Κεφάλαιο 11.8 – Κίνηση φορτισμένων σωματιδίων μέσα σε μαγνητικό πεδίο (σελ. 170-178) – Λύσεις

Κεφάλαιο 11.8 — Κίνηση φορτισμένων σωματιδίων μέσα σε μαγνητικό πεδίο (σελ. 170-178) — Λύσεις - Απαντήσεις

Άσκηση 4.18 (σελ. 170)

Στο σχ. 4.32 βλέπουμε τις τροχιές τριών σωματιδίων μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο. Τι συμπέρασμα βγάζετε για το είδος του φορτίου κάθε σωματιδίου; (Το πεδίο είναι κάθετο στη σελίδα, με φορά προς τα μέσα.)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Εφαρμόζουμε τον κανόνα των τριών δακτύλων του δεξιού χεριού σε κάθε τροχιά: αν η πραγματική εκτροπή ταιριάζει με τη φορά που προβλέπει ο κανόνας για θετικό φορτίο, το σωματίδιο είναι θετικό· αν είναι αντίθετη, είναι αρνητικό.

Λύση:

1. Για κάθε τροχιά, ο αντίχειρας δείχνει την αρχική ταχύτητα, ο δείκτης το Β (προς τη σελίδα)· ο μέσος δείχνει την αναμενόμενη δύναμη για θετικό φορτίο.
2. Συγκρίνοντας με την πραγματική καμπυλότητα κάθε τροχιάς, προσδιορίζεται αν το φορτίο είναι θετικό (καμπυλότητα προς την κατεύθυνση του μέσου) ή αρνητικό (αντίθετη καμπυλότητα).

Απάντηση: Εφαρμόζοντας τον κανόνα των τριών δακτύλων σε κάθε τροχιά του σχήματος, προσδιορίζεται το πρόσημο του φορτίου κάθε σωματιδίου από τη φορά καμπύλωσης της τροχιάς του.

Πρόσεξε:

• Χωρίς το ακριβές σχήμα δεν προσδιορίζονται συγκεκριμένα πρόσημα — η μέθοδος (κανόνας τριών δακτύλων) είναι το ζητούμενο της άσκησης.

Άσκηση 4.19 (σελ. 170)

Ένα ηλεκτρόνιο εισέρχεται με ταχύτητα υ σε ένα σωληνοειδές που διαρρέεται από ρεύμα. Να περιγραφεί η κίνηση του ηλεκτρονίου, όσο χρόνο παραμένει μέσα στο σωληνοειδές: α) αν εισέρχεται παράλληλα με τον άξονα, β) αν εισέρχεται κάθετα στον άξονα.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το πεδίο στο εσωτερικό σωληνοειδούς είναι ομογενές και παράλληλο στον άξονα. Εφαρμόζονται οι περιπτώσεις Α (παράλληλη κίνηση) και Β (κάθετη κίνηση) του §11.8.

Λύση:

1. α) Η ταχύτητα είναι παράλληλη στο πεδίο (θ=0°) — μηδενική δύναμη Lorentz, το ηλεκτρόνιο συνεχίζει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση κατά μήκος του άξονα, χωρίς μεταβολή.
2. β) Η ταχύτητα είναι κάθετη στο πεδίο (θ=90°) — το ηλεκτρόνιο εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση σε επίπεδο κάθετο στον άξονα, με ακτίνα R=mυ/(Be) όσο παραμένει μέσα στο σωληνοειδές.

Απάντηση: α) Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση κατά μήκος του άξονα (καμία εκτροπή). β) Ομαλή κυκλική κίνηση σε επίπεδο κάθετο στον άξονα, με ακτίνα R=mυ/(Be).

Πρόσεξε:

• Το πεδίο εντός σωληνοειδούς θεωρείται ομογενές, παράλληλο στον άξονα — καθορίζει πλήρως ποια από τις δύο βασικές περιπτώσεις (Α ή Β) ισχύει.

Άσκηση 4.20 (σελ. 171)

[ΕΚΤΟΣ ΥΛΗΣ] Η ένταση της κοσμικής ακτινοβολίας (φορτισμένα σωματίδια από το Διάστημα, με πολύ μεγάλες ταχύτητες) στην Αλάσκα είναι πολύ μεγαλύτερη απ' ό,τι στη χώρα μας. Πού οφείλεται αυτό; [ΕΚΤΟΣ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ]

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η εξήγηση απαιτεί γνώση της γεωμετρίας του μαγνητικού πεδίου της Γης και της παγίδευσης φορτισμένων σωματιδίων κοντά στους πόλους (ζώνες Van Allen) — περιεχόμενο της ενότητας Δ «Κίνηση σε ανομοιογενές μαγνητικό πεδίο», η οποία είναι εκτός εξεταστέας ύλης.

Λύση:

1. Οι δυναμικές γραμμές του μαγνητικού πεδίου της Γης πυκνώνουν κοντά στους πόλους.
2. Τα φορτισμένα σωματίδια της κοσμικής ακτινοβολίας οδηγούνται/συγκεντρώνονται προτιμητέα κοντά στους πόλους λόγω της γεωμετρίας του πεδίου (φαινόμενο «μαγνητικής φιάλης»).
3. Η Αλάσκα, βρισκόμενη σε υψηλό γεωγραφικό πλάτος (κοντά στον βόρειο μαγνητικό πόλο), δέχεται μεγαλύτερη ένταση κοσμικής ακτινοβολίας απ' ό,τι η Ελλάδα, που βρίσκεται σε χαμηλότερο γεωγραφικό πλάτος.

Απάντηση: Οφείλεται στη γεωμετρία του μαγνητικού πεδίου της Γης: κοντά στους πόλους οι δυναμικές γραμμές πυκνώνουν, οδηγώντας εκεί μεγαλύτερη συγκέντρωση φορτισμένων σωματιδίων της κοσμικής ακτινοβολίας. Η Αλάσκα, σε υψηλότερο γεωγραφικό πλάτος, δέχεται περισσότερη ακτινοβολία απ' ό,τι η Ελλάδα.

Πρόσεξε:

• Το θέμα αυτό ανήκει στην ενότητα Δ (ανομοιογενές πεδίο, ζώνες Van Allen) — εκτός εξεταστέας ύλης, παρατίθεται μόνο ενδεικτικά.

Άσκηση 4.21 (σελ. 171)

Γιατί χαλάει η εικόνα της τηλεόρασης (παλιάς, με καθοδικό σωλήνα) αν κοντά της τοποθετήσουμε ένα μαγνήτη;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η εικόνα σε παλιά τηλεόραση σχηματίζεται από δέσμη ηλεκτρονίων που σαρώνει την οθόνη με ακρίβεια. Ένας εξωτερικός μαγνήτης ασκεί δύναμη Lorentz στα κινούμενα ηλεκτρόνια της δέσμης, εκτρέποντάς τα από την προβλεπόμενη πορεία.

Λύση:

1. Τα ηλεκτρόνια της δέσμης κινούνται με ταχύτητα υ μέσα στο μαγνητικό πεδίο του εξωτερικού μαγνήτη.
2. Δέχονται δύναμη Lorentz F=B|q|υsinθ, κάθετη στην ταχύτητά τους, που τα εκτρέπει από την αρχική τους πορεία.
3. Η εκτροπή αλλάζει το σημείο πρόσπτωσης στην οθόνη, παραμορφώνοντας/χαλώντας την εικόνα.

Απάντηση: Ο εξωτερικός μαγνήτης ασκεί δύναμη Lorentz στα κινούμενα ηλεκτρόνια της δέσμης, εκτρέποντάς τα από την προβλεπόμενη τροχιά τους — έτσι δε φτάνουν στο σωστό σημείο της οθόνης και η εικόνα παραμορφώνεται.

Πρόσεξε:

• Το φαινόμενο αφορά μόνο παλιές συσκευές με καθοδικό σωλήνα (CRT) — όχι σύγχρονες οθόνες LCD/OLED.

Άσκηση 4.22 (σελ. 171)

Στο σχήμα 4.33 φαίνονται τρεις περιπτώσεις στις οποίες φορτισμένο σωματίδιο κινείται με ταχύτητα υ μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο Β. Ποια είναι η κατεύθυνση της δύναμης Lorentz που θα δεχτεί το σωματίδιο σε κάθε περίπτωση; (Σωματίδιο αρνητικά φορτισμένο σε κάθε περίπτωση.)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Για αρνητικό φορτίο, η δύναμη έχει αντίθετη κατεύθυνση από αυτήν που δίνει ο κανόνας των τριών δακτύλων για θετικό φορτίο (F=qυ×B, με q<0).

Λύση:

1. Περίπτωση 1: υ κατά -x, B κατά -y → υ×B κατά -z (κανόνας δεξιού χεριού), αλλά επειδή q<0, F κατά +z.
2. Περίπτωση 2: υ κατά -y, B λοξά προς τα πάνω-δεξιά → υπολογίζεται η κατεύθυνση του υ×B και αντιστρέφεται λόγω αρνητικού φορτίου.
3. Περίπτωση 3: υ κατά -y, B κατά +y (αντιπαράλληλα) → υ×B=0 αφού γωνία 0°/180°, άρα F=0 σ' αυτή την περίπτωση.

Απάντηση: Η κατεύθυνση της δύναμης σε κάθε περίπτωση προκύπτει από F=qυ×B με αντιστροφή φοράς λόγω αρνητικού φορτίου· στην τρίτη περίπτωση (υ αντιπαράλληλη στο Β) η δύναμη μηδενίζεται.

Πρόσεξε:

• Για αρνητικό φορτίο πάντα αντιστρέφουμε τη φορά που δίνει ο κανόνας του δεξιού χεριού για θετικό φορτίο.

Άσκηση 4.23 (σελ. 171)

Δύο ηλεκτρόνια κινούνται κυκλικά, στο ίδιο μαγνητικό πεδίο, με ταχύτητες υ1 και υ2 για τις οποίες ισχύει υ1>υ2. Α. Για τις ακτίνες περιστροφής τους ισχύει: α) R1=R2 β) R1>R2 γ) R1<R2. Β. Για τις συχνότητες περιστροφής ισχύει: α) f1=f2 β) f1>f2 γ) f1<f2.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η ακτίνα R=mυ/(B|q|) είναι ανάλογη της ταχύτητας — μεγαλύτερη υ σημαίνει μεγαλύτερη R. Η περίοδος T=2πm/(B|q|) (άρα και η συχνότητα f=1/T) είναι ανεξάρτητη της ταχύτητας — ίδια για τα δύο ηλεκτρόνια (ίδιο B, ίδιο m, q).

Λύση:

1. Α. Αφού υ1>υ2 και R=mυ/(B|q|) με σταθερά m,B,|q| (ίδιο πεδίο, ίδιο είδος σωματιδίου): R1>R2.
2. Β. Η περίοδος T=2πm/(B|q|) δεν εξαρτάται από την υ — άρα T1=T2, οπότε και f1=f2.

Απάντηση: Α. β) R1>R2. Β. α) f1=f2.

Πρόσεξε:

• Κλασική παγίδα: μεγαλύτερη ταχύτητα σημαίνει μεγαλύτερη ακτίνα ΑΛΛΑ ΙΔΙΑ περίοδο/συχνότητα — αντισταθμίζονται ακριβώς.

Άσκηση 4.24 (σελ. 171)

Στο σχήμα 4.34 φαίνονται -χωρίς κλίμακα- οι τροχιές ενός πρωτονίου και ενός ηλεκτρονίου που κινούνται με ταχύτητα ίδιας τιμής μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο Β (κάθετο στη σελίδα, προς τα μέσα). α) Ποιο από τα δύο σωματίδια αντιστοιχεί στην τροχιά μεγαλύτερης ακτίνας; β) Ποια είναι η φορά της κίνησης κάθε σωματιδίου;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η μάζα του πρωτονίου είναι περίπου 1836 φορές μεγαλύτερη από του ηλεκτρονίου, ενώ τα φορτία έχουν ίδιο μέτρο. Από R=mυ/(B|q|), με ίδιο υ, Β, |q|, το πρωτόνιο (μεγαλύτερη μάζα) έχει πολύ μεγαλύτερη ακτίνα.

Λύση:

1. R=mυ/(B|q|): αφού m_πρωτονίου≫m_ηλεκτρονίου, η εξωτερική (μεγαλύτερη) τροχιά αντιστοιχεί στο πρωτόνιο, η εσωτερική (μικρότερη) στο ηλεκτρόνιο.
2. Η φορά κίνησης προσδιορίζεται από τον κανόνα των τριών δακτύλων: για αντίθετα πρόσημα φορτίου (πρωτόνιο θετικό, ηλεκτρόνιο αρνητικό) με ίδιο Β, οι δυνάμεις (άρα και η φορά περιστροφής) είναι αντίθετες.

Απάντηση: α) Η εξωτερική (μεγαλύτερη) τροχιά αντιστοιχεί στο πρωτόνιο, λόγω της πολύ μεγαλύτερης μάζας του. β) Το πρωτόνιο και το ηλεκτρόνιο περιστρέφονται με αντίθετη φορά, λόγω του αντίθετου προσήμου φορτίου τους.

Πρόσεξε:

• Η ακτίνα εξαρτάται από τη μάζα, όχι το φορτίο (ίδιο μέτρο και στα δύο) — η μεγάλη διαφορά μάζας καθορίζει ποια τροχιά είναι ποια.

Άσκηση 4.25 (σελ. 171)

Φορτισμένο σωματίδιο κινείται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο κάθετα στις δυναμικές γραμμές του. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές; α) Το μαγνητικό πεδίο δε μεταβάλλει την ορμή του. β) Το μαγνητικό πεδίο δεν επιταχύνει το σωματίδιο. γ) Το μαγνητικό πεδίο δε μεταβάλλει την κινητική ενέργεια του σωματιδίου. δ) Η δύναμη του μαγνητικού πεδίου δεν παράγει έργο.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Σε κυκλική κίνηση, η ορμή (διάνυσμα) μεταβάλλεται συνεχώς σε κατεύθυνση (αν και όχι σε μέτρο). Υπάρχει κεντρομόλος επιτάχυνση (το σωματίδιο ΕΠΙΤΑΧΥΝΕΤΑΙ με την έννοια της μεταβολής της ταχύτητας-διάνυσμα, όχι του μέτρου). Η κινητική ενέργεια (εξαρτάται μόνο από το μέτρο της ταχύτητας) παραμένει σταθερή, αφού το έργο της δύναμης Lorentz είναι πάντα μηδέν.

Λύση:

1. α) Λάθος: η ορμή (διάνυσμα mυ) αλλάζει συνεχώς κατεύθυνση στην κυκλική κίνηση — μεταβάλλεται.
2. β) Λάθος: υπάρχει κεντρομόλος επιτάχυνση (μεταβολή διεύθυνσης της ταχύτητας) — το σωματίδιο επιταχύνεται με την έννοια a=υ²/R, απλά όχι το μέτρο της ταχύτητας.
3. γ) Σωστό: η κινητική ενέργεια εξαρτάται μόνο από το μέτρο υ, το οποίο παραμένει σταθερό — άρα η Κ.Ε. δε μεταβάλλεται.
4. δ) Σωστό: η δύναμη Lorentz είναι πάντα κάθετη στην ταχύτητα, άρα το έργο της είναι μηδέν σε κάθε στιγμή.

Απάντηση: Σωστές: γ, δ.

Πρόσεξε:

• Προσοχή στη διάκριση: η ΟΡΜΗ (διάνυσμα) και η φορά της ταχύτητας ΑΛΛΑΖΟΥΝ, αλλά η ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ (εξαρτάται μόνο από το μέτρο) παραμένει σταθερή.

Άσκηση 4.26 (σελ. 172)

Ένα φορτισμένο σωματίδιο εισέρχεται σε ομογενές μαγνητικό πεδίο με ταχύτητα υ0 κάθετη στις δυναμικές του γραμμές και αφού διαγράψει ημικύκλιο εξέρχεται από αυτό σε χρόνο t1. Α. i. Τι είδους φορτίο φέρει το σωματίδιο; ii. Ποια σχέση συνδέει την ταχύτητα υ1 εξόδου με την υ0; Β. Ένα δεύτερο όμοιο σωματίδιο μπαίνει με ταχύτητα 2υ0. i. Για το χρόνο παραμονής t2: α) t1=t2 β) t1>t2 γ) t1<t2; ii. Για την ακτίνα R2: α) R1=R2 β) R1>R2 γ) R1<R2;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το είδος φορτίου προσδιορίζεται από τη φορά εκτροπής στο σχήμα (δεν είναι αριθμητικά προσδιορίσιμο χωρίς το σχήμα, αλλά η μέθοδος είναι ο κανόνας τριών δακτύλων). Η υ1=υ0 πάντα, αφού το μέτρο της ταχύτητας δε μεταβάλλεται στη δύναμη Lorentz. Ο χρόνος διαγραφής ημικυκλίου είναι t=T/2=πm/(B|q|), ανεξάρτητος ταχύτητας — άρα t1=t2. Η ακτίνα είναι ανάλογη της ταχύτητας — R2=2R1.

Λύση:

1. Α.i. Το είδος φορτίου προσδιορίζεται εφαρμόζοντας τον κανόνα των τριών δακτύλων στη φορά εκτροπής του σχήματος 4.35.
2. Α.ii. Το μέτρο της ταχύτητας δε μεταβάλλεται από τη δύναμη Lorentz (μηδενικό έργο) — άρα υ1=υ0.
3. Β.i. Ο χρόνος διαγραφής ημικυκλίου είναι t=T/2=πm/(B|q|), ανεξάρτητος της ταχύτητας — άρα t1=t2.
4. Β.ii. Η ακτίνα R=mυ/(B|q|) είναι ανάλογη της ταχύτητας — διπλασιάζοντας την υ, διπλασιάζεται και η R, άρα R1<R2.

Απάντηση: Α.ii. υ1=υ0. Β.i. α) t1=t2 (ο χρόνος ημικυκλίου είναι ανεξάρτητος ταχύτητας). Β.ii. γ) R1<R2 (η ακτίνα διπλασιάζεται μαζί με την ταχύτητα).

Πρόσεξε:

• Ο χρόνος (και η περίοδος) της κυκλικής κίνησης δεν εξαρτώνται από την ταχύτητα — μόνο η ακτίνα εξαρτάται.

Άσκηση 4.27 (σελ. 172)

Στο σχήμα 4.36 η κόκκινη γραμμή δείχνει την τροχιά φορτισμένου σωματιδίου. Το σωματίδιο περνά από δύο μαγνητικά πεδία Β1 και Β2 όπου διαγράφει ημικυκλικές τροχιές, στη συνέχεια εισέρχεται σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο πυκνωτή. α) Τι είδους φορτίο φέρει; β) Ποιες είναι οι κατευθύνσεις των δύο μαγνητικών πεδίων; γ) Ποιο μαγνητικό πεδίο είναι πιο ισχυρό; δ) Σε ποιο πεδίο παραμένει περισσότερο χρόνο;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Από την εκτροπή προς τα πάνω δεξιά στον πυκνωτή (θετική άνω πλάκα, αρνητική κάτω), το φορτίο προσδιορίζεται από τη φορά της ηλεκτρικής δύναμης. Οι κατευθύνσεις των Β προσδιορίζονται από τη φορά καμπύλωσης σε κάθε περιοχή (κανόνας τριών δακτύλων). Το πεδίο με τη μικρότερη ακτίνα τροχιάς είναι το ισχυρότερο (R=mυ/(B|q|), αντιστρόφως ανάλογη του Β). Ο χρόνος σε κάθε ημικύκλιο είναι t=πm/(B|q|) — το ασθενέστερο πεδίο δίνει μεγαλύτερο χρόνο παραμονής.

Λύση:

1. Από την κατεύθυνση εκτροπής στο ηλεκτρικό πεδίο του πυκνωτή (προς την θετικά φορτισμένη πλάκα) προσδιορίζεται ότι το σωματίδιο είναι αρνητικά φορτισμένο.
2. Οι κατευθύνσεις των Β1 και Β2 προσδιορίζονται εφαρμόζοντας τον κανόνα τριών δακτύλων στις δύο ημικυκλικές τροχιές του σχήματος.
3. Το πεδίο B1 (μικρότερη ακτίνα τροχιάς, σύμφωνα με το σχήμα) είναι το ισχυρότερο, αφού R=mυ/(B|q|) είναι αντιστρόφως ανάλογη του Β.
4. Ο χρόνος διαγραφής ημικυκλίου t=πm/(B|q|) είναι αντιστρόφως ανάλογος του Β — άρα το σωματίδιο παραμένει περισσότερο χρόνο στο ασθενέστερο πεδίο (B2).

Απάντηση: α) Αρνητικό φορτίο. β) Προσδιορίζονται από τον κανόνα τριών δακτύλων στις δύο τροχιές. γ) Το B1 (μικρότερη ακτίνα). δ) Παραμένει περισσότερο χρόνο στο ασθενέστερο πεδίο B2.

Πρόσεξε:

• Ισχυρότερο πεδίο → μικρότερη ακτίνα ΑΛΛΑ και μικρότερος χρόνος παραμονής — και τα δύο αντιστρόφως ανάλογα του Β.

Άσκηση 4.28 (σελ. 172)

Τι κίνηση κάνει ένα φορτισμένο σωματίδιο που εισέρχεται σε ομογενές μαγνητικό πεδίο με τυχαία γωνία ως προς τις δυναμικές γραμμές του; Αιτιολογήστε την απάντησή σας.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Πρόκειται για την περίπτωση Γ του §11.8 (ομογενές πεδίο, τυχαία γωνία) — αναλύουμε την ταχύτητα σε παράλληλη και κάθετη συνιστώσα στο πεδίο.

Λύση:

1. Αναλύουμε την ταχύτητα σε συνιστώσα υ∥ (παράλληλη στο πεδίο) και υ⊥ (κάθετη).
2. Η υ∥ δίνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση κατά μήκος του πεδίου (καμία δύναμη).
3. Η υ⊥ δίνει ομαλή κυκλική κίνηση σε επίπεδο κάθετο στο πεδίο, με R=mυ⊥/(B|q|).
4. Ο συνδυασμός των δύο κινήσεων δίνει ελικοειδή (σπειροειδή) τροχιά, με βήμα έλικας β=υ∥·T=υ∥·2πm/(B|q|).

Απάντηση: Εκτελεί ελικοειδή (σπειροειδή) κίνηση: η παράλληλη συνιστώσα της ταχύτητας δίνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση κατά μήκος του πεδίου, η κάθετη συνιστώσα δίνει ομαλή κυκλική κίνηση γύρω από τον άξονα του πεδίου, και ο συνδυασμός τους σχηματίζει έλικα.

Πρόσεξε:

• Αυτή είναι η περίπτωση Γ (ομογενές πεδίο, τυχαία γωνία) — ΔΕΝ πρέπει να συγχέεται με την εκτός ύλης περίπτωση Δ (ανομοιογενές πεδίο).

Άσκηση 4.41 (σελ. 174)

Ηλεκτρόνιο βάλλεται με ταχύτητα υ=10⁴ m/s, κάθετα στις δυναμικές γραμμές ομογενούς μαγνητικού πεδίου έντασης B=2×10⁻² T. Να υπολογιστεί η ακτίνα και η περίοδος περιστροφής του ηλεκτρονίου. Δίνονται e=1,6×10⁻¹⁹ C, me=9,1×10⁻³¹ kg.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Απευθείας εφαρμογή των τύπων R=mυ/(B|q|) και T=2πm/(B|q|).

Λύση:

1. R=mυ/(B|q|)=(9,1×10⁻³¹×10⁴)/(2×10⁻²×1,6×10⁻¹⁹)=(9,1×10⁻²⁷)/(3,2×10⁻²¹)≈2,84×10⁻⁶ m.
2. T=2πm/(B|q|)=(2π×9,1×10⁻³¹)/(3,2×10⁻²¹)≈17,86×10⁻¹⁰ s.

Απάντηση: R≈2,84×10⁻⁶ m, T≈17,86×10⁻¹⁰ s.

Πρόσεξε:

• Χρησιμοποιήστε το |q|=e (κατ' απόλυτη τιμή) στους τύπους.

Άσκηση 4.42 (σελ. 174)

Φορτισμένο σωματίδιο διαγράφει κυκλική τροχιά ακτίνας R=20 cm, μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο με B=2 T. Αν το φορτίο του σωματιδίου είναι 2×1,6×10⁻¹⁹ C, να υπολογιστεί το μέτρο της ορμής του.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Από R=mυ/(B|q|) προκύπτει απευθείας p=mυ=B|q|R, χωρίς να χρειάζεται να γνωρίζουμε ξεχωριστά m και υ.

Λύση:

1. p=mυ=B|q|R=2×(2×1,6×10⁻¹⁹)×0,20=2×3,2×10⁻¹⁹×0,20=1,28×10⁻¹⁹ kg·m/s.

Απάντηση: p=1,28×10⁻¹⁹ kg·m/s.

Πρόσεξε:

• Η ορμή προκύπτει απευθείας από p=B|q|R — δεν χρειάζεται να λυθεί ξεχωριστά ως προς m ή υ.

Άσκηση 4.43 (σελ. 174)

Τι τιμή πρέπει να έχει ένα μαγνητικό πεδίο στο διάστημα, ώστε να αναγκάσει ένα πρωτόνιο που κινείται με ταχύτητα υ=10⁷ m/s κάθετα στις δυναμικές του γραμμές, να διαγράψει κυκλική τροχιά ακτίνας ίσης με την ακτίνα της Γης; Δίνονται mp=1,6×10⁻²⁷ kg, e=1,6×10⁻¹⁹ C, RΓ=6400 km.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Λύνουμε ως προς B από τη σχέση R=mυ/(B|q|).

Λύση:

1. B=mυ/(|q|R)=(1,6×10⁻²⁷×10⁷)/(1,6×10⁻¹⁹×6,4×10⁶)=(1,6×10⁻²⁰)/(1,024×10⁻¹²)≈15,6×10⁻⁹ T.

Απάντηση: B≈15,6×10⁻⁹ T.

Πρόσεξε:

• Μετατρέψτε τη RΓ=6400 km σε μέτρα (6,4×10⁶ m) πριν την αντικατάσταση.

Άσκηση 4.44 (σελ. 174)

Ένα πρωτόνιο και ένα σωμάτιο α (πυρήνας ηλίου) έχουν ίσες κινητικές ενέργειες και μπαίνουν σε ομογενές μαγνητικό πεδίο, κάθετα στις δυναμικές γραμμές. Αν η ακτίνα περιστροφής του πρωτονίου είναι Rp=10 cm, να υπολογιστεί η ακτίνα περιστροφής του σωματίου α. Δίνεται ότι η μάζα του α είναι τετραπλάσια της μάζας του πρωτονίου και το φορτίο του α διπλάσιο.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Από K=½mυ² προκύπτει υ=√(2K/m), οπότε R=mυ/(B|q|)=√(2mK)/(B|q|). Με ίδια Κ.Ε. και ίδιο Β, ο λόγος των ακτίνων είναι R_α/R_p=√(m_α/m_p)·(q_p/q_α).

Λύση:

1. R=mυ/(B|q|), με υ=√(2K/m) ⟹ R=√(2mK)/(B|q|).
2. R_α/R_p=√(m_α/m_p)/(q_α/q_p)=√4/2=2/2=1.
3. Άρα R_α=R_p=10 cm.

Απάντηση: R_α=10 cm (ίδια με του πρωτονίου).

Πρόσεξε:

• Ο τετραπλασιασμός της μάζας (√4=2) ακυρώνεται ακριβώς από τον διπλασιασμό του φορτίου — σύμπτωση των συγκεκριμένων αριθμών του σωματίου α.

Άσκηση 4.46 (σελ. 175)

Δέσμη ηλεκτρονίων με κινητική ενέργεια K κατευθύνεται προς μεγάλη μεταλλική επιφάνεια κάθετη στη δέσμη. Μπροστά από την επιφάνεια υπάρχει ομογενές μαγνητικό πεδίο με δυναμικές γραμμές παράλληλες στην επιφάνεια, εύρους D. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή B ώστε τα ηλεκτρόνια να μην πέφτουν πάνω στην επιφάνεια; Δίνονται me, e.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το ηλεκτρόνιο διαγράφει κυκλική τροχιά ακτίνας R=mυ/(Be). Για να μην φτάσει στην επιφάνεια (απόσταση D), πρέπει η μέγιστη διείσδυσή του (ίση με R, στη γεωμετρία κάθετης εισόδου-παράλληλου πεδίου) να μην ξεπερνά το D: R≤D. Η οριακή (ελάχιστη) τιμή του Β αντιστοιχεί σε R=D.

Λύση:

1. Από K=½mυ² ⟹ υ=√(2K/m).
2. Οριακή συνθήκη: R=D ⟹ mυ/(Be)=D ⟹ B=mυ/(eD)=m√(2K/m)/(eD)=√(2mK)/(eD).
3. Άρα B_min=√(2m_eK)/(eD).

Απάντηση: B_min=√(2m_eK)/(eD).

Πρόσεξε:

• Η οριακή τιμή του Β αντιστοιχεί σε τροχιά που εφάπτεται ακριβώς στην επιφάνεια (R=D) — για B>B_min το ηλεκτρόνιο έχει μικρότερη ακτίνα και δε φτάνει στην επιφάνεια.

Άσκηση 4.47 (σελ. 175)

Ηλεκτρόνιο με κινητική ενέργεια K=20 eV (1 eV=1,6×10⁻¹⁹ J) μπαίνει σε περιοχή με ομογενές μαγνητικό πεδίο B=5×10⁻⁴ T. Η ταχύτητα σχηματίζει γωνία φ=60° με τις δυναμικές γραμμές. Βρείτε το βήμα της έλικας. Δίνονται me=9,1×10⁻³¹ kg, e=1,6×10⁻¹⁹ C.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Πρώτα βρίσκουμε την ολική ταχύτητα από K=½mυ², μετά την παράλληλη συνιστώσα υ∥=υcosφ, και τέλος το βήμα β=υ∥T με T=2πm/(Be).

Λύση:

1. K=20 eV=20×1,6×10⁻¹⁹=3,2×10⁻¹⁸ J.
2. υ=√(2K/m)=√(2×3,2×10⁻¹⁸/9,1×10⁻³¹)=√(7,03×10¹²)≈2,65×10⁶ m/s.
3. υ∥=υcos60°=2,65×10⁶×0,5≈1,32×10⁶ m/s.
4. T=2πm/(Be)=(2π×9,1×10⁻³¹)/(5×10⁻⁴×1,6×10⁻¹⁹)=(5,72×10⁻³⁰)/(8×10⁻²³)≈7,15×10⁻⁸ s.
5. β=υ∥·T≈1,32×10⁶×7,15×10⁻⁸≈0,094 m=9,4 cm.

Απάντηση: β≈9,4 cm.

Πρόσεξε:

• Μη ξεχάσετε τη μετατροπή eV→J πριν υπολογίσετε την ταχύτητα.

Άσκηση 4.48 (σελ. 175)

Ένα πρωτόνιο επιταχύνεται σε τάση V=2000 V και στη συνέχεια εισέρχεται σε ομογενές μαγνητικό πεδίο κάθετα στις δυναμικές γραμμές. Να υπολογιστεί η ακτίνα της τροχιάς του. Δίνονται B=2×10⁻² T, e=1,6×10⁻¹⁹ C, mp=1,6×10⁻²⁷ kg.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Πρώτα βρίσκουμε την ταχύτητα εξόδου από το θεώρημα έργου-ενέργειας (qV=½mυ²), μετά εφαρμόζουμε R=mυ/(Bq).

Λύση:

1. eV=½mυ² ⟹ υ=√(2eV/m)=√(2×1,6×10⁻¹⁹×2000/1,6×10⁻²⁷)=√(4×10⁵×10⁸)=√(4×10¹¹)... ας υπολογίσουμε προσεκτικά: 2eV=2×1,6×10⁻¹⁹×2000=6,4×10⁻¹⁶ J. υ²=6,4×10⁻¹⁶/1,6×10⁻²⁷=4×10¹¹, υ=√(4×10¹¹)≈6,32×10⁵ m/s.
2. R=mυ/(Be)=(1,6×10⁻²⁷×6,32×10⁵)/(2×10⁻²×1,6×10⁻¹⁹)=(1,01×10⁻²¹)/(3,2×10⁻²¹)≈0,316 m.

Απάντηση: R≈0,316 m.

Πρόσεξε:

• Χρησιμοποιήστε το θεώρημα έργου-ενέργειας (eV=½mυ²) για να βρείτε πρώτα την ταχύτητα, πριν εφαρμόσετε τον τύπο της ακτίνας.

Άσκηση 4.59 (σελ. 178)

Σε ομογενές μαγνητικό πεδίο B=1 T εισέρχεται ηλεκτρόνιο με ταχύτητα υ=10⁷ m/s. Το διάνυσμα της ταχύτητας σχηματίζει γωνία φ=60° με τη διεύθυνση των δυναμικών γραμμών. Να υπολογιστεί πόσες κυκλικές περιφορές θα κάνει το ηλεκτρόνιο μέχρι να διατρέξει απόσταση s=1 m κατά τη διεύθυνση των δυναμικών γραμμών. Δίνονται me=9,1×10⁻³¹ kg, e=1,6×10⁻¹⁹ C.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Υπολογίζουμε το βήμα της έλικας β=υ∥T, και ο ζητούμενος αριθμός περιφορών είναι Ν=s/β (η απόσταση κατά τον άξονα διαιρεμένη με το βήμα ανά περιφορά).

Λύση:

1. υ∥=υcos60°=10⁷×0,5=5×10⁶ m/s.
2. T=2πm/(Be)=(2π×9,1×10⁻³¹)/(1×1,6×10⁻¹⁹)≈3,575×10⁻¹¹ s.
3. β=υ∥T=5×10⁶×3,575×10⁻¹¹≈1,79×10⁻⁴ m.
4. N=s/β=1/1,79×10⁻⁴≈5587≈5600 περιφορές.

Απάντηση: N≈5600 περιφορές.

Πρόσεξε:

• Ο αριθμός περιφορών προκύπτει διαιρώντας τη ζητούμενη απόσταση κατά τον άξονα με το βήμα της έλικας, όχι με την ολική διαδρομή.

Άσκηση 4.60 (σελ. 178)

Ηλεκτρόνιο μπαίνει σε χώρο δύο πεδίων, ενός ηλεκτρικού και ενός μαγνητικού, με δυναμικές γραμμές παράλληλες και αντίρροπες. Η ταχύτητα του ηλεκτρονίου είναι κάθετη στις δυναμικές γραμμές των πεδίων. Να μελετηθεί η κίνησή του.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Επειδή η ταχύτητα είναι κάθετη τόσο στο Ε όσο και στο Β (τα οποία είναι παράλληλα/αντιπαράλληλα μεταξύ τους, άρα ορίζουν μία κοινή διεύθυνση), η ηλεκτρική δύναμη qE είναι σταθερή διεύθυνση (κατά μήκος Ε), ενώ η μαγνητική δύναμη qυ×B είναι πάντα κάθετη στην (μεταβαλλόμενη) ταχύτητα — η κίνηση είναι κυκλοειδής (συνδυασμός ομοιόμορφης επιτάχυνσης λόγω Ε και κυκλικής τάσης λόγω Β).

Λύση:

1. Το ηλεκτρικό πεδίο ασκεί σταθερή δύναμη F_E=eE στη διεύθυνση του Ε (ή αντίθετη, ανάλογα με πρόσημο), που τείνει να επιταχύνει το ηλεκτρόνιο σε αυτή τη διεύθυνση.
2. Το μαγνητικό πεδίο ασκεί δύναμη Lorentz πάντα κάθετη στη στιγμιαία ταχύτητα, τείνοντας να το στρέψει κυκλικά.
3. Ο συνδυασμός των δύο δίνει σύνθετη κίνηση (κυκλοειδή τύπου τροχιάς), καθώς η ταχύτητα μεταβάλλεται συνεχώς τόσο σε μέτρο (λόγω Ε) όσο και σε κατεύθυνση (λόγω Β).

Απάντηση: Η κίνηση είναι σύνθετη (κυκλοειδούς τύπου): το ηλεκτρικό πεδίο μεταβάλλει το μέτρο της ταχύτητας κατά τη διεύθυνσή του, ενώ το μαγνητικό πεδίο στρέφει συνεχώς την κατεύθυνση της ταχύτητας — το αποτέλεσμα είναι μια καμπύλη τροχιά πιο πολύπλοκη από απλή κυκλική ή ελικοειδή κίνηση.

Πρόσεξε:

• Σε αντίθεση με τον επιλογέα ταχυτήτων (§11.9), εδώ Ε και Β είναι παράλληλα/αντιπαράλληλα μεταξύ τους, όχι κάθετα — οι δυνάμεις δε μπορούν να εξισορροπηθούν σε κάθε στιγμή.