Κεφάλαιο 12.5 – Στρεφόμενος αγωγός (σελ. 219) – Λύσεις

Κεφάλαιο 12.5 — Στρεφόμενος αγωγός (σελ. 219) — Λύσεις - Απαντήσεις

Άσκηση 5.44 (σελ. 219)

Αγώγιμη ράβδος ΑΓ μήκους \(l=1\ \text{m}\) στρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα \(\omega=10\ \text{rad/s}\) γύρω από άξονα που διέρχεται από σημείο \(O\) της ράβδου, κάθετο σε αυτήν. Το επίπεδο περιστροφής είναι κάθετο στις δυναμικές γραμμές ομογενούς πεδίου \(B=1\ \text{T}\). Η απόσταση \(AO=0{,}4\ \text{m}\). Να βρεθεί η διαφορά δυναμικού μεταξύ των άκρων της ράβδου.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Κάθε τμήμα (ΟΑ και ΟΓ) λειτουργεί σαν ράβδο που στρέφεται γύρω από το άκρο Ο, με \(E=\frac12B\omega r^2\). Επειδή τα δύο τμήματα βρίσκονται σε αντίθετες πλευρές του Ο αλλά περιστρέφονται με το ίδιο \(\omega\), τα άκρα Α και Γ αποκτούν ΤΟ ΙΔΙΟ πρόσημο δυναμικού ως προς το Ο (και τα δύο υψηλότερο ή και τα δύο χαμηλότερο) — οπότε η τάση \(V_{AΓ}\) προκύπτει από ΑΦΑΙΡΕΣΗ, όχι άθροισμα.

Λύση:

1. \(O\Gamma=l-AO=1-0{,}4=0{,}6\ \text{m}\).
2. \(E_{OA}=\frac12B\omega(AO)^2=0{,}5\times1\times10\times0{,}16=0{,}8\ \text{V}\).
3. \(E_{O\Gamma}=\frac12B\omega(O\Gamma)^2=0{,}5\times1\times10\times0{,}36=1{,}8\ \text{V}\).
4. Τα Α, Γ βρίσκονται στο ίδιο πρόσημο δυναμικού ως προς το Ο (συμμετρική ακτινική ώθηση φορτίου και στα δύο τμήματα), άρα \(V_{AΓ}=|E_{O\Gamma}-E_{OA}|=1{,}8-0{,}8=1{,}0\ \text{V}\).

Απάντηση: \(V_{AΓ}=1\ \text{V}\).

Πρόσεξε:

• Επειδή ο άξονας ΔΕΝ είναι σε άκρο της ράβδου, η τάση των άκρων προκύπτει από ΑΦΑΙΡΕΣΗ των δύο επιμέρους ΗΕΔ, όχι άθροισμα — κλασική παγίδα.

Άσκηση 5.45 (σελ. 219)

Χάλκινος δίσκος ακτίνας \(10\ \text{cm}\) στρέφεται γύρω από τον άξονά του με συχνότητα \(1500\) στροφές/min. Το επίπεδό του είναι κάθετο στις δυναμικές γραμμές ομογενούς πεδίου. Η τάση ανάμεσα στην περιφέρεια και το κέντρο είναι \(0{,}628\ \text{V}\) (κατ' απόλυτη τιμή). Να σχεδιάσετε τη διάταξη και να υπολογίσετε το μέτρο του πεδίου.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Χρησιμοποιούμε τη σχέση του δίσκου Faraday, \(E_{\text{επ}}=\frac12B\omega r^2\), λύνοντας ως προς \(B\).

Λύση:

1. \(f=1500\ \text{στρ/min}=25\ \text{Hz} \Rightarrow \omega=2\pi f=2\pi\times25=50\pi\ \text{rad/s}\approx157\ \text{rad/s}\).
2. \(B=\dfrac{2E_{\text{επ}}}{\omega r^2}=\dfrac{2\times0{,}628}{157\times0{,}01}=\dfrac{1{,}256}{1{,}57}\approx0{,}8\ \text{T}\).

Απάντηση: \(B\approx0{,}8\ \text{T}\) (διάταξη: δίσκος Faraday με ψήκτρες στο κέντρο και στην περιφέρεια — σχ. 5.17 του βιβλίου).

Πρόσεξε:

• Η συχνότητα πρέπει πρώτα να μετατραπεί από στροφές/min σε Hz και μετά σε γωνιακή ταχύτητα \(\omega=2\pi f\).