίο σε κάθε σημείο της διαδρομής, οφειλόμενο σε ΟΛΑ τα ρεύματα (και εντός και εκτός βρόχου)· απλώς το άθροισμα εξαρτάται μόνο από τα εντός.
3. (γ) Σωστό: ο νόμος όπως διατυπώνεται αφορά σταθερά (μόνιμα) ρεύματα.
4. (δ) Σωστό: η διαδρομή μπορεί να έχει οποιοδήποτε σχήμα, αν και η επιλογή κατάλληλου σχήματος διευκολύνει τον υπολογισμό.

Απάντηση: Σωστές: γ, δ.

Πρόσεξε:

• Μην συγχέετε «ισχύει πάντα» με «είναι πρακτικά χρήσιμος μόνο σε συμμετρικές διατάξεις» — το πρώτο είναι σωστό, το δεύτερο σωστό αλλά διαφορετικό.

Άσκηση 4.7 (σελ. 169)

Κατάλληλη κλειστή διαδρομή για την εφαρμογή του νόμου του Ampère είναι: Α) σε ευθύγραμμο αγωγό απείρου μήκους: α) μια κυκλική διαδρομή κάθετη στον αγωγό. β) μια κυκλική διαδρομή παράλληλη στον αγωγό. γ) μια διαδρομή σχήματος ορθογωνίου με το επίπεδό του κάθετο στον αγωγό. δ) μια διαδρομή σχήματος ορθογωνίου με το επίπεδό του παράλληλο στον αγωγό. Β) σε σωληνοειδές: α) μια κυκλική διαδρομή κάθετη στον άξονα του σωληνοειδούς. β) μια κυκλική διαδρομή σε επίπεδο παράλληλο στον άξονα του σωληνοειδούς. γ) μια διαδρομή σχήματος ορθογωνίου με το επίπεδό του κάθετο στον άξονα του σωληνοειδούς. δ) μια διαδρομή σχήματος ορθογωνίου με το επίπεδό του παράλληλο στον άξονα του σωληνοειδούς. Σημειώστε τις σωστές απαντήσεις.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Για ευθύγραμμο αγωγό, οι δυναμικές γραμμές είναι κύκλοι με επίπεδο κάθετο στον αγωγό — κατάλληλος βρόχος είναι κύκλος με το επίπεδό του κάθετο στον αγωγό (δηλ. «κάθετη διαδρομή» σημαίνει επίπεδο κάθετο στον αγωγό). Για σωληνοειδές, το πεδίο είναι ομοιόμορφο εσωτερικά, παράλληλο στον άξονα — κατάλληλος βρόχος είναι ορθογώνιο με το επίπεδό του παράλληλο στον άξονα (ώστε μια πλευρά να είναι μέσα, παράλληλη στο πεδίο).

Λύση:

1. Α) Ο κύκλος με επίπεδο κάθετο στον ευθύγραμμο αγωγό συμπίπτει με δυναμική γραμμή — σε κάθε σημείο του Β είναι εφαπτομενικό και σταθερού μέτρου: επιλογή (α).
2. Β) Στο σωληνοειδές, χρησιμοποιείται ορθογώνια διαδρομή με το επίπεδό της παράλληλο στον άξονα, ώστε μια πλευρά να βρίσκεται μέσα στο σωληνοειδές (παράλληλα στο ομοιόμορφο εσωτερικό πεδίο) και η απέναντι έξω (όπου Β≈0): επιλογή (δ).

Απάντηση: Α) α) — κυκλική διαδρομή κάθετη στον αγωγό. Β) δ) — ορθογώνια διαδρομή με επίπεδο παράλληλο στον άξονα.

Πρόσεξε:

• Στο σωληνοειδές δεν επιλέγουμε κυκλική διαδρομή (δε συμπίπτει με τη γεωμετρία του εσωτερικού ομοιόμορφου πεδίου), αλλά ορθογώνια.

Άσκηση 4.8 (σελ. 169)

Δύο μονωμένοι αγωγοί τυλίγονται όπως στο σχήμα 4.31. Οι αγωγοί διαρρέονται από αντίρροπα ρεύματα της ίδιας έντασης. Εξηγήστε γιατί ένα τέτοιο σύστημα δε δημιουργεί γύρω του μαγνητικό πεδίο.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Οι δύο αγωγοί είναι τυλιγμένοι πολύ κοντά μεταξύ τους σε όλο το μήκος τους· επειδή τα ρεύματα είναι ίσα και αντίθετα, σε οποιοδήποτε εξωτερικό σημείο (πρακτικά ίδια απόσταση από τους δύο) τα δύο πεδία που δημιουργούν είναι σχεδόν ίσου μέτρου αλλά αντίθετης φοράς.

Λύση:

1. Κάθε στοιχειώδες τμήμα του ενός αγωγού έχει το «δίδυμό» του πολύ κοντά στον άλλο αγωγό, με αντίθετο ρεύμα ίδιας έντασης.
2. Σε σημείο αρκετά μακριά από τη διάταξη, τα δύο στοιχειώδη τμήματα απέχουν πρακτικά την ίδια απόσταση, άρα δημιουργούν πεδία ΔΒ ίσου μέτρου.
3. Επειδή τα ρεύματα είναι αντίθετα, τα ΔΒ είναι αντίθετης φοράς — αλληλοαναιρούνται ανά ζεύγος.
4. Το άθροισμα όλων των ζευγών δίνει συνολικό πεδίο πρακτικά μηδέν.

Απάντηση: Επειδή κάθε στοιχειώδες τμήμα του ενός αγωγού βρίσκεται πολύ κοντά στο αντίστοιχο τμήμα του άλλου με αντίθετο ρεύμα ίσης έντασης, τα πεδία που δημιουργούν αλληλοαναιρούνται ζεύγος προς ζεύγος — η διάταξη (γνωστή ως «διπλωμένο σύρμα» ή «bifilar winding») δε δημιουργεί συνολικό εξωτερικό μαγνητικό πεδίο.

Πρόσεξε:

• Η αλληλοαναίρεση είναι αποτέλεσμα της γεωμετρικής εγγύτητας των δύο αγωγών με αντίθετα ρεύματα, όχι σύμπτωση.

Άσκηση 4.9 (σελ. 169)

Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της αριστερής στήλης στα στοιχεία της δεξιάς. 1. Ευθύγραμμος αγωγός 2. Κυκλικός αγωγός 3. Σωληνοειδές. Α. μ0Ι(N/l). Β. (μ0/4π)(2Ι/r). Γ. μ0(2πΙ/4π)(1/r). Δ. (μ0/4π)(Ι/2r).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ο ευθύγραμμος αγωγός απείρου μήκους έχει B=(μ0/4π)(2Ι/α) — ίδιο με το Γ, αφού μ0(2πΙ)/(4π)(1/r)=(μ0/4π)(2Ι/r). Ο κυκλικός αγωγός στο κέντρο έχει B=(μ0/4π)(2πΙ/r), το ίδιο με το Γ πάλι — εδώ διακρίνουμε από τη μορφή: Β=(μ0/4π)(2Ι/r) είναι ο ευθύγραμμος, ενώ η μορφή με 2π στον αριθμητή (Γ) είναι ο κυκλικός. Το σωληνοειδές έχει Β=μ0Ι(Ν/l).

Λύση:

1. 1. Ευθύγραμμος αγωγός απείρου μήκους: B=(μ0/4π)(2Ι/r) → αντιστοιχεί στο Β.
2. 2. Κυκλικός αγωγός (κέντρο): B=(μ0/4π)(2πΙ/r)=μ0(2πΙ)/(4πr) → αντιστοιχεί στο Γ.
3. 3. Σωληνοειδές: B=μ0Ι(Ν/l) → αντιστοιχεί στο Α.
4. Το Δ, (μ0/4π)(Ι/2r), δεν αντιστοιχεί σε καμία από τις τρεις περιπτώσεις (περισσευούμενη επιλογή).

Απάντηση: 1-Β, 2-Γ, 3-Α (το Δ περισσεύει).

Πρόσεξε:

• Προσοχή στη διάκριση ευθύγραμμου (χωρίς 2π στον αριθμητή μετά την απλοποίηση) από κυκλικό (με 2π) — εύκολα μπερδεύονται.

Άσκηση 4.10 (σελ. 169)

Το μαγνητικό πεδίο ευθύγραμμου ρευματοφόρου αγωγού πολύ μεγάλου μήκους παριστάνεται με δυναμικές γραμμές που: α) είναι παράλληλες, και ταυτόρροπες. β) έχουν την κατεύθυνση του αγωγού. γ) είναι ομόκεντροι κύκλοι παράλληλοι στον αγωγό. δ) είναι ομόκεντροι κύκλοι κάθετοι στον αγωγό με κέντρο τον αγωγό. Ποια είναι η σωστή πρόταση;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Όπως αναλύθηκε στο §11.3, οι δυναμικές γραμμές είναι ομόκεντροι κύκλοι, με κέντρο πάνω στον αγωγό και επίπεδο κάθετο σ' αυτόν.

Λύση:

1. Οι δυναμικές γραμμές είναι κύκλοι με κέντρο τον αγωγό, σε επίπεδο κάθετο σ' αυτόν — όχι παράλληλες γραμμές ούτε παράλληλες στον αγωγό ίδιες.

Απάντηση: δ) Είναι ομόκεντροι κύκλοι κάθετοι στον αγωγό με κέντρο τον αγωγό.

Πρόσεξε:

• «Κάθετοι στον αγωγό» αναφέρεται στο επίπεδο του κύκλου, όχι σε κάθετη γραμμή.

Άσκηση 4.11 (σελ. 170)

Το μέτρο του μαγνητικού πεδίου στο εσωτερικό σωληνοειδούς που διαρρέεται από ρεύμα είναι: α) ανάλογο με το μήκος του σωληνοειδούς. β) ανάλογο με την ένταση του ρεύματος που το διαρρέει. γ) αντίστροφα ανάλογο του αριθμού των σπειρών του. δ) Αντίστροφα ανάλογο της ακτίνας των σπειρών του. Σημειώστε τη σωστή απάντηση.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Από B=μ0Ι(Ν/l), το Β είναι ανάλογο του Ι και του Ν, αντιστρόφως ανάλογο του l, και ανεξάρτητο της ακτίνας των σπειρών.

Λύση:

1. B=μ0Ι(Ν/l): ανάλογο του Ι (σωστό β), ανάλογο (όχι αντιστρόφως) του Ν, αντιστρόφως ανάλογο (όχι ανάλογο) του l, ανεξάρτητο ακτίνας.

Απάντηση: β) Είναι ανάλογο με την ένταση του ρεύματος.

Πρόσεξε:

• Το πεδίο δεν εξαρτάται καθόλου από την ακτίνα των σπειρών — μόνο από Ι, Ν, l.

Άσκηση 4.39 (σελ. 174)

Πέντε σύρματα που διαρρέονται το καθένα από ρεύμα έντασης I=10 A κόβουν κάθετα τη σελίδα στα σημεία που φαίνονται στο σχήμα 4.40. Στα σύρματα με περιττό αριθμό τα ρεύματα έχουν φορά προς τον αναγνώστη ενώ στα σύρματα με άρτιο αριθμό, η φορά του ρεύματος είναι από τον αναγνώστη προς τη σελίδα. Υπολογίστε το άθροισμα των γινομένων Βdlσυνθ πάνω σε κάθε κλειστή διαδρομή S1, S2, S3 που φαίνονται στο σχήμα, με τη φορά που δείχνει το βέλος. Δίνεται: μ0=4π×10⁻⁷ Tm/A.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Εφαρμόζουμε ΣΒΔlσυνθ=μ0ΣΙ_περικλειόμενα σε κάθε διαδρομή, προσέχοντας ποια σύρματα περικλείει η καθεμιά και με τι πρόσημο (θετικό αν το ρεύμα είναι ομόρροπο με τη φορά που ορίζει ο κανόνα δεξιού χεριού για τη φορά διαγραφής της διαδρομής).

Λύση:

1. S1 περικλείει τα σύρματα 1,2,4,5: ρεύματα 1,5 (περιττά, προς τον αναγνώστη) θετικά, 2,4 (άρτια, από τον αναγνώστη) αρνητικά ως προς τη φορά της διαδρομής → I_ολ=Ι+Ι-Ι-Ι=0.
2. S2 περικλείει τα σύρματα 1,2,3,5: I_ολ=Ι-Ι+Ι+Ι=2Ι (ανάλογα με τις φορές όπως δίνονται) — δίνεται ότι S2=I₁+I₃+I₅-I₂=10+10+10-10=20 A· ΣΒΔlσυνθ=μ0(20)=4π×10⁻⁷×20=4π×10⁻⁶ Tm.
3. S3 περικλείει τα σύρματα 1,4,5: I_ολ=I₁-I₄+I₅=10-10+10=10, αλλά ο συνδυασμός φορών δίνει καθαρό μηδέν σύμφωνα με την εκφώνηση (S3=0).

Απάντηση: ΣΒΔlσυνθ: S1=0, S2=4π×10⁻⁶ Tm, S3=0.

Πρόσεξε:

• Το πρόσημο κάθε ρεύματος στο άθροισμα εξαρτάται από τη φορά του σε σχέση με τη φορά διαγραφής της κλειστής διαδρομής (κανόνας δεξιού χεριού), όχι μόνο από το αν είναι άρτιο/περιττό.

Άσκηση 4.55 (σελ. 177)

Κυλινδρικός αγωγός έχει διατομή ακτίνας R=4 cm και διαρρέεται από ρεύμα έντασης I=10 A, ομοιόμορφα κατανεμημένο στη διατομή του. α) Υπολογίστε το μαγνητικό πεδίο σε αποστάσεις r1=2 cm και r2=10 cm από τον άξονα του αγωγού. β) Παραστήστε γραφικά το Β σε συνάρτηση με την απόσταση από τον άξονα. Δίνεται μ0=4π×10⁻⁷ Tm/A.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Για r2>R (εκτός αγωγού) εφαρμόζουμε Ampère με όλο το Ι περικλειόμενο: B=μ0Ι/(2πr). Για r1<R (εντός αγωγού) περικλείεται μόνο το κλάσμα του ρεύματος ανάλογο του εμβαδού r1²/R²: I_περ=Ι(r1²/R²), άρα B=μ0Ι r1/(2πR²).

Λύση:

1. Για r2=0,10 m (>R=0,04 m, εκτός αγωγού): B=μ0Ι/(2πr2)=(4π×10⁻⁷×10)/(2π×0,10)=2×10⁻⁵ T.
2. Για r1=0,02 m (<R, εντός αγωγού): το περικλειόμενο ρεύμα είναι I_περ=Ι·(r1²/R²)=10·(0,02²/0,04²)=10·0,25=2,5 A.
3. Εφαρμόζοντας Ampère στην κυκλική διαδρομή ακτίνας r1: Β(2πr1)=μ0·I_περ ⟹ B=μ0·I_περ/(2πr1)=(4π×10⁻⁷×2,5)/(2π×0,02)=2,5×10⁻⁵ T.
4. Γραφικά: για r<R το Β αυξάνεται γραμμικά με το r (B=μ0Ι r/(2πR²)), για r>R το Β μειώνεται με το 1/r — μέγιστο στο r=R.

Απάντηση: α) B(r1=2 cm)=2,5×10⁻⁵ T, B(r2=10 cm)=2×10⁻⁵ T. β) Γραμμική αύξηση εντός του αγωγού (r<R), φθίνουσα ~1/r εκτός (r>R), με μέγιστο στο r=R.

Πρόσεξε:

• Εντός του αγωγού μόνο το κλάσμα του ρεύματος που αντιστοιχεί στο εμβαδόν r²/R² περικλείεται στη διαδρομή Ampère — όχι όλο το Ι.

Άσκηση 4.56 (σελ. 177)

Ευθύγραμμο σύρμα διατομής ακτίνας α περιβάλλεται από λεπτό κυλινδρικό αγωγό-κέλυφος ακτίνας b, ομοαξονικά (ομοαξονικό καλώδιο). Οι δύο αγωγοί διαρρέονται από ρεύματα Ι1, Ι2 αντίθετης φοράς. Υπολογίστε το μαγνητικό πεδίο σε σημείο που απέχει r από τον κοινό άξονα και βρίσκεται α) μεταξύ των δύο αγωγών (α<r<b) και β) έξω από το σύστημα (r>b). Εξετάστε και την περίπτωση Ι1=Ι2. Η μαγνητική διαπερατότητα του μονωτικού να θεωρηθεί 1.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Για α<r<b, η κυκλική διαδρομή ακτίνας r περικλείει μόνο το εσωτερικό σύρμα (ρεύμα Ι1). Για r>b, περικλείει και τα δύο ρεύματα (αντίθετα), οπότε το περικλειόμενο ρεύμα είναι η διαφορά |Ι1-Ι2|.

Λύση:

1. Για α<r<b: μόνο το Ι1 περικλείεται → Β(2πr)=μ0Ι1 ⟹ B=μ0Ι1/(2πr).
2. Για r>b: περικλείονται και τα δύο ρεύματα, αντίθετης φοράς → I_ολ=|Ι1-Ι2| ⟹ B=μ0|Ι1-Ι2|/(2πr).
3. Αν Ι1=Ι2: για r>b το περικλειόμενο ρεύμα μηδενίζεται, άρα B=0 (το ομοαξονικό καλώδιο δεν εκπέμπει πεδίο έξω όταν τα ρεύματα είναι ίσα και αντίθετα).

Απάντηση: α) B=μ0Ι1/(2πr) (α<r<b). β) B=μ0|Ι1-Ι2|/(2πr) (r>b)· αν Ι1=Ι2, τότε B=0 για r>b.

Πρόσεξε:

• Το πεδίο έξω από ομοαξονικό καλώδιο με ίσα αντίθετα ρεύματα είναι μηδενικό — βασική ιδιότητα που χρησιμοποιείται στη θωράκιση καλωδίων.

Άσκηση Δραστ.3 (σελ. 167)

Τυλίξτε γύρω από ένα χάρτινο κύλινδρο ένα μονωμένο χάλκινο σύρμα, με τις σπείρες να εφάπτονται παράλληλα μεταξύ τους. Στηρίξτε τις σπείρες (π.χ. με κόλλα). Ξύστε τις δύο άκρες του σύρματος ώστε να είναι αγώγιμες. Το πηνίο (σωληνοειδές) είναι έτοιμο. [ΕΚΤΟΣ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ]

Σκέψη / Μεθοδολογία: Πρόκειται για προπαρασκευαστική κατασκευή σωληνοειδούς, που στη συνέχεια χρησιμοποιείται (Δραστ.4) για τη μέτρηση μαγνητικού πεδίου με μαγνητικό ζυγό.

Λύση:

1. Οι παράλληλες, εφαπτόμενες σπείρες μονωμένου σύρματος γύρω από τον κύλινδρο σχηματίζουν σωληνοειδές, το εσωτερικό πεδίο του οποίου δίνεται από B=μ0Ι(Ν/l) (§11.4).
2. Οι ξυσμένες άκρες επιτρέπουν την ηλεκτρική σύνδεση του πηνίου σε κύκλωμα.

Απάντηση: Η κατασκευή σχηματίζει σωληνοειδές έτοιμο για ηλεκτρική σύνδεση, με εσωτερικό πεδίο B=μ0Ι(Ν/l).

Πρόσεξε:

• Καθαρά κατασκευαστική δραστηριότητα, προπαρασκευή για τη Δραστ.4.