Κεφάλαιο 12.14 – Αυτεπαγωγή (σελ. 216-227) – Λύσεις

Κεφάλαιο 12.14 — Αυτεπαγωγή (σελ. 216-227) — Λύσεις - Απαντήσεις

Άσκηση 5.27 (σελ. 216)

Η ένταση του ρεύματος που διαρρέει πηνίο μεταβάλλεται από την τιμή \(I\) στην τιμή \(2I\). Η ηλεκτρεγερτική δύναμη από αυτεπαγωγή που αναπτύσσεται στο πηνίο α) είναι μεγαλύτερη αν η μεταβολή γίνεται γρήγορα, β) δεν εξαρτάται από τον χρόνο μεταβολής αλλά μόνο από αρχική/τελική τιμή, γ) εξαρτάται από την ωμική αντίσταση του κυκλώματος, δ) εξαρτάται από την πηγή που τροφοδοτεί το κύκλωμα. Ποια πρόταση είναι ορθή;

Σκέψη / Μεθοδολογία: \(E_{\text{ΑΥΤ}}=-L\,di/dt\) — εξαρτάται ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΑ από τον ΡΥΘΜΟ μεταβολής, όχι από το \(R\) ή την πηγή.

Λύση:

1. Για δεδομένη μεταβολή \(\Delta I=I\), όσο μικρότερος είναι ο χρόνος \(\Delta t\) τόσο μεγαλύτερος ο ρυθμός \(\Delta I/\Delta t\), άρα μεγαλύτερη η \(E_{\text{ΑΥΤ}}\) — η (α) είναι σωστή.
2. Η (β) είναι λάθος, αφού ο χρόνος μεταβολής επηρεάζει άμεσα τον ρυθμό.
3. Οι (γ), (δ) είναι λάθος — η \(E_{\text{ΑΥΤ}}=L\,di/dt\) εξαρτάται μόνο από \(L\) και τον ρυθμό μεταβολής του ρεύματος, όχι από \(R\) ή την πηγή.

Απάντηση: α) Είναι μεγαλύτερη αν η μεταβολή γίνεται γρήγορα.

Άσκηση 5.28 (σελ. 216)

Ο συντελεστής αυτεπαγωγής ενός πηνίου εξαρτάται α) από το υλικό του σύρματος, β) από την ένταση του ρεύματος που το διαρρέει, γ) από τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του πηνίου, δ) από το υλικό στο εσωτερικό του πηνίου (πυρήνα). Επιλέξτε τα σωστά.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Από \(L=\mu\mu_0\dfrac{N^2}{l}A\): εξαρτάται μόνο από γεωμετρία (\(N,l,A\)) και πυρήνα (\(\mu\)) — όχι από το υλικό του ίδιου του σύρματος ούτε από το ρεύμα.

Λύση:

1. α) Λάθος — το υλικό του σύρματος (π.χ. χαλκός/αλουμίνιο) καθορίζει την ΩΜΙΚΗ αντίσταση, όχι το \(L\).
2. β) Λάθος — το \(L\) είναι σταθερό μέγεθος, ανεξάρτητο του ρεύματος (όπως η μάζα είναι ανεξάρτητη της ταχύτητας).
3. γ) Σωστό — \(N\), \(l\), \(A\) είναι γεωμετρικά στοιχεία που εμφανίζονται άμεσα στον τύπο.
4. δ) Σωστό — η μαγνητική διαπερατότητα \(\mu\) του πυρήνα πολλαπλασιάζει το \(L\).

Απάντηση: Σωστά: γ, δ.

Πρόσεξε:

• Μη συγχέετε το υλικό του ΣΥΡΜΑΤΟΣ (επηρεάζει \(R\)) με το υλικό του ΠΥΡΗΝΑ (επηρεάζει \(L\)).

Άσκηση 5.29 (σελ. 216)

Η ενέργεια στο μαγνητικό πεδίο πηνίου με ρεύμα \(I\) είναι \(2\ \text{J}\). Αν διπλασιαστεί το ρεύμα, η ενέργειά του θα είναι α) 1 J, β) 2 J, γ) 4 J, δ) 8 J.

Σκέψη / Μεθοδολογία: \(U=\frac12Li^2\) — τετραγωνική εξάρτηση από το ρεύμα.

Λύση:

1. \(U\propto i^2\): αν \(i\to2i\), τότε \(U\to4U=4\times2=8\ \text{J}\).

Απάντηση: δ) 8 J.

Πρόσεξε:

• Ίδια λογική με την κινητική ενέργεια \(\frac12m\upsilon^2\).

Άσκηση 5.30 (σελ. 217)

Διαθέτουμε σύρμα μήκους \(d=4\ \text{m}\) με το οποίο θέλουμε να κατασκευάσουμε ένα πηνίο μήκους \(l\) με όσο το δυνατόν μεγαλύτερο συντελεστή αυτεπαγωγής. Είναι προτιμότερο: α) να τυλίξουμε το σύρμα έτσι, ώστε οι σπείρες να έχουν μικρή διάμετρο και επομένως ο αριθμός των σπειρών να είναι μεγάλος; β) να κατασκευάσουμε σπείρες με μεγάλη διάμετρο, οπότε αναγκαστικά θα μειωθεί ο αριθμός τους; γ) ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου θα είναι ίδιος και στις δύο περιπτώσεις;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το μήκος \(l\) του πηνίου είναι δεδομένο και ίδιο σε κάθε περίπτωση. Εκφράζουμε τον αριθμό των σπειρών μέσω του μήκους του σύρματος, \(N=d/(2\pi r)\), και το αντικαθιστούμε στον τύπο \(L=\mu_0N^2A/l\) με \(A=\pi r^2\).

Λύση:

1. Κάθε σπείρα έχει μήκος \(2\pi r\), άρα \(N=\dfrac{d}{2\pi r}\).
2. Συντελεστής αυτεπαγωγής σωληνοειδούς: \(L=\mu_0\dfrac{N^2A}{l}=\mu_0\dfrac{N^2\pi r^2}{l}\).
3. Αντικατάσταση: \(L=\mu_0\dfrac{d^2}{4\pi^2r^2}\cdot\dfrac{\pi r^2}{l}=\dfrac{\mu_0d^2}{4\pi l}\).
4. Το αποτέλεσμα δεν εξαρτάται από την ακτίνα \(r\) των σπειρών: για δεδομένο μήκος σύρματος και δεδομένο μήκος πηνίου, ο συντελεστής αυτεπαγωγής είναι ο ίδιος.

Απάντηση: γ) Ο συντελεστής αυτεπαγωγής θα είναι ίδιος και στις δύο περιπτώσεις, αφού \(L=\dfrac{\mu_0d^2}{4\pi l}\), ανεξάρτητος της διαμέτρου των σπειρών.

Πρόσεξε:

• Το μήκος \(l\) του πηνίου δίνεται σταθερό· μεγαλύτερος αριθμός σπειρών με μικρότερο εμβαδόν αντισταθμίζονται ακριβώς (\(N^2A\) σταθερό).

Άσκηση 5.31 (σελ. 217)

Στο πηνίο του σχήματος 5.50 αναπτύσσεται ηλεκτρεγερτική δύναμη από αυτεπαγωγή, με την πολικότητα που δείχνει το σχήμα (θετικός πόλος (+) στο αριστερό άκρο, αρνητικός (−) στο δεξί). Το πηνίο διαρρέεται από ρεύμα που α) έχει σταθερή ένταση και φορά προς τα δεξιά. β) έχει σταθερή ένταση και φορά προς τα αριστερά. γ) έχει φορά προς τα δεξιά και η έντασή του αυξάνεται. δ) έχει φορά προς τα δεξιά και η έντασή του ελαττώνεται. ε) έχει φορά προς τα αριστερά και η έντασή του αυξάνεται. στ) έχει φορά προς τα αριστερά και η έντασή του ελαττώνεται. Να επιλέξετε τους πιθανούς συνδυασμούς.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η ΗΕΔ από αυτεπαγωγή εμφανίζεται μόνο όταν μεταβάλλεται το ρεύμα και αντιτίθεται στη μεταβολή του (κανόνας του Lenz). Το πηνίο συμπεριφέρεται σαν πηγή με τους πόλους του σχήματος: με (+) αριστερά, «σπρώχνει» ρεύμα μέσα του από δεξιά προς τα αριστερά.

Λύση:

1. (α), (β): με σταθερή ένταση δεν αναπτύσσεται ΗΕΔ από αυτεπαγωγή — απορρίπτονται.
2. Η πολικότητα του σχήματος αντιστοιχεί σε ΗΕΔ που τείνει να δημιουργήσει μέσα στο πηνίο ρεύμα προς τα αριστερά.
3. (γ) Ρεύμα προς τα δεξιά που αυξάνεται: η ΗΕΔ αντιτίθεται στην αύξηση, άρα τείνει να δημιουργήσει ρεύμα προς τα αριστερά — συμφωνεί με το σχήμα.
4. (δ) Ρεύμα προς τα δεξιά που ελαττώνεται: η ΗΕΔ τείνει να το διατηρήσει, δηλαδή δίνει ρεύμα προς τα δεξιά — αντίθετη πολικότητα, απορρίπτεται.
5. (ε) Ρεύμα προς τα αριστερά που αυξάνεται: η ΗΕΔ τείνει να δώσει ρεύμα προς τα δεξιά — απορρίπτεται.
6. (στ) Ρεύμα προς τα αριστερά που ελαττώνεται: η ΗΕΔ τείνει να το διατηρήσει, δηλαδή δίνει ρεύμα προς τα αριστερά — συμφωνεί με το σχήμα.

Απάντηση: Πιθανοί συνδυασμοί: γ) (ρεύμα προς τα δεξιά, αυξανόμενο) και στ) (ρεύμα προς τα αριστερά, ελαττούμενο). Οι α), β) απορρίπτονται (σταθερό ρεύμα, καμία ΗΕΔ) και οι δ), ε) δίνουν αντίθετη πολικότητα.

Πρόσεξε:

• Η σταθερή ένταση αποκλείεται πάντα όταν δίνεται συγκεκριμένη πολικότητα της ΗΕΔ από αυτεπαγωγή.
• Ρεύμα που αυξάνεται προς τη μία φορά και ρεύμα που ελαττώνεται προς την αντίθετη δίνουν την ίδια πολικότητα.

Άσκηση 5.32 (σελ. 217)

Στο σχήμα 5.51α, αρχικά ο μεταγωγός Δ είναι στη θέση Α και το πηνίο διαρρέεται από σταθερό ρεύμα. Τη στιγμή μηδέν ο μεταγωγός τοποθετείται στη θέση Β. Η ένταση του ρεύματος στο πηνίο, από τη στιγμή αυτή, δίνεται από το διάγραμμα του σχήματος 5.51β (φθίνουσα καμπύλη, με \(t_1<t_2\)). α) Η αποθηκευμένη ενέργεια είναι μεγαλύτερη τη στιγμή \(t_1\) ή \(t_2\); β) Η Η.Ε.Δ. είναι μεγαλύτερη τη στιγμή \(t_1\) ή \(t_2\);

Σκέψη / Μεθοδολογία: Μετά τη μεταγωγή στο Β, το ρεύμα φθίνει μονότονα (§12.14 α, σχ. 5.37). Αφού \(t_1<t_2\), ισχύει \(i(t_1)>i(t_2)\). Τόσο η ενέργεια \(U=\frac12Li^2\) όσο και η \(E_{\text{ΑΥΤ}}=iR\) (στο κύκλωμα εκφόρτισης) είναι αύξουσες συναρτήσεις του \(i\).

Λύση:

1. Επειδή το ρεύμα φθίνει με τον χρόνο μετά τη μεταγωγή, \(i(t_1)>i(t_2)\) (αφού \(t_1<t_2\)).
2. α) \(U=\frac12Li^2\) είναι αύξουσα συνάρτηση του \(i\) — άρα η ενέργεια είναι μεγαλύτερη τη στιγμή \(t_1\).
3. β) Στο κύκλωμα εκφόρτισης, \(E_{\text{ΑΥΤ}}=iR\) — άρα και η Η.Ε.Δ. είναι μεγαλύτερη τη στιγμή \(t_1\).

Απάντηση: α) Μεγαλύτερη τη στιγμή \(t_1\). β) Μεγαλύτερη τη στιγμή \(t_1\).

Πρόσεξε:

• Και τα δύο μεγέθη (ενέργεια, Η.Ε.Δ.) ακολουθούν τη φθίνουσα πορεία του ρεύματος — και τα δύο μεγαλύτερα στη ΝΩΡΙΤΕΡΗ στιγμή.

Άσκηση 5.33 (σελ. 217)

Να αντιστοιχίσετε τα μεγέθη της πρώτης στήλης με τις μονάδες στη δεύτερη: 1) \(\Phi_B\), 2) \(E_{\text{επ}}\), 3) \(\omega\), 4) \(M\), 5) \(L\). α) rad/s, β) Wb, γ) H, δ) V, ε) J.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Άμεση ανάκληση μονάδων: η μαγνητική ροή σε Weber, η Η.Ε.Δ. σε Volt, η γωνιακή συχνότητα σε rad/s, και οι δύο συντελεστές επαγωγής (\(M\), \(L\)) σε Henry.

Λύση:

1. 1. \(\Phi_B\) → β) Wb.
2. 2. \(E_{\text{επ}}\) → δ) V.
3. 3. \(\omega\) → α) rad/s.
4. 4. \(M\) → γ) H.
5. 5. \(L\) → γ) H (ίδια μονάδα με το \(M\) — και οι δύο συντελεστές επαγωγής μετριούνται σε Henry).

Απάντηση: 1-β, 2-δ, 3-α, 4-γ, 5-γ. (Η επιλογή ε) J δεν χρησιμοποιείται για κανένα από τα πέντε μεγέθη της λίστας.)

Πρόσεξε:

• \(M\) και \(L\) έχουν ΤΗΝ ΙΔΙΑ μονάδα (Henry) — και οι δύο εκφράζουν συντελεστή επαγωγής.

Άσκηση 5.54 (σελ. 222)

Ευθύ πηνίο μήκους \(l=10\ \text{cm}\), \(N=100\) σπείρες, εμβαδού \(A=10^{-3}\ \text{m}^2\) η κάθε μία. Να υπολογιστεί η Η.Ε.Δ. από αυτεπαγωγή τη στιγμή που το ρεύμα μεταβάλλεται με ρυθμό \(150\ \text{A/s}\). Δίνεται \(\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \text{Vs/Am}\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Πρώτα υπολογίζουμε \(L=\mu_0N^2A/l\), μετά εφαρμόζουμε \(E_{\text{ΑΥΤ}}=L\,di/dt\).

Λύση:

1. \(L=\mu_0\dfrac{N^2A}{l}=4\pi\times10^{-7}\times\dfrac{100^2\times10^{-3}}{0{,}1}=4\pi\times10^{-7}\times10^4\times10^{-2}\approx1{,}257\times10^{-4}\ \text{H}\).
2. \(E_{\text{ΑΥΤ}}=L\dfrac{di}{dt}=1{,}257\times10^{-4}\times150\approx0{,}0189\ \text{V}\approx18{,}9\ \text{mV}\).

Απάντηση: \(E_{\text{ΑΥΤ}}\approx0{,}019\ \text{V}=18{,}9\ \text{mV}\).

Πρόσεξε:

• Πρώτα το \(L\) (γεωμετρικό μέγεθος), μετά η \(E_{\text{ΑΥΤ}}\) (χρησιμοποιεί τον ρυθμό μεταβολής).

Άσκηση 5.55 (σελ. 222)

Πηνίο έχει \(N=400\) σπείρες. Όταν διαρρέεται από ρεύμα \(I=5\ \text{A}\), η μαγνητική ροή ανά σπείρα είναι \(\Phi_B=10^{-3}\ \text{Wb}\). Να υπολογιστεί ο συντελεστής αυτεπαγωγής.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Χρησιμοποιούμε τον ορισμό μέσω ολικής σύνδεσης ροής: \(L=\dfrac{N\Phi_B}{I}\).

Λύση:

1. \(L=\dfrac{N\Phi_B}{I}=\dfrac{400\times10^{-3}}{5}=\dfrac{0{,}4}{5}=0{,}08\ \text{H}\).

Απάντηση: \(L=0{,}08\ \text{H}\).

Άσκηση 5.56 (σελ. 222)

Πηνίο έχει \(L=6\times10^{-3}\ \text{H}\) και ωμική αντίσταση \(R=4\ \Omega\). Στα άκρα του συνδέεται πηγή \(E=12\ \text{V}\). Πόση ενέργεια θα αποθηκευτεί στο μαγνητικό πεδίο του πηνίου όταν το ρεύμα πάρει την τελική του τιμή;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Στην τελική (μόνιμη) κατάσταση, το ρεύμα είναι σταθερό, άρα \(E_{\text{ΑΥΤ}}=0\) — ο νόμος Ohm δίνει \(I=E/R\) όπως σε καθαρά ωμικό κύκλωμα.

Λύση:

1. \(I_{\text{τελ}}=\dfrac{E}{R}=\dfrac{12}{4}=3\ \text{A}\).
2. \(U=\dfrac12LI_{\text{τελ}}^2=\dfrac12\times6\times10^{-3}\times9=0{,}027\ \text{J}=27\ \text{mJ}\).

Απάντηση: \(U=0{,}027\ \text{J}=27\ \text{mJ}\).

Πρόσεξε:

• Στη ΜΟΝΙΜΗ κατάσταση, το πηνίο συμπεριφέρεται σαν απλός αγωγός με αντίσταση \(R\) — η αυτεπαγωγή επηρεάζει μόνο το ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΟ φαινόμενο.

Άσκηση 5.57 (σελ. 222)

Στο κύκλωμα (σχ. 5.56) η πηγή έχει \(E=24\ \text{V}\), αμελητέα εσωτερική αντίσταση, \(R=10\ \Omega\), ιδανικό πηνίο \(L=0{,}02\ \text{H}\). α) Ο μεταγωγός στη θέση Α, σταθερό ρεύμα \(I\) — να υπολογιστεί. β) Ο μεταγωγός μεταφέρεται στη θέση Β· τη στιγμή που \(i_1=1\ \text{A}\), να υπολογιστούν η \(E_{\text{ΑΥΤ}}\) και ο ρυθμός μεταβολής του ρεύματος. γ) Η θερμότητα που θα παραχθεί από τη μεταγωγή μέχρι να μηδενιστεί το ρεύμα.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Πανομοιότυπη δομή με το Παράδειγμα 5.6: α) καθαρά ωμικό σε μόνιμη κατάσταση, β) κύκλωμα εκφόρτισης \(R\)-\(L\) χωρίς πηγή, γ) όλη η αποθηκευμένη ενέργεια μετατρέπεται σε θερμότητα.

Λύση:

1. α) \(I=\dfrac{E}{R}=\dfrac{24}{10}=2{,}4\ \text{A}\).
2. β) Στο κύκλωμα εκφόρτισης: \(E_{\text{ΑΥΤ}}=i_1R=1\times10=10\ \text{V}\). Από \(E_{\text{ΑΥΤ}}=-L\,di/dt\): \(\dfrac{di}{dt}=-\dfrac{E_{\text{ΑΥΤ}}}{L}=-\dfrac{10}{0{,}02}=-500\ \text{A/s}\) (μειώνεται).
3. γ) \(Q=\dfrac12LI^2=\dfrac12\times0{,}02\times2{,}4^2=0{,}01\times5{,}76=0{,}0576\ \text{J}\approx57{,}6\ \text{mJ}\).

Απάντηση: α) \(I=2{,}4\ \text{A}\) β) \(E_{\text{ΑΥΤ}}=10\ \text{V}\), \(di/dt=-500\ \text{A/s}\) γ) \(Q\approx57{,}6\ \text{mJ}\).

Πρόσεξε:

• Πανομοιότυπη διαδικασία με το Παράδειγμα 5.6 — αναγνωρίστε τη δομή και εφαρμόστε απευθείας.

Άσκηση 5.66 (σελ. 225)

Δύο παράλληλοι οριζόντιοι αγωγοί χωρίς αντίσταση, απόσταση \(l=0{,}5\ \text{m}\), συνδέονται στα άκρα τους με ιδανικό πηνίο \(L=25\times10^{-3}\ \text{H}\). Αγωγός ΑΓ, \(m=150\ \text{g}\), \(R=5\times10^{-2}\ \Omega\), ολισθαίνει, μέσα σε κατακόρυφο πεδίο \(B=0{,}1\ \text{T}\). Δύναμη \(F\) κινεί τον αγωγό ώστε το ρεύμα να δίνεται από \(i=2t+3\) (SI). α) Η Η.Ε.Δ. από αυτεπαγωγή στο πηνίο. β) Σχέση ταχύτητας-χρόνου. γ) Ο ρυθμός \(\Delta\upsilon/\Delta t\). δ) Ο ρυθμός προσφοράς ενέργειας μέσω του έργου της \(F\) τη στιγμή \(t=4\ \text{s}\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το κύκλωμα είναι ένας βρόχος: πηγή (κινούμενος αγωγός, \(E=Bl\upsilon\)) με εσωτερική αντίσταση \(R\), σε σειρά με το ιδανικό πηνίο. Ο νόμος Kirchhoff δίνει \(Bl\upsilon=iR+L\,di/dt\). Για το (δ), ισολογισμός ισχύος: \(P_F=P_R+P_L+\dfrac{dK}{dt}\).

Λύση:

1. \(\dfrac{di}{dt}=2\ \text{A/s}\) (σταθερό, αφού \(i=2t+3\)). α) \(E_{\text{ΑΥΤ}}=L\dfrac{di}{dt}=25\times10^{-3}\times2=0{,}05\ \text{V}\) (σταθερή).
2. β) \(Bl\upsilon=iR+E_{\text{ΑΥΤ}} \Rightarrow \upsilon=\dfrac{iR+E_{\text{ΑΥΤ}}}{Bl}=\dfrac{(2t+3)(0{,}05)+0{,}05}{0{,}1\times0{,}5}=\dfrac{0{,}1t+0{,}15+0{,}05}{0{,}05}=\dfrac{0{,}1t+0{,}2}{0{,}05}=2t+4\ \text{m/s}\). Γραφική παράσταση: η \(\upsilon(t)\) είναι ευθεία με τεταγμένη αρχής \(4\ \text{m/s}\) και κλίση \(2\ \text{m/s}^2\).
3. γ) Από \(\upsilon(t)=2t+4\), ο ρυθμός (κλίση) είναι \(\dfrac{\Delta\upsilon}{\Delta t}=2\ \text{m/s}^2\) — σταθερή επιτάχυνση.
4. δ) Στο \(t=4\ \text{s}\): \(i=2(4)+3=11\ \text{A}\), \(\upsilon=2(4)+4=12\ \text{m/s}\). \(P_F=P_R+P_L+\dfrac{dK}{dt}=i^2R+Li\dfrac{di}{dt}+m\upsilon\alpha=11^2(0{,}05)+0{,}025(11)(2)+0{,}15(12)(2)=6{,}05+0{,}55+3{,}6=10{,}2\ \text{W}\).

Απάντηση: α) \(E_{\text{ΑΥΤ}}=0{,}05\ \text{V}\) (σταθερή) β) \(\upsilon=2t+4\ \text{m/s}\) (ευθεία με τεταγμένη αρχής \(4\ \text{m/s}\) και κλίση \(2\ \text{m/s}^2\)) γ) \(2\ \text{m/s}^2\) δ) \(P_F=10{,}2\ \text{W}\).

Πρόσεξε:

• Το κύκλωμα εδώ ΔΕΝ έχει εξωτερική αντίσταση R εκτός του αγωγού — το πηνίο και ο αγωγός (με τη δική του R) είναι τα μόνα στοιχεία σε σειρά.

Άσκηση 5.68 (σελ. 226)

Κύκλωμα με πηγή \(E=40\ \text{V}\), \(r=2\ \Omega\), ιδανικό πηνίο \(L=0{,}5\ \text{H}\), αντίσταση \(R=8\ \Omega\). Κλείνουμε τον διακόπτη. Να υπολογιστούν: α) η τελική ένταση του ρεύματος, β) η Η.Ε.Δ. από αυτεπαγωγή τη στιγμή που \(di/dt=6\ \text{A/s}\), γ) η ένταση του ρεύματος και η αποθηκευμένη ενέργεια την ίδια στιγμή, δ) ο ρυθμός αποθήκευσης ενέργειας στο πηνίο την ίδια στιγμή.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Χρησιμοποιούμε τον νόμο Kirchhoff \(E=i(R+r)+E_{\text{ΑΥΤ}}\) για το μεταβατικό φαινόμενο, και \(\dfrac{dU}{dt}=Li\dfrac{di}{dt}\) για τον ρυθμό αποθήκευσης.

Λύση:

1. α) Τελική κατάσταση (\(di/dt=0\)): \(I_{\text{τελ}}=\dfrac{E}{R+r}=\dfrac{40}{10}=4\ \text{A}\).
2. β) \(E_{\text{ΑΥΤ}}=L\dfrac{di}{dt}=0{,}5\times6=3\ \text{V}\).
3. γ) \(E=i(R+r)+E_{\text{ΑΥΤ}} \Rightarrow i=\dfrac{E-E_{\text{ΑΥΤ}}}{R+r}=\dfrac{40-3}{10}=3{,}7\ \text{A}\). \(U=\dfrac12Li^2=\dfrac12\times0{,}5\times3{,}7^2\approx3{,}42\ \text{J}\).
4. δ) \(\dfrac{dU}{dt}=Li\dfrac{di}{dt}=0{,}5\times3{,}7\times6=11{,}1\ \text{W}\).

Απάντηση: α) \(I_{\text{τελ}}=4\ \text{A}\) β) \(E_{\text{ΑΥΤ}}=3\ \text{V}\) γ) \(i=3{,}7\ \text{A}\), \(U\approx3{,}42\ \text{J}\) δ) \(dU/dt=11{,}1\ \text{W}\).

Πρόσεξε:

• Στο (γ), το ρεύμα προκύπτει ΑΠΟ την \(E_{\text{ΑΥΤ}}\) του (β) μέσω του νόμου Kirchhoff — δεν είναι ανεξάρτητα δεδομένα.

Άσκηση 5.69 (σελ. 227)

Στο κύκλωμα του σχήματος είναι \(E=12\ \text{V}\), \(r=0\), \(R_1=3\ \Omega\), \(R_2=6\ \Omega\), \(L=0{,}2\ \text{H}\). Αρχικά ο διακόπτης Δ είναι ανοιχτός και το κύκλωμα δε διαρρέεται από ρεύμα. α) Τη στιγμή μηδέν κλείνει ο διακόπτης. 1) Να υπολογιστούν τα ρεύματα στο κύκλωμα αμέσως μετά το κλείσιμο του διακόπτη και 2) μετά από αρκετό χρόνο, όταν θα έχουν αποκατασταθεί οι τελικές τιμές. β) Αφού αποκατασταθούν οι τελικές τιμές των ρευμάτων, ανοίγουμε το διακόπτη. 1) Να καθορίσετε ποιοι κλάδοι του κυκλώματος εξακολουθούν να διαρρέονται από ρεύμα και να σχεδιάσετε τη φορά του ρεύματος. 2) Να υπολογίσετε τη θερμότητα που θα παραχθεί στις αντιστάσεις από τη στιγμή που ανοίγουμε το διακόπτη μέχρι να μηδενιστεί το ρεύμα στο πηνίο. (Στο σχήμα 5.62: η πηγή με τον διακόπτη, ο κλάδος του πηνίου L σε σειρά με την R₁ και ο κλάδος της R₂ είναι συνδεδεμένοι παράλληλα.)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Οι δύο κλάδοι (L σε σειρά με R₁, και R₂) είναι παράλληλα συνδεδεμένοι στην πηγή, άρα έχουν τάση E όσο ο διακόπτης είναι κλειστός. Το πηνίο δεν επιτρέπει απότομη μεταβολή του ρεύματός του: αμέσως μετά το κλείσιμο το ρεύμα του είναι μηδέν, ενώ στη μόνιμη κατάσταση δεν έχει πτώση τάσης (ιδανικό πηνίο). Όταν ανοίξει ο διακόπτης, το ρεύμα του πηνίου συνεχίζει να κυκλοφορεί στον βρόχο L–R₁–R₂.

Λύση:

1. α1) Αμέσως μετά το κλείσιμο: \(i_L=i_{R_1}=0\) (το πηνίο εμποδίζει την απότομη αύξηση του ρεύματος). Ο κλάδος της \(R_2\) έχει τάση E: \(i_{R_2}=\dfrac{E}{R_2}=\dfrac{12}{6}=2\ \text{A}\). Η πηγή δίνει 2 A.
2. α2) Στη μόνιμη κατάσταση το πηνίο δεν έχει πτώση τάσης: \(i_L=i_{R_1}=\dfrac{E}{R_1}=\dfrac{12}{3}=4\ \text{A}\), \(i_{R_2}=2\ \text{A}\). Η πηγή δίνει 6 A.
3. β1) Όταν ανοίξει ο διακόπτης, ο κλάδος της πηγής δεν διαρρέεται. Το ρεύμα του πηνίου (4 A) δεν μηδενίζεται ακαριαία· κυκλοφορεί στον κλειστό βρόχο L–R₁–R₂ και φθίνει ως το μηδέν. Στο πηνίο και στην \(R_1\) έχει την ίδια φορά με πριν, ενώ στην \(R_2\) έχει φορά αντίθετη από αυτήν που είχε όταν ο διακόπτης ήταν κλειστός.
4. β2) Όλη η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου γίνεται θερμότητα στις αντιστάσεις: \(Q=\tfrac12LI^2=\tfrac12\cdot0{,}2\cdot4^2=1{,}6\ \text{J}\). Οι \(R_1\), \(R_2\) διαρρέονται από το ίδιο ρεύμα (σε σειρά), άρα η θερμότητα μοιράζεται ανάλογα με τις αντιστάσεις: \(Q_1=\tfrac{3}{9}\cdot1{,}6\approx0{,}53\ \text{J}\), \(Q_2=\tfrac{6}{9}\cdot1{,}6\approx1{,}07\ \text{J}\).

Απάντηση: α1) \(i_{R_2}=2\ \text{A}\), \(i_L=i_{R_1}=0\). α2) \(i_{R_2}=2\ \text{A}\), \(i_L=i_{R_1}=4\ \text{A}\). β1) Διαρρέονται ο κλάδος L–R₁ και ο κλάδος R₂ (βρόχος L–R₁–R₂): ίδια φορά με πριν στο πηνίο και στην R₁, αντίθετη στην R₂. β2) \(Q=1{,}6\ \text{J}\) συνολικά (≈0,53 J στην R₁ και ≈1,07 J στην R₂).

Πρόσεξε:

• Αμέσως μετά το κλείσιμο το πηνίο συμπεριφέρεται σαν ανοιχτός διακόπτης· στη μόνιμη κατάσταση σαν αγωγός χωρίς αντίσταση.
• Μετά το άνοιγμα του διακόπτη το ρεύμα στην R₂ αλλάζει φορά, γιατί πλέον το «τροφοδοτεί» το πηνίο μέσω του βρόχου.