Συμπληρώστε τις προτάσεις: Δύο παράλληλοι αγωγοί πολύ μεγάλου μήκους που διαρρέονται από ....... ρεύματα έλκονται, ενώ αν διαρρέονται από ....... ρεύματα ....... . Η δύναμη που ασκεί ο ένας αγωγός σε μήκος l του άλλου είναι ανάλογη με το γινόμενο ....... και με το μήκος l και αντίστροφα ανάλογη .......

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ανάκληση των συμπερασμάτων του §11.11: ομόρροπα ρεύματα → έλξη, αντίρροπα → απώθηση· F ανάλογη του Ι1Ι2 και του l, αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης α.

Λύση:

Ομόρροπα ρεύματα έλκονται.
Αντίρροπα ρεύματα απωθούνται.
Η δύναμη είναι ανάλογη του γινομένου Ι1Ι2 και του l, αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης α.

Απάντηση: ...ομόρροπα... έλκονται, ...αντίρροπα... ρεύματα απωθούνται. ...ανάλογη με το γινόμενο Ι1Ι2... και αντίστροφα ανάλογη της απόστασης α μεταξύ τους.

Πρόσεξε:

Θυμηθείτε: ομόρροπα=έλξη, αντίρροπα=απώθηση — αντίστροφο απ' ό,τι διαισθητικά περιμένει κανείς από ηλεκτρικά φορτία.

Άσκηση 4.52 (σελ. 176)

Δύο παράλληλοι αγωγοί μεγάλου μήκους διαρρέονται από ομόρροπα ρεύματα Ι1=10 A και Ι2=30 A, απέχουν d=8 cm. Τρίτος αγωγός με Ι3=10 A είναι παράλληλος, στο ίδιο επίπεδο, στο μέσο της απόστασης. Αν το Ι3 έχει αντίθετη φορά από τα Ι1,Ι2, υπολογίστε τη δύναμη ανά μονάδα μήκους που δέχεται ο τρίτος αγωγός. Δίνεται μ0=4π×10⁻⁷ Tm/A.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ο τρίτος αγωγός βρίσκεται σε απόσταση d/2=4 cm από καθέναν από τους δύο άλλους. Υπολογίζουμε τη δύναμη ανά μήκος από καθέναν χωριστά (και τις δύο απωστικές, αφού το Ι3 είναι αντίρροπο και με τα δύο) και τις προσθέτουμε (ίδια φορά, αφού ο Ι3 βρίσκεται ανάμεσα).

Λύση:

Απόσταση Ι3 από καθέναν: r=d/2=0,04 m.
F1/l (από Ι1)=μ0Ι1Ι3/(2πr)=(4π×10⁻⁷×10×10)/(2π×0,04)=(4×10⁻⁷×100)/(0,08)... υπολογίζουμε: μ0/(2π)=2×10⁻⁷, άρα F1/l=2×10⁻⁷×10×10/0,04=2×10⁻⁵/0,04=5×10⁻⁴ N/m.
F2/l (από Ι2)=2×10⁻⁷×30×10/0,04=6×10⁻⁵/0,04=1,5×10⁻³ N/m.
Επειδή το Ι3 είναι αντίρροπο και με τα δύο (Ι1,Ι2 ομόρροπα μεταξύ τους), απωθείται και από τα δύο — αλλά προς αντίθετες κατευθύνσεις (μακριά από τον καθένα, δηλαδή οι δύο δυνάμεις είναι αντίθετης φοράς μεταξύ τους αφού ο Ι3 είναι ανάμεσα).
Ολική δύναμη ανά μήκος: F/l=|F2/l - F1/l|=1,5×10⁻³-5×10⁻⁴=1×10⁻³ N/m.

Απάντηση: F/l=10⁻³ N/m.

Πρόσεξε:

Ο τρίτος αγωγός, βρισκόμενος ΑΝΑΜΕΣΑ στους άλλους δύο, δέχεται δύο αντίθετες δυνάμεις (μία από κάθε πλευρά) — αφαιρούνται, δεν προστίθενται.

Άσκηση 4.53 (σελ. 176)

Δύο παράλληλοι αγωγοί μεγάλου μήκους διαρρέονται από αντίρροπα ρεύματα I=10 A και βρίσκονται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο B=0,5×10⁻⁴ T, με το επίπεδό τους κάθετο στις δυναμικές γραμμές του πεδίου. Ο αγωγός 1 είναι ακλόνητα στερεωμένος, ο 2 ελεύθερος. Να υπολογιστεί η απόσταση r ώστε ο αγωγός 2 να ισορροπεί. Δίνεται μ0=4π×10⁻⁷ Tm/A.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ο αγωγός 2 δέχεται δύο δυνάμεις: τη δύναμη Laplace από το εξωτερικό ομογενές πεδίο Β (F_εξ=BIl) και τη δύναμη από τον αγωγό 1 (F_1-2=μ0Ι²l/(2πr), απωστική αφού τα ρεύματα είναι αντίρροπα). Ισορροπία σημαίνει οι δύο δυνάμεις να είναι ίσες και αντίθετες.

Λύση:

Ισορροπία (ανά μονάδα μήκους): BI=μ0Ι²/(2πr) ⟹ r=μ0Ι/(2πB).
r=(4π×10⁻⁷×10)/(2π×0,5×10⁻⁴)=(4×10⁻⁷×10)/(2×0,5×10⁻⁴)=(4×10⁻⁶)/(10⁻⁴)=4×10⁻² m=0,04 m=4 cm.

Απάντηση: r=4×10⁻² m=4 cm.

Πρόσεξε:

Και οι δύο δυνάμεις εξαρτώνται από το ίδιο ρεύμα I του δεύτερου αγωγού, οπότε απλοποιείται στη σχέση εξίσωσης.

Άσκηση 4.54 (σελ. 176)

Τρεις παράλληλοι μεταλλικοί αγωγοί Α,Β,Γ διαρρέονται από ρεύματα ίδιας έντασης I=50 A και απέχουν ανά δύο απόσταση α=30 cm (κορυφές ισόπλευρου τριγώνου). Οι αγωγοί Β,Γ διαρρέονται από ομόρροπα ρεύματα, ενώ Α,Β από αντίρροπα. Να υπολογιστεί το μέτρο της δύναμης ανά μονάδα μήκους που δέχεται ο αγωγός Γ από τους άλλους δύο. Δίνεται μ0=4π×10⁻⁷ Tm/A.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ο αγωγός Γ δέχεται δύναμη από τον Α (ελκτική ή απωστική ανάλογα με τη σχετική φορά — αφού Α,Β αντίρροπα και Β,Γ ομόρροπα, τότε Α,Γ είναι επίσης αντίρροπα) και από τον Β (ομόρροπα, ελκτική). Η γεωμετρία είναι ισόπλευρο τρίγωνο, οπότε η γωνία μεταξύ των δύο δυνάμεων είναι 60°. Συνδυάζουμε διανυσματικά (νόμος συνημιτόνων ή γεωμετρικά, αφού ίσα μέτρα).

Λύση:

Κάθε δύναμη ανά μήκος έχει μέτρο F/l=μ0Ι²/(2πα)=(4π×10⁻⁷×50²)/(2π×0,30)=(4π×10⁻⁷×2500)/(0,6π)=(10⁻³×10⁻³×... ας υπολογίσουμε: μ0/(2π)=2×10⁻⁷, F/l=2×10⁻⁷×2500/0,30=5×10⁻⁴/0,30≈1,667×10⁻³ N/m ανά ζεύγος.
Επειδή Β,Γ ομόρροπα → έλκονται (δύναμη από Β προς Γ, δηλ. πάνω στον Γ κατεύθυνση προς Β). Επειδή Α,Β αντίρροπα, και τα Β,Γ ομόρροπα, τότε τα Α,Γ είναι αντίρροπα → απωθούνται (δύναμη στον Γ κατεύθυνση μακριά από Α).
Οι δύο δυνάμεις στον Γ έχουν ίσο μέτρο (ίδιο Ι, ίδια απόσταση α) και σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία 120° (γεωμετρία ισόπλευρου τριγώνου, με τη μία ελκτική προς Β και την άλλη απωστική μακριά από Α).
Συνισταμένη δύναμη (δύο ίσα διανύσματα F σε γωνία 120°): F_ολ=2Fcos(60°)=2×1,667×10⁻³×0,5=1,667×10⁻³ N/m... Επαναϋπολογίζοντας με το γνωστό αποτέλεσμα 166,7×10⁻⁵ N/m=1,667×10⁻³ N/m, επιβεβαιώνεται.

Απάντηση: F/l≈166,7×10⁻⁵ N/m=1,667×10⁻³ N/m.

Πρόσεξε:

Οι δύο δυνάμεις στον αγωγό Γ ΔΕΝ είναι συγγραμμικές — χρειάζεται διανυσματική (γεωμετρική) σύνθεση λόγω της τριγωνικής διάταξης, όχι απλή πρόσθεση/αφαίρεση μέτρων.

Άσκηση 4.63 (σελ. 178)

Ορθογώνιο πλαίσιο έχει πλευρές α,β και διαρρέεται από ρεύμα Ι1. Ευθύγραμμος αγωγός πολύ μεγάλου μήκους βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο με το πλαίσιο, διαρρέεται από Ι2, είναι παράλληλος με τις πλευρές μήκους α, και απέχει από την πιο κοντινή πλευρά απόσταση γ. Να υπολογιστεί η συνολική δύναμη που δέχεται το πλαίσιο από τον ευθύγραμμο αγωγό. Δίνονται μ0,Ι1,Ι2,α,β,γ.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Οι δύο πλευρές μήκους β (κάθετες στον ευθύγραμμο αγωγό) δέχονται δυνάμεις που αλληλοαναιρούνται (ίσες και αντίθετες, λόγω συμμετρίας). Οι δύο πλευρές μήκους α (παράλληλες στον αγωγό, σε αποστάσεις γ και γ+β) δέχονται δυνάμεις διαφορετικού μέτρου (η κοντινότερη μεγαλύτερη), με αποτέλεσμα καθαρή δύναμη προς τον ευθύγραμμο αγωγό (αν ομόρροπα) ή αντίθετα.

Λύση:

Δύναμη στην κοντινή πλευρά α (απόσταση γ): F1=μ0Ι1Ι2α/(2πγ).
Δύναμη στη μακρινή πλευρά α (απόσταση γ+β): F2=μ0Ι1Ι2α/(2π(γ+β)).
Οι πλευρές μήκους β δίνουν δυνάμεις που αλληλοαναιρούνται.
Καθαρή δύναμη: F=F1-F2=μ0Ι1Ι2α/(2π)·[1/γ - 1/(γ+β)]=μ0Ι1Ι2α/(2π)·[β/(γ(γ+β))]=μ0Ι1Ι2αβ/(2πγ(γ+β)).

Απάντηση: F=μ0Ι1Ι2αβ/(2πγ(γ+β)).

Πρόσεξε:

Μόνο οι δύο πλευρές παράλληλες στον ευθύγραμμο αγωγό συνεισφέρουν καθαρή δύναμη — οι κάθετες αλληλοαναιρούνται λόγω συμμετρίας.

Προηγούμενο Στοιχείο

Επιστροφή στην Ενότητα

Επόμενο Στοιχείο