Κεφάλαιο 11.8 – Κίνηση φορτισμένων σωματιδίων μέσα σε μαγνητικό πεδίο (σελ. 171-179) – Λύσεις

Κεφάλαιο 11.8 — Κίνηση φορτισμένων σωματιδίων μέσα σε μαγνητικό πεδίο (σελ. 171-179) — Λύσεις - Απαντήσεις

Άσκηση 4.18 (σελ. 171)

Στο σχ. 4.32 βλέπουμε τις τροχιές τριών σωματιδίων μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο. Τι συμπέρασμα βγάζετε για το είδος του φορτίου κάθε σωματιδίου; (Στο σχήμα το πεδίο είναι κάθετο στη σελίδα με φορά προς τα μέσα. Το πρώτο σωματίδιο μπαίνει από αριστερά κινούμενο προς τα δεξιά και η τροχιά του καμπυλώνεται προς τα πάνω· το δεύτερο κινείται σε ευθεία γραμμή, διαγώνια προς τα κάτω αριστερά· το τρίτο μπαίνει από κάτω κινούμενο προς τα πάνω και η τροχιά του καμπυλώνεται προς τα δεξιά.)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η δύναμη Lorentz σε θετικό φορτίο είναι \(\vec F=q\vec\upsilon\times\vec B\) και τη φορά της τη βρίσκουμε με τον κανόνα των τριών δακτύλων του δεξιού χεριού. Σε αρνητικό φορτίο η δύναμη έχει αντίθετη φορά. Σωματίδιο που δεν εκτρέπεται δεν έχει φορτίο (αφού κινείται κάθετα στο πεδίο).

Λύση:

1. Με το πεδίο προς τα μέσα, θετικό φορτίο που κινείται προς τα δεξιά δέχεται δύναμη προς τα πάνω· γενικά, θετικό φορτίο στρίβει αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού και αρνητικό κατά τη φορά των δεικτών.
2. Πρώτο σωματίδιο: κινείται προς τα δεξιά και η τροχιά του καμπυλώνεται προς τα πάνω (στρίβει αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού) ⇒ θετικό φορτίο.
3. Δεύτερο σωματίδιο: κινείται ευθύγραμμα, κάθετα στο πεδίο, χωρίς εκτροπή ⇒ δεν δέχεται δύναμη, άρα είναι αφόρτιστο.
4. Τρίτο σωματίδιο: κινείται προς τα πάνω και η τροχιά του καμπυλώνεται προς τα δεξιά (στρίβει κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού). Θετικό φορτίο θα δεχόταν δύναμη προς τα αριστερά, άρα το σωματίδιο έχει αρνητικό φορτίο.

Απάντηση: Το σωματίδιο που καμπυλώνεται προς τα πάνω (αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού) είναι θετικά φορτισμένο, αυτό που κινείται ευθύγραμμα είναι αφόρτιστο και αυτό που καμπυλώνεται προς τα δεξιά (κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού) είναι αρνητικά φορτισμένο.

Πρόσεξε:

• Σωματίδιο που κινείται κάθετα σε μαγνητικό πεδίο χωρίς να εκτρέπεται δεν έχει φορτίο.
• Για αρνητικό φορτίο αντιστρέφουμε τη φορά της δύναμης που δίνει ο κανόνας του δεξιού χεριού.

Άσκηση 4.19 (σελ. 171)

Ένα ηλεκτρόνιο εισέρχεται με ταχύτητα υ σε ένα σωληνοειδές που διαρρέεται από ρεύμα. Να περιγραφεί η κίνηση του ηλεκτρονίου, όσο χρόνο παραμένει μέσα στο σωληνοειδές: α) αν εισέρχεται παράλληλα με τον άξονα, β) αν εισέρχεται κάθετα στον άξονα.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το πεδίο στο εσωτερικό σωληνοειδούς είναι ομογενές και παράλληλο στον άξονα. Εφαρμόζονται οι περιπτώσεις Α (παράλληλη κίνηση) και Β (κάθετη κίνηση) του §11.8.

Λύση:

1. α) Η ταχύτητα είναι παράλληλη στο πεδίο (θ=0°) — μηδενική δύναμη Lorentz, το ηλεκτρόνιο συνεχίζει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση κατά μήκος του άξονα, χωρίς μεταβολή.
2. β) Η ταχύτητα είναι κάθετη στο πεδίο (θ=90°) — το ηλεκτρόνιο εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση σε επίπεδο κάθετο στον άξονα, με ακτίνα R=mυ/(Be) όσο παραμένει μέσα στο σωληνοειδές.

Απάντηση: α) Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση κατά μήκος του άξονα (καμία εκτροπή). β) Ομαλή κυκλική κίνηση σε επίπεδο κάθετο στον άξονα, με ακτίνα R=mυ/(Be).

Πρόσεξε:

• Το πεδίο εντός σωληνοειδούς θεωρείται ομογενές, παράλληλο στον άξονα — καθορίζει πλήρως ποια από τις δύο βασικές περιπτώσεις (Α ή Β) ισχύει.

Άσκηση 4.20 (σελ. 172)

[ΕΚΤΟΣ ΥΛΗΣ] Η ένταση της κοσμικής ακτινοβολίας (φορτισμένα σωματίδια από το Διάστημα, με πολύ μεγάλες ταχύτητες) στην Αλάσκα είναι πολύ μεγαλύτερη απ' ό,τι στη χώρα μας. Πού οφείλεται αυτό; [ΕΚΤΟΣ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ]

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η εξήγηση απαιτεί γνώση της γεωμετρίας του μαγνητικού πεδίου της Γης και της παγίδευσης φορτισμένων σωματιδίων κοντά στους πόλους (ζώνες Van Allen) — περιεχόμενο της ενότητας Δ «Κίνηση σε ανομοιογενές μαγνητικό πεδίο», η οποία είναι εκτός εξεταστέας ύλης.

Λύση:

1. Οι δυναμικές γραμμές του μαγνητικού πεδίου της Γης πυκνώνουν κοντά στους πόλους.
2. Τα φορτισμένα σωματίδια της κοσμικής ακτινοβολίας οδηγούνται/συγκεντρώνονται προτιμητέα κοντά στους πόλους λόγω της γεωμετρίας του πεδίου (φαινόμενο «μαγνητικής φιάλης»).
3. Η Αλάσκα, βρισκόμενη σε υψηλό γεωγραφικό πλάτος (κοντά στον βόρειο μαγνητικό πόλο), δέχεται μεγαλύτερη ένταση κοσμικής ακτινοβολίας απ' ό,τι η Ελλάδα, που βρίσκεται σε χαμηλότερο γεωγραφικό πλάτος.

Απάντηση: Οφείλεται στη γεωμετρία του μαγνητικού πεδίου της Γης: κοντά στους πόλους οι δυναμικές γραμμές πυκνώνουν, οδηγώντας εκεί μεγαλύτερη συγκέντρωση φορτισμένων σωματιδίων της κοσμικής ακτινοβολίας. Η Αλάσκα, σε υψηλότερο γεωγραφικό πλάτος, δέχεται περισσότερη ακτινοβολία απ' ό,τι η Ελλάδα.

Πρόσεξε:

• Το θέμα αυτό ανήκει στην ενότητα Δ (ανομοιογενές πεδίο, ζώνες Van Allen) — εκτός εξεταστέας ύλης, παρατίθεται μόνο ενδεικτικά.

Άσκηση 4.21 (σελ. 172)

Γιατί χαλάει η εικόνα της τηλεόρασης (παλιάς, με καθοδικό σωλήνα) αν κοντά της τοποθετήσουμε ένα μαγνήτη;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η εικόνα σε παλιά τηλεόραση σχηματίζεται από δέσμη ηλεκτρονίων που σαρώνει την οθόνη με ακρίβεια. Ένας εξωτερικός μαγνήτης ασκεί δύναμη Lorentz στα κινούμενα ηλεκτρόνια της δέσμης, εκτρέποντάς τα από την προβλεπόμενη πορεία.

Λύση:

1. Τα ηλεκτρόνια της δέσμης κινούνται με ταχύτητα υ μέσα στο μαγνητικό πεδίο του εξωτερικού μαγνήτη.
2. Δέχονται δύναμη Lorentz F=B|q|υsinθ, κάθετη στην ταχύτητά τους, που τα εκτρέπει από την αρχική τους πορεία.
3. Η εκτροπή αλλάζει το σημείο πρόσπτωσης στην οθόνη, παραμορφώνοντας/χαλώντας την εικόνα.

Απάντηση: Ο εξωτερικός μαγνήτης ασκεί δύναμη Lorentz στα κινούμενα ηλεκτρόνια της δέσμης, εκτρέποντάς τα από την προβλεπόμενη τροχιά τους — έτσι δε φτάνουν στο σωστό σημείο της οθόνης και η εικόνα παραμορφώνεται.

Πρόσεξε:

• Το φαινόμενο αφορά μόνο παλιές συσκευές με καθοδικό σωλήνα (CRT) — όχι σύγχρονες οθόνες LCD/OLED.

Άσκηση 4.22 (σελ. 172)

Στο σχήμα 4.33 φαίνονται τρεις περιπτώσεις στις οποίες φορτισμένο σωματίδιο κινείται με ταχύτητα υ μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο Β. Ποια είναι η κατεύθυνση της δύναμης Lorentz που θα δεχτεί το σωματίδιο σε κάθε περίπτωση; (Στο σχήμα: 1η περίπτωση — θετικό σωματίδιο με υ κατά −x και Β κατά −y· 2η περίπτωση — αρνητικό σωματίδιο με υ κατά −y και Β κατά −z· 3η περίπτωση — αρνητικό σωματίδιο με υ κατά −y και Β κατά +y.)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η δύναμη Lorentz είναι \(\vec F=q\,\vec\upsilon\times\vec B\). Βρίσκουμε τη φορά του \(\vec\upsilon\times\vec B\) με τον κανόνα του δεξιού χεριού (\(\hat x\times\hat y=\hat z\), \(\hat y\times\hat z=\hat x\), \(\hat z\times\hat x=\hat y\)) και την αντιστρέφουμε όταν το φορτίο είναι αρνητικό. Αν η ταχύτητα είναι παράλληλη ή αντιπαράλληλη στο πεδίο, η δύναμη είναι μηδέν.

Λύση:

1. 1η περίπτωση (θετικό φορτίο): \(\vec\upsilon\times\vec B=(-\hat x)\times(-\hat y)=\hat x\times\hat y=+\hat z\). Αφού \(q>0\), η δύναμη έχει την κατεύθυνση του θετικού ημιάξονα z.
2. 2η περίπτωση (αρνητικό φορτίο): \(\vec\upsilon\times\vec B=(-\hat y)\times(-\hat z)=\hat y\times\hat z=+\hat x\). Αφού \(q<0\), η δύναμη έχει την κατεύθυνση του αρνητικού ημιάξονα x.
3. 3η περίπτωση (αρνητικό φορτίο): η ταχύτητα (κατά −y) είναι αντιπαράλληλη στο πεδίο (κατά +y), άρα \(\vec\upsilon\times\vec B=0\) και το σωματίδιο δεν δέχεται δύναμη.

Απάντηση: 1η περίπτωση: η δύναμη έχει κατεύθυνση +z. 2η περίπτωση: η δύναμη έχει κατεύθυνση −x. 3η περίπτωση: F = 0 (η ταχύτητα είναι αντιπαράλληλη στο πεδίο).

Πρόσεξε:

• Για αρνητικό φορτίο αντιστρέφουμε τη φορά που δίνει ο κανόνας του δεξιού χεριού για θετικό φορτίο.
• Στην 1η περίπτωση το σωματίδιο είναι θετικό (σημειώνεται με + στο σχήμα)· στις άλλες δύο είναι αρνητικό.

Άσκηση 4.23 (σελ. 172)

Δύο ηλεκτρόνια κινούνται κυκλικά, στο ίδιο μαγνητικό πεδίο, με ταχύτητες υ1 και υ2 για τις οποίες ισχύει υ1>υ2. Α. Για τις ακτίνες περιστροφής τους ισχύει: α) R1=R2 β) R1>R2 γ) R1<R2. Β. Για τις συχνότητες περιστροφής ισχύει: α) f1=f2 β) f1>f2 γ) f1<f2.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η ακτίνα R=mυ/(B|q|) είναι ανάλογη της ταχύτητας — μεγαλύτερη υ σημαίνει μεγαλύτερη R. Η περίοδος T=2πm/(B|q|) (άρα και η συχνότητα f=1/T) είναι ανεξάρτητη της ταχύτητας — ίδια για τα δύο ηλεκτρόνια (ίδιο B, ίδιο m, q).

Λύση:

1. Α. Αφού υ1>υ2 και R=mυ/(B|q|) με σταθερά m,B,|q| (ίδιο πεδίο, ίδιο είδος σωματιδίου): R1>R2.
2. Β. Η περίοδος T=2πm/(B|q|) δεν εξαρτάται από την υ — άρα T1=T2, οπότε και f1=f2.

Απάντηση: Α. β) R1>R2. Β. α) f1=f2.

Πρόσεξε:

• Κλασική παγίδα: μεγαλύτερη ταχύτητα σημαίνει μεγαλύτερη ακτίνα ΑΛΛΑ ΙΔΙΑ περίοδο/συχνότητα — αντισταθμίζονται ακριβώς.

Άσκηση 4.24 (σελ. 172)

Στο σχήμα 4.34 φαίνονται -χωρίς κλίμακα- οι τροχιές ενός πρωτονίου και ενός ηλεκτρονίου που κινούνται με ταχύτητα ίδιας τιμής μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο Β (κάθετο στη σελίδα, προς τα μέσα). α) Ποιο από τα δύο σωματίδια αντιστοιχεί στην τροχιά μεγαλύτερης ακτίνας; β) Ποια είναι η φορά της κίνησης κάθε σωματιδίου;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η μάζα του πρωτονίου είναι περίπου 1836 φορές μεγαλύτερη από του ηλεκτρονίου, ενώ τα φορτία έχουν ίδιο μέτρο. Από R=mυ/(B|q|), με ίδιο υ, Β, |q|, το πρωτόνιο (μεγαλύτερη μάζα) έχει πολύ μεγαλύτερη ακτίνα.

Λύση:

1. R=mυ/(B|q|): αφού m_πρωτονίου≫m_ηλεκτρονίου, η εξωτερική (μεγαλύτερη) τροχιά αντιστοιχεί στο πρωτόνιο, η εσωτερική (μικρότερη) στο ηλεκτρόνιο.
2. Με Β κάθετο στη σελίδα προς τα μέσα, η δύναμη Lorentz F=qυ×B πρέπει να δείχνει προς το κέντρο της τροχιάς: για το πρωτόνιο (θετικό) αυτό συμβαίνει όταν περιστρέφεται αριστερόστροφα, ενώ για το ηλεκτρόνιο (αρνητικό) όταν περιστρέφεται δεξιόστροφα.

Απάντηση: α) Η εξωτερική (μεγαλύτερη) τροχιά αντιστοιχεί στο πρωτόνιο, λόγω της πολύ μεγαλύτερης μάζας του. β) Με Β προς τα μέσα, το πρωτόνιο κινείται αριστερόστροφα και το ηλεκτρόνιο δεξιόστροφα.

Πρόσεξε:

• Η ακτίνα εξαρτάται από τη μάζα, όχι το φορτίο (ίδιο μέτρο και στα δύο) — η μεγάλη διαφορά μάζας καθορίζει ποια τροχιά είναι ποια.

Άσκηση 4.25 (σελ. 172)

Φορτισμένο σωματίδιο κινείται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο κάθετα στις δυναμικές γραμμές του. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές; α) Το μαγνητικό πεδίο δε μεταβάλλει την ορμή του. β) Το μαγνητικό πεδίο δεν επιταχύνει το σωματίδιο. γ) Το μαγνητικό πεδίο δε μεταβάλλει την κινητική ενέργεια του σωματιδίου. δ) Η δύναμη του μαγνητικού πεδίου δεν παράγει έργο.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Σε κυκλική κίνηση, η ορμή (διάνυσμα) μεταβάλλεται συνεχώς σε κατεύθυνση (αν και όχι σε μέτρο). Υπάρχει κεντρομόλος επιτάχυνση (το σωματίδιο ΕΠΙΤΑΧΥΝΕΤΑΙ με την έννοια της μεταβολής της ταχύτητας-διάνυσμα, όχι του μέτρου). Η κινητική ενέργεια (εξαρτάται μόνο από το μέτρο της ταχύτητας) παραμένει σταθερή, αφού το έργο της δύναμης Lorentz είναι πάντα μηδέν.

Λύση:

1. α) Λάθος: η ορμή (διάνυσμα mυ) αλλάζει συνεχώς κατεύθυνση στην κυκλική κίνηση — μεταβάλλεται.
2. β) Λάθος: υπάρχει κεντρομόλος επιτάχυνση (μεταβολή διεύθυνσης της ταχύτητας) — το σωματίδιο επιταχύνεται με την έννοια a=υ²/R, απλά όχι το μέτρο της ταχύτητας.
3. γ) Σωστό: η κινητική ενέργεια εξαρτάται μόνο από το μέτρο υ, το οποίο παραμένει σταθερό — άρα η Κ.Ε. δε μεταβάλλεται.
4. δ) Σωστό: η δύναμη Lorentz είναι πάντα κάθετη στην ταχύτητα, άρα το έργο της είναι μηδέν σε κάθε στιγμή.

Απάντηση: Σωστές: γ, δ.

Πρόσεξε:

• Προσοχή στη διάκριση: η ΟΡΜΗ (διάνυσμα) και η φορά της ταχύτητας ΑΛΛΑΖΟΥΝ, αλλά η ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ (εξαρτάται μόνο από το μέτρο) παραμένει σταθερή.

Άσκηση 4.26 (σελ. 173)

Ένα φορτισμένο σωματίδιο εισέρχεται σε ομογενές μαγνητικό πεδίο με ταχύτητα υ₀ κάθετη στις δυναμικές του γραμμές και αφού διαγράψει ημικύκλιο, όπως δείχνει το σχ. 4.35, εξέρχεται από αυτό σε χρόνο t₁. Α. Τι είδους φορτίο έχει το σωματίδιο; Β. Ποια σχέση συνδέει την ταχύτητα υ₁ με την οποία βγαίνει από το πεδίο με την ταχύτητα υ₀; Γ. Ένα δεύτερο όμοιο σωματίδιο μπαίνει στο μαγνητικό πεδίο με ταχύτητα 2υ₀. i. Για το χρόνο t₂ παραμονής του δεύτερου σωματιδίου στο πεδίο ισχύει α) t₁ = t₂· β) t₁ > t₂· γ) t₁ < t₂. ii. Για την ακτίνα της τροχιάς του δεύτερου σωματιδίου R₂ ισχύει α) R₁ = R₂· β) R₁ > R₂· γ) R₁ < R₂. Σημειώστε τις σωστές απαντήσεις. (Στο σχήμα: το πεδίο έχει φορά προς τη σελίδα· το σωματίδιο μπαίνει κινούμενο προς τα δεξιά και η ημικυκλική τροχιά του καμπυλώνεται προς τα πάνω.)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το είδος του φορτίου το βρίσκουμε από τη φορά εκτροπής με τον κανόνα του δεξιού χεριού (\(\vec F=q\vec\upsilon\times\vec B\)). Η δύναμη Lorentz είναι κάθετη στην ταχύτητα, δεν παράγει έργο και δεν αλλάζει το μέτρο της. Ο χρόνος για ένα ημικύκλιο είναι \(t=T/2=\pi m/(B|q|)\), ανεξάρτητος της ταχύτητας, ενώ η ακτίνα \(R=m\upsilon/(B|q|)\) είναι ανάλογη της ταχύτητας.

Λύση:

1. Α. Το σωματίδιο μπαίνει κινούμενο προς τα δεξιά, με το πεδίο προς τη σελίδα, και εκτρέπεται προς τα πάνω. Για θετικό φορτίο ο κανόνας του δεξιού χεριού δίνει δύναμη προς τα πάνω, άρα το σωματίδιο είναι θετικά φορτισμένο.
2. Β. Η δύναμη Lorentz δεν παράγει έργο, άρα το μέτρο της ταχύτητας δεν αλλάζει: \(\upsilon_1=\upsilon_0\) (η ταχύτητα εξόδου έχει αντίθετη κατεύθυνση).
3. Γ.i. Ο χρόνος για ένα ημικύκλιο είναι \(t=\pi m/(B|q|)\), ανεξάρτητος της ταχύτητας, άρα \(t_1=t_2\) — απάντηση α).
4. Γ.ii. Η ακτίνα \(R=m\upsilon/(B|q|)\) είναι ανάλογη της ταχύτητας· με ταχύτητα \(2\upsilon_0\) είναι \(R_2=2R_1\), άρα \(R_1<R_2\) — απάντηση γ).

Απάντηση: Α. Θετικό φορτίο (μπαίνει προς τα δεξιά με Β προς τη σελίδα και καμπυλώνεται προς τα πάνω). Β. \(\upsilon_1=\upsilon_0\) (ίδιο μέτρο, αντίθετη κατεύθυνση). Γ.i. α) \(t_1=t_2\). Γ.ii. γ) \(R_1<R_2\) (\(R_2=2R_1\)).

Πρόσεξε:

• Ο χρόνος (και η περίοδος) της κυκλικής κίνησης δεν εξαρτώνται από την ταχύτητα — μόνο η ακτίνα εξαρτάται.

Άσκηση 4.27 (σελ. 173)

Στο σχήμα 4.36 η κόκκινη γραμμή δείχνει την τροχιά ενός φορτισμένου σωματιδίου. Το σωματίδιο κατά την κίνησή του περνάει από δύο μαγνητικά πεδία Β₁ και Β₂ (είναι οι γαλάζιες περιοχές του σχήματος) όπου διαγράφει ημικυκλικές τροχιές. Στη συνέχεια εισέρχεται στο ομογενές ηλεκτρικό πεδίο, που δημιουργείται στο εσωτερικό φορτισμένου πυκνωτή. α) Τι είδους φορτίο φέρει το σωματίδιο; β) Ποιες είναι οι κατευθύνσεις των δύο μαγνητικών πεδίων; γ) Ποιο μαγνητικό πεδίο είναι πιο ισχυρό; δ) Σε ποιο από τα δύο μαγνητικά πεδία το σωματίδιο παραμένει περισσότερο χρόνο; (Στο σχήμα: το σωματίδιο κινείται προς τα δεξιά, διαγράφει μικρό ημικύκλιο στο Β₁ (κάτω δεξιά) και επιστρέφει προς τα αριστερά ψηλότερα· διαγράφει μεγαλύτερο ημικύκλιο στο Β₂ (πάνω αριστερά) και κινείται πάλι προς τα δεξιά ανάμεσα στους οπλισμούς του πυκνωτή, με την επάνω πλάκα θετική, όπου εκτρέπεται προς τα πάνω.)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Από την εκτροπή προς τα πάνω δεξιά στον πυκνωτή (θετική άνω πλάκα, αρνητική κάτω), το φορτίο προσδιορίζεται από τη φορά της ηλεκτρικής δύναμης. Οι κατευθύνσεις των Β προσδιορίζονται από τη φορά καμπύλωσης σε κάθε περιοχή (κανόνας τριών δακτύλων). Το πεδίο με τη μικρότερη ακτίνα τροχιάς είναι το ισχυρότερο (R=mυ/(B|q|), αντιστρόφως ανάλογη του Β). Ο χρόνος σε κάθε ημικύκλιο είναι t=πm/(B|q|) — το ασθενέστερο πεδίο δίνει μεγαλύτερο χρόνο παραμονής.

Λύση:

1. Στον πυκνωτή η επάνω πλάκα είναι θετική και η κάτω αρνητική, άρα το πεδίο έχει φορά προς τα κάτω. Το σωματίδιο εκτρέπεται προς τα πάνω, δηλαδή αντίθετα από το πεδίο, άρα είναι αρνητικά φορτισμένο.
2. Στο Β₁ (κάτω δεξιά) το σωματίδιο κινείται προς τα δεξιά και στρίβει προς τα πάνω (αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού)· για αρνητικό φορτίο αυτό απαιτεί πεδίο με φορά προς τον αναγνώστη. Στο Β₂ (πάνω αριστερά) κινείται προς τα αριστερά και στρίβει προς τα πάνω (κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού)· για αρνητικό φορτίο αυτό απαιτεί πεδίο με φορά προς τη σελίδα.
3. Το πεδίο B1 (μικρότερη ακτίνα τροχιάς, σύμφωνα με το σχήμα) είναι το ισχυρότερο, αφού R=mυ/(B|q|) είναι αντιστρόφως ανάλογη του Β.
4. Ο χρόνος διαγραφής ημικυκλίου t=πm/(B|q|) είναι αντιστρόφως ανάλογος του Β — άρα το σωματίδιο παραμένει περισσότερο χρόνο στο ασθενέστερο πεδίο (B2).

Απάντηση: α) Αρνητικό φορτίο (εκτρέπεται προς τη θετική πλάκα του πυκνωτή). β) Το Β₁ έχει φορά προς τον αναγνώστη και το Β₂ προς τη σελίδα. γ) Το Β₁ (μικρότερη ακτίνα τροχιάς, \(R=m\upsilon/(B|q|)\)). δ) Στο Β₂ (ασθενέστερο πεδίο, \(t=\pi m/(B|q|)\)).

Πρόσεξε:

• Ισχυρότερο πεδίο → μικρότερη ακτίνα ΑΛΛΑ και μικρότερος χρόνος παραμονής — και τα δύο αντιστρόφως ανάλογα του Β.

Άσκηση 4.28 (σελ. 173)

Τι κίνηση κάνει ένα φορτισμένο σωματίδιο που εισέρχεται σε ομογενές μαγνητικό πεδίο με τυχαία γωνία ως προς τις δυναμικές γραμμές του; Αιτιολογήστε την απάντησή σας.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Πρόκειται για την περίπτωση Γ του §11.8 (ομογενές πεδίο, τυχαία γωνία) — αναλύουμε την ταχύτητα σε παράλληλη και κάθετη συνιστώσα στο πεδίο.

Λύση:

1. Αναλύουμε την ταχύτητα σε συνιστώσα υ∥ (παράλληλη στο πεδίο) και υ⊥ (κάθετη).
2. Η υ∥ δίνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση κατά μήκος του πεδίου (καμία δύναμη).
3. Η υ⊥ δίνει ομαλή κυκλική κίνηση σε επίπεδο κάθετο στο πεδίο, με R=mυ⊥/(B|q|).
4. Ο συνδυασμός των δύο κινήσεων δίνει ελικοειδή (σπειροειδή) τροχιά, με βήμα έλικας β=υ∥·T=υ∥·2πm/(B|q|).

Απάντηση: Εκτελεί ελικοειδή (σπειροειδή) κίνηση: η παράλληλη συνιστώσα της ταχύτητας δίνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση κατά μήκος του πεδίου, η κάθετη συνιστώσα δίνει ομαλή κυκλική κίνηση γύρω από τον άξονα του πεδίου, και ο συνδυασμός τους σχηματίζει έλικα.

Πρόσεξε:

• Αυτή είναι η περίπτωση Γ (ομογενές πεδίο, τυχαία γωνία) — ΔΕΝ πρέπει να συγχέεται με την εκτός ύλης περίπτωση Δ (ανομοιογενές πεδίο).

Άσκηση 4.41 (σελ. 175)

Ηλεκτρόνιο βάλλεται με ταχύτητα υ=10⁴ m/s, κάθετα στις δυναμικές γραμμές ομογενούς μαγνητικού πεδίου έντασης B=2×10⁻² T. Να υπολογιστεί η ακτίνα και η περίοδος περιστροφής του ηλεκτρονίου. Δίνονται e=1,6×10⁻¹⁹ C, me=9,1×10⁻³¹ kg.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Απευθείας εφαρμογή των τύπων R=mυ/(B|q|) και T=2πm/(B|q|).

Λύση:

1. R=mυ/(B|q|)=(9,1×10⁻³¹×10⁴)/(2×10⁻²×1,6×10⁻¹⁹)=(9,1×10⁻²⁷)/(3,2×10⁻²¹)≈2,84×10⁻⁶ m.
2. T=2πm/(B|q|)=(2π×9,1×10⁻³¹)/(3,2×10⁻²¹)≈17,86×10⁻¹⁰ s.

Απάντηση: R≈2,84×10⁻⁶ m, T≈17,86×10⁻¹⁰ s.

Πρόσεξε:

• Χρησιμοποιήστε το |q|=e (κατ' απόλυτη τιμή) στους τύπους.

Άσκηση 4.42 (σελ. 175)

Φορτισμένο σωματίδιο διαγράφει κυκλική τροχιά ακτίνας R=20 cm, μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο με B=2 T. Αν το φορτίο του σωματιδίου είναι 2×1,6×10⁻¹⁹ C, να υπολογιστεί το μέτρο της ορμής του.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Από R=mυ/(B|q|) προκύπτει απευθείας p=mυ=B|q|R, χωρίς να χρειάζεται να γνωρίζουμε ξεχωριστά m και υ.

Λύση:

1. p=mυ=B|q|R=2×(2×1,6×10⁻¹⁹)×0,20=2×3,2×10⁻¹⁹×0,20=1,28×10⁻¹⁹ kg·m/s.

Απάντηση: p=1,28×10⁻¹⁹ kg·m/s.

Πρόσεξε:

• Η ορμή προκύπτει απευθείας από p=B|q|R — δεν χρειάζεται να λυθεί ξεχωριστά ως προς m ή υ.

Άσκηση 4.43 (σελ. 175)

Τι τιμή πρέπει να έχει ένα μαγνητικό πεδίο στο διάστημα, ώστε να αναγκάσει ένα πρωτόνιο που κινείται με ταχύτητα υ=10⁷ m/s κάθετα στις δυναμικές του γραμμές, να διαγράψει κυκλική τροχιά ακτίνας ίσης με την ακτίνα της Γης; Δίνονται mp=1,6×10⁻²⁷ kg, e=1,6×10⁻¹⁹ C, RΓ=6400 km.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Λύνουμε ως προς B από τη σχέση R=mυ/(B|q|).

Λύση:

1. B=mυ/(|q|R)=(1,6×10⁻²⁷×10⁷)/(1,6×10⁻¹⁹×6,4×10⁶)=(1,6×10⁻²⁰)/(1,024×10⁻¹²)≈15,6×10⁻⁹ T.

Απάντηση: B≈15,6×10⁻⁹ T.

Πρόσεξε:

• Μετατρέψτε τη RΓ=6400 km σε μέτρα (6,4×10⁶ m) πριν την αντικατάσταση.

Άσκηση 4.44 (σελ. 175)

Ένα πρωτόνιο και ένα σωμάτιο α (πυρήνας ηλίου) έχουν ίσες κινητικές ενέργειες και μπαίνουν σε ομογενές μαγνητικό πεδίο, κάθετα στις δυναμικές γραμμές. Αν η ακτίνα περιστροφής του πρωτονίου είναι Rp=10 cm, να υπολογιστεί η ακτίνα περιστροφής του σωματίου α. Δίνεται ότι η μάζα του α είναι τετραπλάσια της μάζας του πρωτονίου και το φορτίο του α διπλάσιο.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Από K=½mυ² προκύπτει υ=√(2K/m), οπότε R=mυ/(B|q|)=√(2mK)/(B|q|). Με ίδια Κ.Ε. και ίδιο Β, ο λόγος των ακτίνων είναι R_α/R_p=√(m_α/m_p)·(q_p/q_α).

Λύση:

1. R=mυ/(B|q|), με υ=√(2K/m) ⟹ R=√(2mK)/(B|q|).
2. R_α/R_p=√(m_α/m_p)/(q_α/q_p)=√4/2=2/2=1.
3. Άρα R_α=R_p=10 cm.

Απάντηση: R_α=10 cm (ίδια με του πρωτονίου).

Πρόσεξε:

• Ο τετραπλασιασμός της μάζας (√4=2) ακυρώνεται ακριβώς από τον διπλασιασμό του φορτίου — σύμπτωση των συγκεκριμένων αριθμών του σωματίου α.

Άσκηση 4.46 (σελ. 176)

Δέσμη ηλεκτρονίων με κινητική ενέργεια K κατευθύνεται προς μεγάλη μεταλλική επιφάνεια κάθετη στη δέσμη. Μπροστά από την επιφάνεια υπάρχει ομογενές μαγνητικό πεδίο με δυναμικές γραμμές παράλληλες στην επιφάνεια, εύρους D. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή B ώστε τα ηλεκτρόνια να μην πέφτουν πάνω στην επιφάνεια; Δίνονται me, e.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το ηλεκτρόνιο διαγράφει κυκλική τροχιά ακτίνας R=mυ/(Be). Για να μην φτάσει στην επιφάνεια (απόσταση D), πρέπει η μέγιστη διείσδυσή του (ίση με R, στη γεωμετρία κάθετης εισόδου-παράλληλου πεδίου) να μην ξεπερνά το D: R≤D. Η οριακή (ελάχιστη) τιμή του Β αντιστοιχεί σε R=D.

Λύση:

1. Από K=½mυ² ⟹ υ=√(2K/m).
2. Οριακή συνθήκη: R=D ⟹ mυ/(Be)=D ⟹ B=mυ/(eD)=m√(2K/m)/(eD)=√(2mK)/(eD).
3. Άρα B_min=√(2m_eK)/(eD).

Απάντηση: B_min=√(2m_eK)/(eD).

Πρόσεξε:

• Η οριακή τιμή του Β αντιστοιχεί σε τροχιά που εφάπτεται ακριβώς στην επιφάνεια (R=D) — για B>B_min το ηλεκτρόνιο έχει μικρότερη ακτίνα και δε φτάνει στην επιφάνεια.

Άσκηση 4.47 (σελ. 176)

Ηλεκτρόνιο με κινητική ενέργεια K=20 eV (1 eV=1,6×10⁻¹⁹ J) μπαίνει σε περιοχή με ομογενές μαγνητικό πεδίο B=5×10⁻⁴ T. Η ταχύτητα σχηματίζει γωνία φ=60° με τις δυναμικές γραμμές. Βρείτε το βήμα της έλικας. Δίνονται me=9,1×10⁻³¹ kg, e=1,6×10⁻¹⁹ C.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Πρώτα βρίσκουμε την ολική ταχύτητα από K=½mυ², μετά την παράλληλη συνιστώσα υ∥=υcosφ, και τέλος το βήμα β=υ∥T με T=2πm/(Be).

Λύση:

1. K=20 eV=20×1,6×10⁻¹⁹=3,2×10⁻¹⁸ J.
2. υ=√(2K/m)=√(2×3,2×10⁻¹⁸/9,1×10⁻³¹)=√(7,03×10¹²)≈2,65×10⁶ m/s.
3. υ∥=υcos60°=2,65×10⁶×0,5≈1,32×10⁶ m/s.
4. T=2πm/(Be)=(2π×9,1×10⁻³¹)/(5×10⁻⁴×1,6×10⁻¹⁹)=(5,72×10⁻³⁰)/(8×10⁻²³)≈7,15×10⁻⁸ s.
5. β=υ∥·T≈1,32×10⁶×7,15×10⁻⁸≈0,094 m=9,4 cm.

Απάντηση: β≈9,4 cm.

Πρόσεξε:

• Μη ξεχάσετε τη μετατροπή eV→J πριν υπολογίσετε την ταχύτητα.

Άσκηση 4.48 (σελ. 176)

Ένα πρωτόνιο επιταχύνεται σε τάση V=2000 V και στη συνέχεια εισέρχεται σε ομογενές μαγνητικό πεδίο κάθετα στις δυναμικές γραμμές. Να υπολογιστεί η ακτίνα της τροχιάς του. Δίνονται B=2×10⁻² T, e=1,6×10⁻¹⁹ C, mp=1,6×10⁻²⁷ kg.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Πρώτα βρίσκουμε την ταχύτητα εξόδου από το θεώρημα έργου-ενέργειας (qV=½mυ²), μετά εφαρμόζουμε R=mυ/(Bq).

Λύση:

1. eV=½mυ² ⟹ υ=√(2eV/m). 2eV=2×1,6×10⁻¹⁹×2000=6,4×10⁻¹⁶ J, υ²=6,4×10⁻¹⁶/1,6×10⁻²⁷=4×10¹¹ m²/s², υ=√(4×10¹¹)≈6,32×10⁵ m/s.
2. R=mυ/(Be)=(1,6×10⁻²⁷×6,32×10⁵)/(2×10⁻²×1,6×10⁻¹⁹)=(1,01×10⁻²¹)/(3,2×10⁻²¹)≈0,316 m.

Απάντηση: R≈0,316 m.

Πρόσεξε:

• Χρησιμοποιήστε το θεώρημα έργου-ενέργειας (eV=½mυ²) για να βρείτε πρώτα την ταχύτητα, πριν εφαρμόσετε τον τύπο της ακτίνας.

Άσκηση 4.59 (σελ. 179)

Σε ομογενές μαγνητικό πεδίο B=1 T εισέρχεται ηλεκτρόνιο με ταχύτητα υ=10⁷ m/s. Το διάνυσμα της ταχύτητας σχηματίζει γωνία φ=60° με τη διεύθυνση των δυναμικών γραμμών. Να υπολογιστεί πόσες κυκλικές περιφορές θα κάνει το ηλεκτρόνιο μέχρι να διατρέξει απόσταση s=1 m κατά τη διεύθυνση των δυναμικών γραμμών. Δίνονται me=9,1×10⁻³¹ kg, e=1,6×10⁻¹⁹ C.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Υπολογίζουμε το βήμα της έλικας β=υ∥T, και ο ζητούμενος αριθμός περιφορών είναι Ν=s/β (η απόσταση κατά τον άξονα διαιρεμένη με το βήμα ανά περιφορά).

Λύση:

1. υ∥=υcos60°=10⁷×0,5=5×10⁶ m/s.
2. T=2πm/(Be)=(2π×9,1×10⁻³¹)/(1×1,6×10⁻¹⁹)≈3,575×10⁻¹¹ s.
3. β=υ∥T=5×10⁶×3,575×10⁻¹¹≈1,79×10⁻⁴ m.
4. N=s/β=1/1,79×10⁻⁴≈5587≈5600 περιφορές.

Απάντηση: N≈5600 περιφορές.

Πρόσεξε:

• Ο αριθμός περιφορών προκύπτει διαιρώντας τη ζητούμενη απόσταση κατά τον άξονα με το βήμα της έλικας, όχι με την ολική διαδρομή.

Άσκηση 4.60 (σελ. 179)

Ηλεκτρόνιο μπαίνει σε χώρο δύο πεδίων, ενός ηλεκτρικού και ενός μαγνητικού, με δυναμικές γραμμές παράλληλες και αντίρροπες. Η ταχύτητα του ηλεκτρονίου είναι κάθετη στις δυναμικές γραμμές των πεδίων. Να μελετηθεί η κίνησή του.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Αναλύουμε την κίνηση σε δύο διευθύνσεις: κάθετα στις δυναμικές γραμμές και κατά μήκος τους. Η μαγνητική δύναμη \(\vec F_B=-e\vec\upsilon\times\vec B\) είναι πάντα κάθετη στο \(\vec B\), άρα επηρεάζει μόνο την κίνηση κάθετα στις γραμμές. Η ηλεκτρική δύναμη \(\vec F_E=-e\vec E\) είναι σταθερή και παράλληλη στις γραμμές, άρα επηρεάζει μόνο την κίνηση κατά μήκος τους.

Λύση:

1. Κάθετα στις δυναμικές γραμμές: η ταχύτητα \(\upsilon_0\) είναι κάθετη στο \(\vec B\) και η ηλεκτρική δύναμη δεν έχει συνιστώσα σε αυτό το επίπεδο. Άρα η προβολή της κίνησης είναι ομαλή κυκλική κίνηση με σταθερή ακτίνα \(R=\frac{m\upsilon_0}{eB}\) και περίοδο \(T=\frac{2\pi m}{eB}\).
2. Κατά μήκος των δυναμικών γραμμών: το ηλεκτρόνιο δέχεται σταθερή δύναμη \(eE\) αντίθετη στο \(\vec E\), δηλαδή ομόρροπη με το \(\vec B\) (αφού τα πεδία είναι αντίρροπα). Ξεκινώντας με μηδενική ταχύτητα σε αυτή τη διεύθυνση, εκτελεί ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με \(a=\frac{eE}{m}\).
3. Η μαγνητική δύναμη εξαρτάται μόνο από τη συνιστώσα της ταχύτητας που είναι κάθετη στο \(\vec B\), η οποία μένει σταθερή κατά μέτρο (\(\upsilon_0\)), οπότε η ακτίνα δεν μεταβάλλεται.
4. Η σύνθεση των δύο κινήσεων δίνει ελικοειδή τροχιά με σταθερή ακτίνα \(R\) γύρω από άξονα παράλληλο στις δυναμικές γραμμές, της οποίας το βήμα (η απόσταση που διανύεται κατά τον άξονα σε κάθε περίοδο) αυξάνεται συνεχώς, αφού η ταχύτητα κατά μήκος του άξονα αυξάνεται.

Απάντηση: Το ηλεκτρόνιο εκτελεί ελικοειδή κίνηση με σταθερή ακτίνα \(R=m\upsilon_0/(eB)\) και σταθερή περίοδο \(T=2\pi m/(eB)\) γύρω από άξονα παράλληλο στις δυναμικές γραμμές. Κατά μήκος των γραμμών κινείται ομαλά επιταχυνόμενα (\(a=eE/m\)) προς την κατεύθυνση του \(\vec B\) (αντίθετα στο \(\vec E\)), οπότε το βήμα της έλικας αυξάνεται συνεχώς.

Πρόσεξε:

• Σε αντίθεση με τον επιλογέα ταχυτήτων (§11.9), εδώ τα Ε και Β είναι αντίρροπα και οι δυνάμεις τους είναι κάθετες μεταξύ τους — δεν μπορούν να αλληλοεξουδετερωθούν.
• Η ηλεκτρική δύναμη, παράλληλη στο Β, δεν αλλάζει την ακτίνα της κυκλικής προβολής· αλλάζει μόνο την ταχύτητα κατά μήκος του άξονα.