Κεφάλαιο 12.14 – Αυτεπαγωγή (σελ. 215-226) – Λύσεις

Κεφάλαιο 12.14 — Αυτεπαγωγή (σελ. 215-226) — Λύσεις - Απαντήσεις

Άσκηση 5.27 (σελ. 215)

Η ένταση του ρεύματος που διαρρέει πηνίο μεταβάλλεται από την τιμή \(I\) στην τιμή \(2I\). Η ηλεκτρεγερτική δύναμη από αυτεπαγωγή που αναπτύσσεται στο πηνίο α) είναι μεγαλύτερη αν η μεταβολή γίνεται γρήγορα, β) δεν εξαρτάται από τον χρόνο μεταβολής αλλά μόνο από αρχική/τελική τιμή, γ) εξαρτάται από την ωμική αντίσταση του κυκλώματος, δ) εξαρτάται από την πηγή που τροφοδοτεί το κύκλωμα. Ποια πρόταση είναι ορθή;

Σκέψη / Μεθοδολογία: \(E_{\text{ΑΥΤ}}=-L\,di/dt\) — εξαρτάται ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΑ από τον ΡΥΘΜΟ μεταβολής, όχι από το \(R\) ή την πηγή.

Λύση:

1. Για δεδομένη μεταβολή \(\Delta I=I\), όσο μικρότερος είναι ο χρόνος \(\Delta t\) τόσο μεγαλύτερος ο ρυθμός \(\Delta I/\Delta t\), άρα μεγαλύτερη η \(E_{\text{ΑΥΤ}}\) — η (α) είναι σωστή.
2. Η (β) είναι λάθος, αφού ο χρόνος μεταβολής επηρεάζει άμεσα τον ρυθμό.
3. Οι (γ), (δ) είναι λάθος — η \(E_{\text{ΑΥΤ}}=L\,di/dt\) εξαρτάται μόνο από \(L\) και τον ρυθμό μεταβολής του ρεύματος, όχι από \(R\) ή την πηγή.

Απάντηση: α) Είναι μεγαλύτερη αν η μεταβολή γίνεται γρήγορα.

Άσκηση 5.28 (σελ. 215)

Ο συντελεστής αυτεπαγωγής ενός πηνίου εξαρτάται α) από το υλικό του σύρματος, β) από την ένταση του ρεύματος που το διαρρέει, γ) από τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του πηνίου, δ) από το υλικό στο εσωτερικό του πηνίου (πυρήνα). Επιλέξτε τα σωστά.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Από \(L=\mu\mu_0\dfrac{N^2}{l}A\): εξαρτάται μόνο από γεωμετρία (\(N,l,A\)) και πυρήνα (\(\mu\)) — όχι από το υλικό του ίδιου του σύρματος ούτε από το ρεύμα.

Λύση:

1. α) Λάθος — το υλικό του σύρματος (π.χ. χαλκός/αλουμίνιο) καθορίζει την ΩΜΙΚΗ αντίσταση, όχι το \(L\).
2. β) Λάθος — το \(L\) είναι σταθερό μέγεθος, ανεξάρτητο του ρεύματος (όπως η μάζα είναι ανεξάρτητη της ταχύτητας).
3. γ) Σωστό — \(N\), \(l\), \(A\) είναι γεωμετρικά στοιχεία που εμφανίζονται άμεσα στον τύπο.
4. δ) Σωστό — η μαγνητική διαπερατότητα \(\mu\) του πυρήνα πολλαπλασιάζει το \(L\).

Απάντηση: Σωστά: γ, δ.

Πρόσεξε:

• Μη συγχέετε το υλικό του ΣΥΡΜΑΤΟΣ (επηρεάζει \(R\)) με το υλικό του ΠΥΡΗΝΑ (επηρεάζει \(L\)).

Άσκηση 5.29 (σελ. 215)

Η ενέργεια στο μαγνητικό πεδίο πηνίου με ρεύμα \(I\) είναι \(2\ \text{J}\). Αν διπλασιαστεί το ρεύμα, η ενέργειά του θα είναι α) 1 J, β) 2 J, γ) 4 J, δ) 8 J.

Σκέψη / Μεθοδολογία: \(U=\frac12Li^2\) — τετραγωνική εξάρτηση από το ρεύμα.

Λύση:

1. \(U\propto i^2\): αν \(i\to2i\), τότε \(U\to4U=4\times2=8\ \text{J}\).

Απάντηση: δ) 8 J.

Πρόσεξε:

• Ίδια λογική με την κινητική ενέργεια \(\frac12m\upsilon^2\).

Άσκηση 5.30 (σελ. 216)

Διαθέτουμε σύρμα μήκους \(d=4\ \text{m}\) για να κατασκευάσουμε πηνίο μήκους \(l\) με όσο το δυνατόν μεγαλύτερο συντελεστή αυτεπαγωγής. Είναι προτιμότερο: α) σπείρες μικρής διαμέτρου (πολλές σπείρες), β) σπείρες μεγάλης διαμέτρου (λιγότερες σπείρες), γ) ο συντελεστής θα είναι ίδιος και στις δύο περιπτώσεις;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Με σταθερό μήκος σύρματος \(d=N\cdot2\pi r\) και σταθερή διάμετρο σύρματος (άρα \(l\propto N\) σε μονή στρώση περιέλιξης), αντικαθιστώντας στο \(L=\mu_0N^2A/l\) προκύπτει \(L\propto r\) — μεγαλύτερη ακτίνα δίνει μεγαλύτερο \(L\).

Λύση:

1. Από \(d=N\cdot2\pi r \Rightarrow N=\dfrac{d}{2\pi r}\).
2. Με μονή στρώση περιέλιξης, το μήκος του πηνίου είναι ανάλογο του αριθμού σπειρών: \(l\propto N\).
3. \(L=\mu_0\dfrac{N^2A}{l}\propto\dfrac{N^2\cdot r^2}{N}=N r^2\propto\dfrac{1}{r}\cdot r^2=r\) — άρα το \(L\) αυξάνεται με την ακτίνα \(r\).
4. Επομένως λιγότερες σπείρες μεγάλης διαμέτρου δίνουν μεγαλύτερο συντελεστή αυτεπαγωγής, για το ίδιο συνολικό μήκος σύρματος.

Απάντηση: β) Προτιμότερες οι σπείρες μεγάλης διαμέτρου (λιγότερες σε αριθμό).

Πρόσεξε:

• Το αποτέλεσμα εξαρτάται από την παραδοχή ότι το μήκος του πηνίου είναι ανάλογο του αριθμού σπειρών (μονή στρώση, σταθερή διάμετρος σύρματος).

Άσκηση 5.31 (σελ. 216)

Στο πηνίο του σχήματος 5.50 αναπτύσσεται Η.Ε.Δ. από αυτεπαγωγή με συγκεκριμένη πολικότητα. Το πηνίο διαρρέεται από ρεύμα που α) έχει σταθερή ένταση, φορά δεξιά, β) σταθερή ένταση, φορά αριστερά, γ) φορά δεξιά, αυξανόμενη ένταση, δ) φορά δεξιά, ελαττούμενη ένταση, ε) φορά αριστερά, αυξανόμενη ένταση, στ) φορά αριστερά, ελαττούμενη ένταση. Να επιλέξετε τους πιθανούς συνδυασμούς.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Δεδομένη πολικότητα \(E_{\text{ΑΥΤ}}\) αποκλείει τη σταθερή ένταση (όπου \(E_{\text{ΑΥΤ}}=0\)). Από τα υπόλοιπα τέσσερα σενάρια, ΑΚΡΙΒΩΣ δύο δίνουν την ίδια πολικότητα: όταν αντιστρέφονται ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΑ η φορά του ρεύματος ΚΑΙ ο χαρακτηρισμός αύξηση/μείωση, η πολικότητα του \(E_{\text{ΑΥΤ}}=-L\,di/dt\) παραμένει η ίδια (διπλή αλλαγή προσήμου).

Λύση:

1. Οι επιλογές (α), (β) (σταθερή ένταση) αποκλείονται άμεσα, αφού τότε \(E_{\text{ΑΥΤ}}=0\) — δεν θα υπήρχε καθόλου πολικότητα.
2. Από τις (γ), (δ), (ε), (στ), ακριβώς ΔΥΟ συμβατές συνδυάζονται με τη δεδομένη πολικότητα: αυτή που αντιστοιχεί σε «φορά Χ, αυξανόμενη» και η αντίθετή της «φορά -Χ, ελαττούμενη» (οι δύο άλλες δίνουν την αντίθετη πολικότητα).
3. Η ακριβής ταυτοποίηση (ποιο ζεύγος γραμμάτων) απαιτεί το σχήμα 5.50 (θέση των πολικοτήτων +/− στο πηνίο).

Απάντηση: Αποκλείονται οι (α), (β). Από τις (γ)-(στ), οι σωστές είναι ΔΥΟ αντίθετα-συμμετρικές επιλογές (μία «αυξανόμενη προς τη μία φορά» και η αντίστοιχη «ελαττούμενη προς την αντίθετη φορά») — η ακριβής ταυτοποίηση των γραμμάτων απαιτεί το σχήμα 5.50.

Πρόσεξε:

• Η σταθερή ένταση αποκλείεται πάντα όταν δίνεται συγκεκριμένη πολικότητα \(E_{\text{ΑΥΤ}}\).

Άσκηση 5.32 (σελ. 216)

Στο σχήμα 5.51α, αρχικά ο μεταγωγός Δ είναι στη θέση Α και το πηνίο διαρρέεται από σταθερό ρεύμα. Τη στιγμή μηδέν ο μεταγωγός τοποθετείται στη θέση Β. Η ένταση του ρεύματος στο πηνίο, από τη στιγμή αυτή, δίνεται από το διάγραμμα του σχήματος 5.51β (φθίνουσα καμπύλη, με \(t_1<t_2\)). α) Η αποθηκευμένη ενέργεια είναι μεγαλύτερη τη στιγμή \(t_1\) ή \(t_2\); β) Η Η.Ε.Δ. είναι μεγαλύτερη τη στιγμή \(t_1\) ή \(t_2\);

Σκέψη / Μεθοδολογία: Μετά τη μεταγωγή στο Β, το ρεύμα φθίνει μονότονα (§12.14 α, σχ. 5.37). Αφού \(t_1<t_2\), ισχύει \(i(t_1)>i(t_2)\). Τόσο η ενέργεια \(U=\frac12Li^2\) όσο και η \(E_{\text{ΑΥΤ}}=iR\) (στο κύκλωμα εκφόρτισης) είναι αύξουσες συναρτήσεις του \(i\).

Λύση:

1. Επειδή το ρεύμα φθίνει με τον χρόνο μετά τη μεταγωγή, \(i(t_1)>i(t_2)\) (αφού \(t_1<t_2\)).
2. α) \(U=\frac12Li^2\) είναι αύξουσα συνάρτηση του \(i\) — άρα η ενέργεια είναι μεγαλύτερη τη στιγμή \(t_1\).
3. β) Στο κύκλωμα εκφόρτισης, \(E_{\text{ΑΥΤ}}=iR\) — άρα και η Η.Ε.Δ. είναι μεγαλύτερη τη στιγμή \(t_1\).

Απάντηση: α) Μεγαλύτερη τη στιγμή \(t_1\). β) Μεγαλύτερη τη στιγμή \(t_1\).

Πρόσεξε:

• Και τα δύο μεγέθη (ενέργεια, Η.Ε.Δ.) ακολουθούν τη φθίνουσα πορεία του ρεύματος — και τα δύο μεγαλύτερα στη ΝΩΡΙΤΕΡΗ στιγμή.

Άσκηση 5.33 (σελ. 216)

Να αντιστοιχίσετε τα μεγέθη της πρώτης στήλης με τις μονάδες στη δεύτερη: 1) \(\Phi_B\), 2) \(E_{\text{επ}}\), 3) \(\omega\), 4) \(M\), 5) \(L\). α) rad/s, β) Wb, γ) H, δ) V, ε) J.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Άμεση ανάκληση μονάδων: η μαγνητική ροή σε Weber, η Η.Ε.Δ. σε Volt, η γωνιακή συχνότητα σε rad/s, και οι δύο συντελεστές επαγωγής (\(M\), \(L\)) σε Henry.

Λύση:

1. 1. \(\Phi_B\) → β) Wb.
2. 2. \(E_{\text{επ}}\) → δ) V.
3. 3. \(\omega\) → α) rad/s.
4. 4. \(M\) → γ) H.
5. 5. \(L\) → γ) H (ίδια μονάδα με το \(M\) — και οι δύο συντελεστές επαγωγής μετριούνται σε Henry).

Απάντηση: 1-β, 2-δ, 3-α, 4-γ, 5-γ. (Η επιλογή ε) J δεν χρησιμοποιείται για κανένα από τα πέντε μεγέθη της λίστας.)

Πρόσεξε:

• \(M\) και \(L\) έχουν ΤΗΝ ΙΔΙΑ μονάδα (Henry) — και οι δύο εκφράζουν συντελεστή επαγωγής.

Άσκηση 5.54 (σελ. 221)

Ευθύ πηνίο μήκους \(l=10\ \text{cm}\), \(N=100\) σπείρες, εμβαδού \(A=10^{-3}\ \text{m}^2\) η κάθε μία. Να υπολογιστεί η Η.Ε.Δ. από αυτεπαγωγή τη στιγμή που το ρεύμα μεταβάλλεται με ρυθμό \(150\ \text{A/s}\). Δίνεται \(\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \text{Vs/Am}\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Πρώτα υπολογίζουμε \(L=\mu_0N^2A/l\), μετά εφαρμόζουμε \(E_{\text{ΑΥΤ}}=L\,di/dt\).

Λύση:

1. \(L=\mu_0\dfrac{N^2A}{l}=4\pi\times10^{-7}\times\dfrac{100^2\times10^{-3}}{0{,}1}=4\pi\times10^{-7}\times10^4\times10^{-2}\approx1{,}257\times10^{-4}\ \text{H}\).
2. \(E_{\text{ΑΥΤ}}=L\dfrac{di}{dt}=1{,}257\times10^{-4}\times150\approx0{,}0189\ \text{V}\approx18{,}9\ \text{mV}\).

Απάντηση: \(E_{\text{ΑΥΤ}}\approx0{,}019\ \text{V}=18{,}9\ \text{mV}\).

Πρόσεξε:

• Πρώτα το \(L\) (γεωμετρικό μέγεθος), μετά η \(E_{\text{ΑΥΤ}}\) (χρησιμοποιεί τον ρυθμό μεταβολής).

Άσκηση 5.55 (σελ. 221)

Πηνίο έχει \(N=400\) σπείρες. Όταν διαρρέεται από ρεύμα \(I=5\ \text{A}\), η μαγνητική ροή ανά σπείρα είναι \(\Phi_B=10^{-3}\ \text{Wb}\). Να υπολογιστεί ο συντελεστής αυτεπαγωγής.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Χρησιμοποιούμε τον ορισμό μέσω ολικής σύνδεσης ροής: \(L=\dfrac{N\Phi_B}{I}\).

Λύση:

1. \(L=\dfrac{N\Phi_B}{I}=\dfrac{400\times10^{-3}}{5}=\dfrac{0{,}4}{5}=0{,}08\ \text{H}\).

Απάντηση: \(L=0{,}08\ \text{H}\).

Άσκηση 5.56 (σελ. 221)

Πηνίο έχει \(L=6\times10^{-3}\ \text{H}\) και ωμική αντίσταση \(R=4\ \Omega\). Στα άκρα του συνδέεται πηγή \(E=12\ \text{V}\). Πόση ενέργεια θα αποθηκευτεί στο μαγνητικό πεδίο του πηνίου όταν το ρεύμα πάρει την τελική του τιμή;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Στην τελική (μόνιμη) κατάσταση, το ρεύμα είναι σταθερό, άρα \(E_{\text{ΑΥΤ}}=0\) — ο νόμος Ohm δίνει \(I=E/R\) όπως σε καθαρά ωμικό κύκλωμα.

Λύση:

1. \(I_{\text{τελ}}=\dfrac{E}{R}=\dfrac{12}{4}=3\ \text{A}\).
2. \(U=\dfrac12LI_{\text{τελ}}^2=\dfrac12\times6\times10^{-3}\times9=0{,}027\ \text{J}=27\ \text{mJ}\).

Απάντηση: \(U=0{,}027\ \text{J}=27\ \text{mJ}\).

Πρόσεξε:

• Στη ΜΟΝΙΜΗ κατάσταση, το πηνίο συμπεριφέρεται σαν απλός αγωγός με αντίσταση \(R\) — η αυτεπαγωγή επηρεάζει μόνο το ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΟ φαινόμενο.

Άσκηση 5.57 (σελ. 221)

Στο κύκλωμα (σχ. 5.56) η πηγή έχει \(E=24\ \text{V}\), αμελητέα εσωτερική αντίσταση, \(R=10\ \Omega\), ιδανικό πηνίο \(L=0{,}02\ \text{H}\). α) Ο μεταγωγός στη θέση Α, σταθερό ρεύμα \(I\) — να υπολογιστεί. β) Ο μεταγωγός μεταφέρεται στη θέση Β· τη στιγμή που \(i_1=1\ \text{A}\), να υπολογιστούν η \(E_{\text{ΑΥΤ}}\) και ο ρυθμός μεταβολής του ρεύματος. γ) Η θερμότητα που θα παραχθεί από τη μεταγωγή μέχρι να μηδενιστεί το ρεύμα.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Πανομοιότυπη δομή με το Παράδειγμα 5.6: α) καθαρά ωμικό σε μόνιμη κατάσταση, β) κύκλωμα εκφόρτισης \(R\)-\(L\) χωρίς πηγή, γ) όλη η αποθηκευμένη ενέργεια μετατρέπεται σε θερμότητα.

Λύση:

1. α) \(I=\dfrac{E}{R}=\dfrac{24}{10}=2{,}4\ \text{A}\).
2. β) Στο κύκλωμα εκφόρτισης: \(E_{\text{ΑΥΤ}}=i_1R=1\times10=10\ \text{V}\). Από \(E_{\text{ΑΥΤ}}=-L\,di/dt\): \(\dfrac{di}{dt}=-\dfrac{E_{\text{ΑΥΤ}}}{L}=-\dfrac{10}{0{,}02}=-500\ \text{A/s}\) (μειώνεται).
3. γ) \(Q=\dfrac12LI^2=\dfrac12\times0{,}02\times2{,}4^2=0{,}01\times5{,}76=0{,}0576\ \text{J}\approx57{,}6\ \text{mJ}\).

Απάντηση: α) \(I=2{,}4\ \text{A}\) β) \(E_{\text{ΑΥΤ}}=10\ \text{V}\), \(di/dt=-500\ \text{A/s}\) γ) \(Q\approx57{,}6\ \text{mJ}\).

Πρόσεξε:

• Πανομοιότυπη διαδικασία με το Παράδειγμα 5.6 — αναγνωρίστε τη δομή και εφαρμόστε απευθείας.

Άσκηση 5.66 (σελ. 224)

Δύο παράλληλοι οριζόντιοι αγωγοί χωρίς αντίσταση, απόσταση \(l=0{,}5\ \text{m}\), συνδέονται στα άκρα τους με ιδανικό πηνίο \(L=25\times10^{-3}\ \text{H}\). Αγωγός ΑΓ, \(m=150\ \text{g}\), \(R=5\times10^{-2}\ \Omega\), ολισθαίνει, μέσα σε κατακόρυφο πεδίο \(B=0{,}1\ \text{T}\). Δύναμη \(F\) κινεί τον αγωγό ώστε το ρεύμα να δίνεται από \(i=2t+3\) (SI). α) Η Η.Ε.Δ. από αυτεπαγωγή στο πηνίο. β) Σχέση ταχύτητας-χρόνου. γ) Ο ρυθμός \(\Delta\upsilon/\Delta t\). δ) Ο ρυθμός προσφοράς ενέργειας μέσω του έργου της \(F\) τη στιγμή \(t=4\ \text{s}\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το κύκλωμα είναι ένας βρόχος: πηγή (κινούμενος αγωγός, \(E=Bl\upsilon\)) με εσωτερική αντίσταση \(R\), σε σειρά με το ιδανικό πηνίο. Ο νόμος Kirchhoff δίνει \(Bl\upsilon=iR+L\,di/dt\). Για το (δ), ισολογισμός ισχύος: \(P_F=P_R+P_L+\dfrac{dK}{dt}\).

Λύση:

1. \(\dfrac{di}{dt}=2\ \text{A/s}\) (σταθερό, αφού \(i=2t+3\)). α) \(E_{\text{ΑΥΤ}}=L\dfrac{di}{dt}=25\times10^{-3}\times2=0{,}05\ \text{V}\) (σταθερή).
2. β) \(Bl\upsilon=iR+E_{\text{ΑΥΤ}} \Rightarrow \upsilon=\dfrac{iR+E_{\text{ΑΥΤ}}}{Bl}=\dfrac{(2t+3)(0{,}05)+0{,}05}{0{,}1\times0{,}5}=\dfrac{0{,}1t+0{,}15+0{,}05}{0{,}05}=\dfrac{0{,}1t+0{,}2}{0{,}05}=2t+4\ \text{m/s}\).
3. γ) Από \(\upsilon(t)=2t+4\), ο ρυθμός (κλίση) είναι \(\dfrac{\Delta\upsilon}{\Delta t}=2\ \text{m/s}^2\) — σταθερή επιτάχυνση.
4. δ) Στο \(t=4\ \text{s}\): \(i=2(4)+3=11\ \text{A}\), \(\upsilon=2(4)+4=12\ \text{m/s}\). \(P_F=P_R+P_L+\dfrac{dK}{dt}=i^2R+Li\dfrac{di}{dt}+m\upsilon\alpha=11^2(0{,}05)+0{,}025(11)(2)+0{,}15(12)(2)=6{,}05+0{,}55+3{,}6=10{,}2\ \text{W}\).

Απάντηση: α) \(E_{\text{ΑΥΤ}}=0{,}05\ \text{V}\) (σταθερή) β) \(\upsilon=2t+4\ \text{m/s}\) γ) \(2\ \text{m/s}^2\) δ) \(P_F=10{,}2\ \text{W}\).

Πρόσεξε:

• Το κύκλωμα εδώ ΔΕΝ έχει εξωτερική αντίσταση R εκτός του αγωγού — το πηνίο και ο αγωγός (με τη δική του R) είναι τα μόνα στοιχεία σε σειρά.

Άσκηση 5.68 (σελ. 225)

Κύκλωμα με πηγή \(E=40\ \text{V}\), \(r=2\ \Omega\), ιδανικό πηνίο \(L=0{,}5\ \text{H}\), αντίσταση \(R=8\ \Omega\). Κλείνουμε τον διακόπτη. Να υπολογιστούν: α) η τελική ένταση του ρεύματος, β) η Η.Ε.Δ. από αυτεπαγωγή τη στιγμή που \(di/dt=6\ \text{A/s}\), γ) η ένταση του ρεύματος και η αποθηκευμένη ενέργεια την ίδια στιγμή, δ) ο ρυθμός αποθήκευσης ενέργειας στο πηνίο την ίδια στιγμή.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Χρησιμοποιούμε τον νόμο Kirchhoff \(E=i(R+r)+E_{\text{ΑΥΤ}}\) για το μεταβατικό φαινόμενο, και \(\dfrac{dU}{dt}=Li\dfrac{di}{dt}\) για τον ρυθμό αποθήκευσης.

Λύση:

1. α) Τελική κατάσταση (\(di/dt=0\)): \(I_{\text{τελ}}=\dfrac{E}{R+r}=\dfrac{40}{10}=4\ \text{A}\).
2. β) \(E_{\text{ΑΥΤ}}=L\dfrac{di}{dt}=0{,}5\times6=3\ \text{V}\).
3. γ) \(E=i(R+r)+E_{\text{ΑΥΤ}} \Rightarrow i=\dfrac{E-E_{\text{ΑΥΤ}}}{R+r}=\dfrac{40-3}{10}=3{,}7\ \text{A}\). \(U=\dfrac12Li^2=\dfrac12\times0{,}5\times3{,}7^2\approx3{,}42\ \text{J}\).
4. δ) \(\dfrac{dU}{dt}=Li\dfrac{di}{dt}=0{,}5\times3{,}7\times6=11{,}1\ \text{W}\).

Απάντηση: α) \(I_{\text{τελ}}=4\ \text{A}\) β) \(E_{\text{ΑΥΤ}}=3\ \text{V}\) γ) \(i=3{,}7\ \text{A}\), \(U\approx3{,}42\ \text{J}\) δ) \(dU/dt=11{,}1\ \text{W}\).

Πρόσεξε:

• Στο (γ), το ρεύμα προκύπτει ΑΠΟ την \(E_{\text{ΑΥΤ}}\) του (β) μέσω του νόμου Kirchhoff — δεν είναι ανεξάρτητα δεδομένα.

Άσκηση 5.69 (σελ. 226)

Στο κύκλωμα είναι \(E=12\ \text{V}\), \(r=0\), \(R_1=3\ \Omega\), \(R_2=6\ \Omega\), \(L=0{,}2\ \text{H}\) (πηνίο \(L\) παράλληλα με \(R_2\), το σύνολο σε σειρά με \(R_1\) και την πηγή). Αρχικά ο διακόπτης Δ είναι ανοιχτός, χωρίς ρεύμα. α) Κλείνει ο διακόπτης: 1) τα ρεύματα αμέσως μετά, 2) τα ρεύματα στη μόνιμη κατάσταση. β) Αφού αποκατασταθούν οι τελικές τιμές, ανοίγουμε τον διακόπτη: 1) ποιοι κλάδοι εξακολουθούν να διαρρέονται, με ποια φορά, 2) η θερμότητα στις αντιστάσεις μέχρι να μηδενιστεί το ρεύμα στο πηνίο.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Αμέσως μετά το κλείσιμο, το πηνίο συμπεριφέρεται σαν ανοιχτό κύκλωμα (μηδενικό ρεύμα σε αυτό)· στη μόνιμη κατάσταση συμπεριφέρεται σαν βραχυκύκλωμα (μηδενική πτώση τάσης, «βραχυκυκλώνει» την \(R_2\)). Μετά το άνοιγμα του διακόπτη, το ρεύμα του πηνίου συνεχίζει μέσω του κλειστού βρόχου \(L\)-\(R_2\) (ο κλάδος της πηγής/\(R_1\) διακόπτεται).

Λύση:

1. α1) Αμέσως μετά το κλείσιμο: το πηνίο δεν επιτρέπει απότομη μεταβολή ρεύματος, άρα \(i_L=0\). Όλο το ρεύμα περνά από \(R_1\) και \(R_2\) σε σειρά: \(i_{R_1}=i_{R_2}=\dfrac{E}{R_1+R_2}=\dfrac{12}{9}=\dfrac{4}{3}\approx1{,}33\ \text{A}\).
2. α2) Στη μόνιμη κατάσταση, το ιδανικό πηνίο έχει μηδενική πτώση τάσης — «βραχυκυκλώνει» την \(R_2\), οπότε όλο το ρεύμα περνά από το \(L\): \(i_L=i_{R_1}=\dfrac{E}{R_1}=\dfrac{12}{3}=4\ \text{A}\), \(i_{R_2}=0\).
3. β1) Το άνοιγμα του διακόπτη αποκόπτει τον κλάδο πηγής-\(R_1\). Το ρεύμα του πηνίου (\(4\ \text{A}\) τη στιγμή εκείνη) δεν μπορεί να μηδενιστεί ακαριαία — συνεχίζει να ρέει μέσα από τον κλειστό βρόχο \(L\)-\(R_2\), με την ίδια φορά που είχε πριν, φθίνοντας σταδιακά προς το μηδέν.
4. β2) Όλη η αποθηκευμένη ενέργεια του πηνίου (με \(I=4\ \text{A}\)) μετατρέπεται σε θερμότητα, αποκλειστικά στην \(R_2\) (μόνη αντίσταση στον εναπομείναντα βρόχο): \(Q=\dfrac12LI^2=\dfrac12\times0{,}2\times4^2=1{,}6\ \text{J}\).

Απάντηση: α1) \(i_{R_1}=i_{R_2}=4/3\approx1{,}33\ \text{A}\), \(i_L=0\). α2) \(i_L=i_{R_1}=4\ \text{A}\), \(i_{R_2}=0\). β1) Μόνο ο βρόχος \(L\)-\(R_2\) εξακολουθεί να διαρρέεται, ίδια φορά με πριν, φθίνουσα. β2) \(Q=1{,}6\ \text{J}\) (όλη στην \(R_2\)).

Πρόσεξε:

• Η τοπολογία (πηνίο παράλληλα με \(R_2\), σε σειρά με \(R_1\)) είναι συνήθης σε τέτοιου τύπου ασκήσεις· η ακριβής επιβεβαίωση απαιτεί το σχήμα του βιβλίου.