Εάν αυξηθεί η συχνότητα περιστροφής του ρότορα μιας ηλεκτρογεννήτριας, τι θα συμβεί στην ενεργό τιμή της τάσης που παρέχει; α) θα παραμείνει ίδια, β) θα αυξηθεί, γ) θα μειωθεί.

Σκέψη / Μεθοδολογία: \(V=N\omega BA\) (πλάτος) αυξάνεται με το \(\omega\)· άρα και \(V_{\varepsilon\nu}=V/\sqrt2\) αυξάνεται.

Λύση:

Το πλάτος \(V=N\omega BA\) είναι ανάλογο του \(\omega\) — αύξηση συχνότητας περιστροφής σημαίνει αύξηση \(\omega\), άρα αύξηση \(V\), άρα και της ενεργού \(V_{\varepsilon\nu}=V/\sqrt2\).

Απάντηση: β) Θα αυξηθεί.

Άσκηση 5.21 (σελ. 214)

Ποιες προτάσεις είναι σωστές; α) Η φορά του εναλλασσόμενου ρεύματος αλλάζει περιοδικά. β) Η τάση στα άκρα αντιστάτη και το ρεύμα που τον διαρρέει έχουν ίδια συχνότητα και είναι σε φάση. γ) Η ενεργός τιμή είναι η μέση τιμή της έντασης. δ) Το αίτιο παραγωγής θερμότητας σε αντιστάτη είναι ίδιο, DC ή AC. ε) Το πλάτος του εναλλασσόμενου ρεύματος μεταβάλλεται ημιτονοειδώς με τον χρόνο.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Διάκριση ανάμεσα σε ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ τιμή (μεταβάλλεται) και ΠΛΑΤΟΣ/ΕΝΕΡΓΟ τιμή (σταθερά μεγέθη). Η ενεργός τιμή ορίζεται θερμικά, όχι ως απλή μέση τιμή (που θα ήταν μηδέν σε πλήρη περίοδο ημιτόνου).

Λύση:

α) Σωστό — ορισμός εναλλασσόμενου ρεύματος.
β) Σωστό — σε αντιστάτη, \(\upsilon=iR\), άρα ίδια χρονική εξάρτηση, ίδια φάση.
γ) Λάθος — η ενεργός τιμή ΔΕΝ είναι η μέση τιμή (η μέση τιμή ημιτονοειδούς σε πλήρη περίοδο είναι μηδέν)· ορίζεται μέσω θερμικής ισοδυναμίας.
δ) Σωστό — το φαινόμενο Joule έχει την ίδια μικροσκοπική αιτία (συγκρούσεις φορέων-πλέγματος) και στα δύο.
ε) Λάθος — το ΠΛΑΤΟΣ \(I\) είναι σταθερό μέγεθος· η ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ τιμή \(i\) μεταβάλλεται ημιτονοειδώς, όχι το πλάτος.

Απάντηση: Σωστές: α, β, δ. Λάθος: γ, ε.

Πρόσεξε:

Μη συγχέετε «πλάτος» (σταθερό) με «στιγμιαία τιμή» (μεταβαλλόμενη) — κλασική παγίδα στο (ε).

Άσκηση 5.22 (σελ. 214)

Οι λάμπες στο σπίτι τροφοδοτούνται με εναλλασσόμενη τάση ενεργού τιμής 220 V και συχνότητας 50 Hz — άρα διαρρέονται από ρεύμα ίδιας συχνότητας. Γιατί δεν παρατηρούνται αυξομειώσεις στην ένταση του φωτισμού;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η ισχύς (άρα και η φωτεινή ένταση) μηδενίζεται 100 φορές το δευτερόλεπτο (δύο φορές ανά περίοδο, αφού \(p\propto i^2\ge0\)) — πολύ γρήγορα για να το αντιληφθεί το μάτι, και το νήμα έχει θερμική αδράνεια.

Λύση:

Η συχνότητα 50 Hz είναι πολύ μεγαλύτερη από την ικανότητα διάκρισης του ανθρώπινου ματιού (περίπου 16-20 Hz) — οι διακυμάνσεις συγχωνεύονται σε μια συνεχή αίσθηση φωτισμού (αδράνεια της όρασης).
Επιπλέον, το νήμα της λάμπας έχει θερμική αδράνεια: δεν προλαβαίνει να κρυώσει αισθητά στο πολύ μικρό χρονικό διάστημα (\(T/2=0{,}01\ \text{s}\)) που η ισχύς πλησιάζει το μηδέν, οπότε η θερμοκρασία (άρα και η φωτεινότητα) παραμένει ουσιαστικά σταθερή.

Απάντηση: Επειδή η συχνότητα (50 Hz, δηλαδή 100 μηδενισμοί ισχύος/s) είναι πολύ μεγάλη για να την αντιληφθεί το μάτι, και επειδή το νήμα της λάμπας έχει θερμική αδράνεια που εξομαλύνει τις στιγμιαίες διακυμάνσεις φωτισμού.

Πρόσεξε:

Η ισχύς μηδενίζεται 2 φορές ανά περίοδο (100 φορές/s στα 50 Hz), όχι 1 φορά — επειδή εξαρτάται από το \(i^2\).

Άσκηση 5.23 (σελ. 215)

Αν η ενεργός τιμή της έντασης του εναλλασσόμενου ρεύματος που διαρρέει αντιστάτη διπλασιαστεί, ο ρυθμός με τον οποίο ο αντιστάτης αποδίδει θερμότητα στο περιβάλλον α) διπλασιάζεται, β) τριπλασιάζεται, γ) τετραπλασιάζεται, δ) παραμένει ίδιος.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η μέση ισχύς σε αντιστάτη είναι \(P=I_{\varepsilon\nu}^2R\) — τετραγωνική εξάρτηση από το ρεύμα.

Λύση:

Αν \(I_{\varepsilon\nu}\to2I_{\varepsilon\nu}\), τότε \(P=I_{\varepsilon\nu}^2R\to(2I_{\varepsilon\nu})^2R=4I_{\varepsilon\nu}^2R\) — τετραπλασιασμός.

Απάντηση: γ) Τετραπλασιάζεται.

Πρόσεξε:

Η ισχύς είναι ανάλογη του ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ της έντασης, όχι της ίδιας της έντασης.

Άσκηση 5.24 (σελ. 215)

Τα αμπερόμετρα και τα βολτόμετρα που χρησιμοποιούνται για μετρήσεις στο εναλλασσόμενο ρεύμα δίνουν α) την ενεργό τιμή των μεγεθών, β) τη μέση τιμή, γ) το πλάτος, δ) τη στιγμιαία τιμή.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Άμεση ανάκληση του §12.8.

Λύση:

Τα όργανα μέτρησης AC είναι βαθμονομημένα ώστε να δείχνουν την ενεργό τιμή, αφού αυτή έχει το άμεσο φυσικό νόημα του ισοδύναμου θερμικού αποτελέσματος.

Απάντηση: α) Την ενεργό τιμή των μεγεθών.

Άσκηση 5.48 (σελ. 220)

Πηγή συνεχούς τάσης \(V_\varepsilon=100\ \text{V}\), συνδεδεμένη με αντίσταση \(R\), τροφοδοτεί με την ίδια θερμική ισχύ όση μια πηγή εναλλασσόμενης τάσης συνδεδεμένη με αντίσταση \(2R\) (εσωτερικές αντιστάσεις αμελητέες). Να υπολογίσετε το πλάτος της εναλλασσόμενης τάσης.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ισότητα ισχύων: \(\dfrac{V_\varepsilon^2}{R}=\dfrac{V_{\varepsilon\nu}^2}{2R}\), και μετά το πλάτος \(V=V_{\varepsilon\nu}\sqrt2\).

Λύση:

\(\dfrac{V_\varepsilon^2}{R}=\dfrac{V_{\varepsilon\nu}^2}{2R} \Rightarrow V_{\varepsilon\nu}^2=2V_\varepsilon^2 \Rightarrow V_{\varepsilon\nu}=V_\varepsilon\sqrt2=100\sqrt2\ \text{V}\).
Πλάτος: \(V=V_{\varepsilon\nu}\sqrt2=100\sqrt2\times\sqrt2=200\ \text{V}\).

Απάντηση: \(V=200\ \text{V}\).

Πρόσεξε:

Δύο διαδοχικές εφαρμογές του \(\sqrt2\): μία για τη σύγκριση ισχύων, μία για τη μετατροπή ενεργού→πλάτος.

Άσκηση 5.50 (σελ. 220)

Αντίσταση \(R\) τροφοδοτείται με εναλλασσόμενο ρεύμα \(i=I\,\text{ημ}\,314t\) και καταναλώνει μέση ισχύ 100 W. α) Να υπολογιστεί η στιγμιαία ισχύς τη στιγμή \(t_1=5\times10^{-3}\ \text{s}\). β) Αν \(I_{\varepsilon\nu}=0{,}4\ \text{A}\), ποια η τιμή της τάσης τη στιγμή \(t_2=2{,}5\times10^{-3}\ \text{s}\);

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η στιγμιαία ισχύς είναι \(p=i^2R=I^2R\,\text{ημ}^2(314t)\), με \(I^2R=2\cdot P_{\mu\varepsilon\sigma}\) (αφού \(P_{\mu\varepsilon\sigma}=\frac12I^2R\)). Για το (β), υπολογίζουμε πρώτα \(R\) από την ισχύ, μετά το πλάτος \(I\), και τέλος \(\upsilon(t_2)=iR\).

Λύση:

\(314\times5\times10^{-3}=1{,}57\ \text{rad}\approx\pi/2 \Rightarrow \text{ημ}(314t_1)\approx1\).
Από \(P_{\mu\varepsilon\sigma}=\frac12I^2R=100\ \text{W} \Rightarrow I^2R=200\ \text{W}\).
α) \(p(t_1)=I^2R\,\text{ημ}^2(314t_1)=200\times1^2=200\ \text{W}\) (μέγιστη στιγμιαία ισχύς, αφού \(\text{ημ}=1\)).
β) \(R=\dfrac{P_{\mu\varepsilon\sigma}}{I_{\varepsilon\nu}^2}=\dfrac{100}{0{,}16}=625\ \Omega\). Πλάτος \(I=I_{\varepsilon\nu}\sqrt2\).
\(314\times2{,}5\times10^{-3}=0{,}785\ \text{rad}=\pi/4 \Rightarrow \text{ημ}(314t_2)=\dfrac{\sqrt2}{2}\).
\(\upsilon(t_2)=i(t_2)R=I\,\text{ημ}(314t_2)\cdot R=(I_{\varepsilon\nu}\sqrt2)\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot R=I_{\varepsilon\nu}R=0{,}4\times625=250\ \text{V}\).

Απάντηση: α) \(p(t_1)=200\ \text{W}\) (η μέγιστη στιγμιαία ισχύς). β) \(\upsilon(t_2)=250\ \text{V}\).

Πρόσεξε:

Στο (β), οι παράγοντες \(\sqrt2\) απλοποιούνται όμορφα όταν \(\omega t=\pi/4\) — δεν είναι τυχαίο, είναι σχεδιασμένο έτσι στην άσκηση.

Προηγούμενο Στοιχείο

Επιστροφή στην Ενότητα

Επόμενο Στοιχείο